人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计（表格式） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 129.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
双曲线及其标准方程
【教材内容分析】
本节课是高中数学选择性必修2第三章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握.
【学情分析】
知识结构分析：
学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系.
能力体系分析：
本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与化归能力的同时需着重关注学生的运算能力.
【教学目标】
通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；
2. 通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；
3. 通过对双曲线定义和标准方程的探索，进一步体会类比和数形结合的思想方法，提高观察能力和探究分析能力.
【教学重点】
双曲线的定义；
双曲线标准方程的两种形式.
【教学难点】
双曲线标准方程的推导方法及化简过程.
【教具准备】
拉链，三角板，几何画板动画
【教学方法】
采用启发、探究式教学.
【教学过程与设计】
教学 环节 教学过程 师生活动 设计意图 教学策略
温故 知新 1.复习椭圆概念 2.复习椭圆的标准方程 学生回答 教师展示课件， 提出问题：与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 复习巩固旧知识，为引入双曲线定义作铺垫.让学生带着问题学习 问答
实验 操作 形成 概念 实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分； 2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； 3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线. 点M在运动过程中满足什么几何条件？如图（A），把拉链固定的两个点位置互换，此时点M满足什么几何条件？如图（B）， 归纳双曲线定义 动点M满足什么几何条件？ 类比椭圆定义，大家能否归纳一下双曲线的定义？ 常数有没有要求？为什么？ 类比椭圆的定义，让学生能从图中分析得到双曲线的定义，而且强调椭圆与双曲线定义的区别与联系. 互助合作，讨论分析. 教师课件展示，问题引导，学生回答.
三、 推导 标准 方程 回忆椭圆标准方程，类比椭圆标准方程的建立过程，推导双曲线的标准方程. 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系 2. 设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 |M F1| - |M F2|=±2a 4.化简 令 则有 5.曲线上点的坐标都满足上述方程，以方程的解为坐标的点都在曲线上. 1.类比椭圆标准方程的建立过程，如何求双曲线的标准方程呢 2.如何建系 化简？ 3.为何可令？ 4.和有没有大小关系？ 5.椭圆中和谁大？ 6.椭圆分焦点在x轴上，和y轴上两种？双曲线是否也有类似情况？ 7.焦点在y轴上的双曲线的标准方程如何求？ 学生说明自己的思路，具体推导由学生课后完成。 本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方程推导的关键步骤。体会椭圆与双曲线的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤. 师生问答 积极评价
四、课堂 练习 课堂练习：判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出的值 ①；②； ③；④ 请 类比归纳椭圆的标准方程和双曲线标准方程的区别和联系.学生独立完成，快速口答，相互纠正，教师指导。 学生独立完成,并展示 方程推导结束后，此时由于椭圆方程，双曲线方程的相似性，不少同学会将二者混淆，且判断焦点位置的方法也需要根据实例加以落实，因此故意安排椭圆方程，双曲线方程及变式要学生加以区分巩固. 检验学生对标准方程基本形式和双曲线定义的理解程度 激励为主 快速作答 相互合作 形成共识
例题 讲解 例1 已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2(5,0),双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为. 因为，所以，所以。 因此，双曲线的标准方程为 . 思考：若将焦点改为其结果如何 例2. 设双曲线 的右支上一点到左焦点的距离是8，则到右焦点的距离是________． 学 学生板演，教师巡视检查，选择有代表性的解答展示，对典型错误进行纠正. 通过练习，检测学生对方法掌握情况. 引导学生对双曲线的标准方程的设定有更深的认识. 师生合作完成
六、 归纳 小结 回顾双曲线的定义，标准方程与椭圆做对比 学生自己说 教师做必要补充 运用的思想方法 通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己. 师生合作完成
七、 当堂 检测 1. 双曲线的焦距是 ，焦点坐标为 ；若为过左焦点与左支相交的弦，则的长为 . 2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程: （1），焦点在轴； （2）,焦点在轴上. 学生独立解答 检测本节达标情况. 学生回答
七、布置作业 书面作业： 1、推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程. 2、习题2.3 A组1,2. 研究性作业： 方程何时表示双曲线？何时表示椭圆，圆？ 请同学们课后完成。 针对本节课的教学重点：理解双曲线定义和会求简单双曲线的标准方程，设计作业题，帮助学生落实课程要求。 学生课后独立完成
板书设计
双曲线及其标准方程 双曲线的定义 三 例1：学生板演 推导演示 双曲线的标准方程
【教材内容分析】
本节课是高中数学选择性必修2第三章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握.
