1.3.3完全平方公式的认识-课件(共30张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共30张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3.3完全平方公式的认识第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式.
2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把
这事和邻居们－讲，大家都说：
“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？
大披萨的面积：S = π·32 = 9π .
小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π .
你发现了什么？
(2 + 1)2 ≠ 22 + 12.
所以不应该同意.
【合作探究】
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现
(1) (m + 3)2
= (m + 3)(m + 3)
=________________
=______________
=______________.
(2) (2 + 3x)2
= (2 + 3x)(2 + 3x)
=______________________
=____________________
=______________.
发现
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
m2 + 3m + 3m + 9
m2 + 2×3m + 9
m2 + 6m + 9
22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
4 + 2×2×3x + 9x2
4 + 12x + 9x2
探究点: 完全平方公式
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
你能根据图中的面积解释完全平方公式吗
【想一想】
探究点: 完全平方公式
(a－b)2 = ？
你是怎样做的？
(a－b)2
= [a＋(－b)]2
= a2＋2a(－b)＋(－b)2
= a2－2ab＋b2
(a－b)2
= (a－b)(a－b)
= a2－2ab＋b2
发现
(a－b)2 = .
a2－2ab + b2
【议一议】
探究点: 完全平方公式
(a－b)2 =a2－2ab + b2
请你设计一个图形解释这一公式.
【做一做】
探究点: 完全平方公式
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释：
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
探究点: 完全平方公式
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中间”
完全平方公式
【知识要点】
探究点: 完全平方公式
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式.
探究点: 完全平方公式
例1 利用完全平方公式计算：
解：(2x－3)2 =
=4x2
(1) (2x－3)2；
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－ 2 (2x) 3
+ 32
－12x
+ 9；
探究点: 完全平方公式
(2) (4x＋5y)2；
(2) (4x＋5y)2 =
(4x)2
＋2 (4x) 5y
＋(5y)2
( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2
= 16x2＋40xy＋25y2；
(3) (mn－a)2.
(3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 mn a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
探究点: 完全平方公式
1.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
(3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2.
(2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
【练一练】
探究点: 完全平方公式
思考：(a + b)2 与 (- a - b)2 相等吗
(a - b)2 与 (b - a)2 相等吗
(a - b)2 与 a2 - b2 相等吗 为什么
解：
(-a - b)2 = (-a)2 - 2·(-a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
(b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
(a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2.
探究点: 完全平方公式
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
∴ m＝59或－61.
∴ m＋1＝±60.
∴ (m＋1)xy＝±2 · 6x · 5y.
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
探究点: 完全平方公式
完全平方公式
文字描述
几何验证
两个数的和(差)的平方，
等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=b
1. 计算(m－n)2的结果是(　C　)
A. m2－n2 B. m2＋n2
C. m2－2mn＋n2 D. m2＋2mn＋n2
C
2. 下列各式利用完全平方公式计算正确的是（　 ）
A. (x＋3)2＝x2＋9
B. (－2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2
C. (a－2b)2＝a2－2ab＋4b2
D. ( －x)2＝x2－x＋
D
3. 若(2x－3)2＝4x2＋kx＋9，则k的值是(　D　)
A. －6 B. 6
C. 12 D. －12
D
4. 如图所示的图形验证了一个等式，
则这个等式是 .
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　
5. 若a2＋ab＋b2＋M＝(a－b)2，则M＝ .
－3ab
6. 计算：(1) (－x＋y)2；
(3) (－ x－3y)2.
解：原式＝ x2＋3xy＋9y2.
(2) (－xy＋5)2；
解：(1)原式＝x2－2xy＋y2.
(2) 原式＝x2y2－10xy＋25.
(3) 原式＝ x2＋3xy＋9y2.
7. 已知ab＝2，求(2a＋3b)2－(2a－3b)2的值.
解：原式＝4a2＋12ab＋9b2－(4a2－12ab＋9b2)
＝24ab.
当ab＝2时，原式＝24×2＝48.
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B
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　)
A．(x－2y)(2y＋x)
B．(x－2y)(－2y＋x)
C．(x＋y)(y－x)
D．(2x－3y)(3y＋2x)
2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值为(　　)
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
B
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3. [教材P25习题T10(2)]若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
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【点拨】因为(x2＋9)(x＋3)(x－3)＝(x2＋9)(x2－9)＝
x4－81，所以xn－81＝x4－81，所以n＝4.
B
4．填空：(1)(5m＋3n)(5m－3n)＝_________；
(2)(－3x＋y)(－3x－y)＝________；
(3)(2a＋b)________＝b2－4a2.
25m2－9n2　
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9x2－y2
(b－2a)
5．已知9m2－n2＝24，且3m－n＝4，则3m＋n等于_____．
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6
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(2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)．
【解】原式＝a4－(1－a2)(1＋a2)＝a4－(1－a4)＝2a4－1.
7．化简(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2的结果为(　　)
A．4ab＋4bc B．4ac
C．2ac D．4ab－4bc
【点拨】(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2＝[(a＋b＋c)＋(a－b＋c)][(a＋b＋c)－(a－b＋c)]＝2b(2a＋2c)＝4ab＋4bc.故选A.
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A
8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32－12，16＝52－32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为(　　)
A．22　　 B．24　　 C．30　　 D．34