1.3.2平方差公式的运用-课件(共26张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共26张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3.2平方差公式的运用第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简
便运算；(重点)
2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的
思想方法.(难点)
1.问：平方差公式是怎样的？
(a + b)(a b) = a2 b2.
2.利用平方差公式计算：
(1) (2x + 7b)(2x – 7b)；
(2) (－m + 3n)(m + 3n).
4x2－49b2
9n2－m2
探究点一 平方差公式的几何验证
如图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.
(1) 请表示图① 中阴影部分的面积.
a
b
图①
a2 b2
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图② )，这个长方形的长和宽分别是多少
你能表示出它的面积吗
a
b
图② 中长：a + b，
宽：a b，
面积：(a + b)(a b).
比较(1)和(2)的计算结果，你能验证平方差公式吗
(a＋b)( a－b)＝a －b
图②
探究点一 平方差公式的几何验证
还有其他的几何方法解释吗？
a
b
a+b
a-b
a
a-b
b
a
a
b
b
a-b
算一算！
探究点一 平方差公式的几何验证
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
探究点二 平方差公式的运用
解：(1) 原式＝(50 + 1)(50－1)＝502－12
＝2500－1＝2499.
(1) 51×49；
(2) 13.2×12.8.
1. 利用平方差公式计算：
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
【练一练】
探究点二 平方差公式的运用
例2 计算：(1) a2(a + b)(a - b) + a2b2；
(2) (2x - 5)(2x + 5) - 2x(2x - 3).
解：(1) 原式 = a2(a2 - b2) + a2b2
= a4 - a2b2 + a2b2
= a4.
(2) 原式 = (2x)2 - 25 - (4x2 - 6x)
= 4x2 - 25 - 4x2+6x
= 6x - 25.
探究点二 平方差公式的运用
解：原式＝(9x2－16)－(6x2 + 5x－6)
＝3x2－5x－10.
(3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2).
2. 利用平方差公式计算：
【练一练】
探究点二 平方差公式的运用
(a + 1)(a 1) = a2 1
(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
7×9 = 11×13 = 79×81 = ______ 8×8 = 12×12 = 80×80 = ______
63
143
6399
64
144
6400
【观察·思考】
(2) 观察上述算式及其结果，你发现了什么规律
(3) 请用字母表示你发现的规律。
探究点二 平方差公式的运用
例3 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
因为 a2＞a2－16，所以 李大妈吃亏了.
探究点二 平方差公式的运用
平方差公式
文字描述
几何验证
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
(a + b)(a－b) = a2－b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=-b
1. 计算 (300－1)(300＋1) 的结果是(　B　)
A. 89998 B. 89999
C. 89996 D. 99991
B
2. 如图①，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成如图②所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积，可以验证的等式是（　A　）
A
A. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
B. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
D. a(a－b)＝a2－ab
3. 若(x＋1)(x－1)－x2＝x，则x＝ .
4. 有三个连续的偶数，中间一个是a，则它们的积
是 .
－1　
a3－4a　
5. 用平方差公式进行计算：
(1) 999×1001＋1； (2)1232－124×122；
1000000.
解：(1)原式＝(1000－1)(1000＋1)＋1
＝10002－12＋1＝1000000.
(3)3 ×2 .
(2) 原式＝1232－(123＋1)(123－1)
＝1232－1232＋12＝1.
(3) 原式＝(3＋ )(3－ )＝32－( )2＝8 .
6. 计算：
(1) (a＋2b)(a－2b)－ b(a－8b)；
(2) 3(2a＋1)(2a－1)－4a(a－2).
解：(1) 原式＝a2－4b2－ ab＋4b2＝a2－ ab.
(2) 原式＝3(4a2－1)－4a2＋8a
＝12a2－3－4a2＋8a
＝8a2＋8a－3.
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C
2．[2025重庆巴渝学校期中]如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(　　)
A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2
B．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2
C．(m－n)2＝m2－2mn＋n2
D．(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn
C
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3. 对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2.根据这个定义，代数式x☆(x－y)可以化简为(　　)
A．2xy＋y2 B．－2xy＋y2
C．2xy－y2 D．x2
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【点拨】x☆(x－y)＝x2－(x－y)2＝x2－(x2－2xy＋y2)＝2xy－y2.故选C.
C
4．要使等式(x－y)2＋M＝(x＋y)2成立，整式M应是(　　)
A．2xy B．4xy C．－4xy D．－2xy
B
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5．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________．
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－3
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6. 若将多项式4a2－2a＋1加上一个单项式成为一个多项式的平方，则这个单项式可以是_________________．(只要写出符合条件的一个即可)
－2a(答案不唯一)
【解】(2a－3b)2＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝4a2－12ab＋9b2.
(3)(－4a－3b)2;
(4)(x－1)2－x2.
【解】(－4a－3b)2＝(－4a)2－2·(－4a)·3b＋(3b)2＝
16a2＋24ab＋9b2.
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(x－1)2－x2＝x2－2x＋1－x2＝－2x＋1.