1.3.1平方差公式的认识-课件(共27张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共27张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3.1平方差公式的认识第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点）
2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简
单的运算.（难点）
2. 计算：
(x＋1)(y－5)＝ ；
(x＋1)(x－5)＝ ；
(x＋1)(x－1)＝ .
1. 多项式乘以多项式的计算法则是什么
xy－5x＋y－5
x －5x＋x－5＝x2－4x－5
x －x＋x－1＝x2－1
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a + 4)(a 4)
绘画课上，老师拿来了两张彩纸，一张是边长 a cm 的正方形彩纸.另一张是长为 (a + 4) cm ，宽为
(a - 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？
(a + 4)
(a - 4)
= a2 4a + 4a 42
= a2 42
答： 两张彩纸面积不相等.
4
解：正方形彩纸面积为 a2
＜a2
探究 计算下列各式：
(1) (x + 2)(x - 2)； (2) (1 + 3a)(1 - 3a)；
(3) (x + 5y)(x - 5y)； (4) (2y + z)(2y - z)。
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现 你能再举一些类似的例子吗 与同伴进行交流。
探究点：平方差公式的认识
① (x＋ 2)( x－ 2)；
② (1＋3a)(1－3a)；
③ (x＋5y)(x－5y)；
④ (2y＋z)(2y－z).
＝ x2－ 22
＝ 12－(3a)2
＝ x2－(5y)2
x2－4
1－9a2
x2－25y2
4y2－z2
＝(2y)2－z2
两数的___
两数的___
和
差
两数____的差
平方
思考 观察相乘的两个多项式有什么特点 最终结果又有什么特点
探究点：平方差公式的认识
两数的和×两数的差 = 两数平方的差
归纳 你能用字母来表示一下发现的规律吗
(a＋b)( a－b)＝a －b .
探究点：平方差公式的认识
文字语言：
两个数的和×两个数的差＝这两个数的平方差.
符号语言： (a＋b)( a－b)＝a －b .
平方差公式：
代数验证：
(a + b)(a b)＝ ＝ .
a2 b2
a2 ab + ab b2
探究点：平方差公式的认识
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a - b)(a + b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
【填一填】根据平方差公式填写下表：
探究点：平方差公式的认识
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) (5＋6x)(5－6x)
相同看作 a
相反看作 b
＝52－(6x)2
＝25－36x2.
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2.
(3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
探究点：平方差公式的认识
【方法归纳】
(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
应用平方差公式计算时，应注意：
(2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式.
中的各项，除符号外是否完全相同)；
(1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式
探究点：平方差公式的认识
例2 利用平方差公式计算：
(1) ； (2) (ab + 8)(ab－8).
解：(1) 原式 =
(2) 原式 = (ab)2－82 = a2b2－64.
探究点：平方差公式的认识
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
【练一练】
1. 利用平方差公式计算：
探究点：平方差公式的认识
回答下列各题：
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = __________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
【想一想】
探究点：平方差公式的认识
例3 先化简，再求值：
(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
探究点：平方差公式的认识
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
2. 下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式计算
的是（　B　）
A. (a＋1)(a－1) B. (2x－3)(－2x＋3)
C. (2y－ )( ＋2y) D. (3m－2n)(－3m－2n)
B
1. 计算(a＋4)(a－4)的结果是(　D　)
A. 8－a2 B. a2－8
C. 16－a2 D. a2－16
D
3. 若M(2x－5y)＝4x2－25y2，则M表示的式子为( 　)
A. (－2x＋5y) B. (2x－5y)
C. (－2y－5x) D. (2x＋5y)
D
4. (1)若x－y＝4，x＋y＝7，则x2－y2＝ ；
(2)若(x＋3)(x－m)＝x2－9，则m的值是 .
28　
3　
5. 计算：
(1) (－c＋ab)(－c－ab)；＝（－c）2－（ab）2＝
(2) (3a－ b)(－3a－ b)..
解：(1) 原式＝(－c)2－(ab)2＝c2－a2b2.
(2) 原式＝(－ b＋3a)(－ b－3a)
＝(－ b)2－(3a)2＝ b2－9a2.
6. 先化简，再求值：
(2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y)，
其中x＝2，y＝1.
解：原式＝4x2－9y2－（16y2－9x2）＝4x2－9y2－
16y2＋9x2＝13x2－25y2.
∵x＝2，y＝1，
∴原式＝13×22－25×12＝27.
解：原式＝4x2－9y2－(16y2－9x2)
＝4x2－9y2－16y2＋9x2＝13x2－25y2.
∵x＝2，y＝1，
∴原式＝13×22－25×12＝27.
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B
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　)
A．(x－2y)(2y＋x)
B．(x－2y)(－2y＋x)
C．(x＋y)(y－x)
D．(2x－3y)(3y＋2x)
2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值为(　　)
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
B
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3. [教材P25习题T10(2)]若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
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【点拨】因为(x2＋9)(x＋3)(x－3)＝(x2＋9)(x2－9)＝
x4－81，所以xn－81＝x4－81，所以n＝4.
B
4．填空：(1)(5m＋3n)(5m－3n)＝_________；
(2)(－3x＋y)(－3x－y)＝________；
(3)(2a＋b)________＝b2－4a2.
25m2－9n2　
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9x2－y2
(b－2a)
5．已知9m2－n2＝24，且3m－n＝4，则3m＋n等于_____．
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6
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(2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)．
【解】原式＝a4－(1－a2)(1＋a2)＝a4－(1－a4)＝2a4－1.