【学情分析】
知识结构分析：
学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系.
能力体系分析：
本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与化归能力的同时需着重关注学生的运算能力.
【教学目标】
通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；
2. 通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；
3. 通过对双曲线定义和标准方程的探索，进一步体会类比和数形结合的思想方法，提高观察能力和探究分析能力.
【教学重点】
双曲线的定义；
双曲线标准方程的两种形式.
【教学难点】
双曲线标准方程的推导方法及化简过程.
【教具准备】
拉链，三角板，几何画板动画
【教学方法】
采用启发、探究式教学.
【教学过程与设计】
教学 环节 教学过程 师生活动 设计意图 教学策略
温故 知新 1.复习椭圆概念 2.复习椭圆的标准方程 学生回答 教师展示课件， 提出问题：与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 复习巩固旧知识，为引入双曲线定义作铺垫.让学生带着问题学习 问答
实验 操作 形成 概念 实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分； 2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； 3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线. 点M在运动过程中满足什么几何条件？如图（A），把拉链固定的两个点位置互换，此时点M满足什么几何条件？如图（B）， 归纳双曲线定义 动点M满足什么几何条件？ 类比椭圆定义，大家能否归纳一下双曲线的定义？ 常数有没有要求？为什么？ 类比椭圆的定义，让学生能从图中分析得到双曲线的定义，而且强调椭圆与双曲线定义的区别与联系. 互助合作，讨论分析. 教师课件展示，问题引导，学生回答.
三、 推导 标准 方程 回忆椭圆标准方程，类比椭圆标准方程的建立过程，推导双曲线的标准方程. 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系 2. 设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 |M F1| - |M F2|=±2a 4.化简 令 则有 5.曲线上点的坐标都满足上述方程，以方程的解为坐标的点都在曲线上. 1.类比椭圆标准方程的建立过程，如何求双曲线的标准方程呢 2.如何建系 化简？ 3.为何可令？ 4.和有没有大小关系？ 5.椭圆中和谁大？ 6.椭圆分焦点在x轴上，和y轴上两种？双曲线是否也有类似情况？ 7.焦点在y轴上的双曲线的标准方程如何求？ 学生说明自己的思路，具体推导由学生课后完成。 本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方程推导的关键步骤。体会椭圆与双曲线的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤. 师生问答 积极评价
四、课堂 练习 课堂练习：判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出的值 ①；②； ③；④ 请 类比归纳椭圆的标准方程和双曲线标准方程的区别和联系.学生独立完成，快速口答，相互纠正，教师指导。 学生独立完成,并展示 方程推导结束后，此时由于椭圆方程，双曲线方程的相似性，不少同学会将二者混淆，且判断焦点位置的方法也需要根据实例加以落实，因此故意安排椭圆方程，双曲线方程及变式要学生加以区分巩固. 检验学生对标准方程基本形式和双曲线定义的理解程度 激励为主 快速作答 相互合作 形成共识
例题 讲解 例1 已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2(5,0),双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为. 因为，所以，所以。 因此，双曲线的标准方程为 . 思考：若将焦点改为其结果如何 例2. 设双曲线 的右支上一点到左焦点的距离是8，则到右焦点的距离是________． 学 学生板演，教师巡视检查，选择有代表性的解答展示，对典型错误进行纠正. 通过练习，检测学生对方法掌握情况. 引导学生对双曲线的标准方程的设定有更深的认识. 师生合作完成
六、 归纳 小结 回顾双曲线的定义，标准方程与椭圆做对比 学生自己说 教师做必要补充 运用的思想方法 通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己. 师生合作完成
七、 当堂 检测 1. 双曲线的焦距是 ，焦点坐标为 ；若为过左焦点与左支相交的弦，则的长为 . 2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程: （1），焦点在轴； （2）,焦点在轴上. 学生独立解答 检测本节达标情况. 学生回答
七、布置作业 书面作业： 1、推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程. 2、习题2.3 A组1,2. 研究性作业： 方程何时表示双曲线？何时表示椭圆，圆？ 请同学们课后完成。 针对本节课的教学重点：理解双曲线定义和会求简单双曲线的标准方程，设计作业题，帮助学生落实课程要求。 学生课后独立完成
板书设计
双曲线及其标准方程 双曲线的定义 三 例1：学生板演 推导演示 双曲线的标准方程