1.3.4完全平方公式的运用-课件(共25张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共25张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3.4完全平方公式的运用第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式.
2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
前面我们学习了完全平方公式：
复习导入
口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。
思考 怎样计算 1022，1972 更简便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
解：原式 = (100 + 2)2
= 10 000 + 400 + 4
= 10 404.
解：原式 = (200－3)2
= 40 000－1200 + 9
= 38 809.
= 1002－2×100×2 + 22
= 2002－2×200×3 + 32
探究点：完全平方公式的运用
方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
例1 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)；
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9.
解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
同号
异号
a
b
平方差公式
整体
探究点：完全平方公式的运用
(2) ( a + b + c )2.
解：原式 = [(a + b) + c]2
方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
完全平方公式
都同号
探究点：完全平方公式的运用
例2 计算：
(1) (x + 3)2 – x2；
解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2
= 6x + 9；
或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x)
= (2x + 3)×3
= 6x + 9；
还有其他的方法吗？
探究点：完全平方公式的运用
(2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )；
(3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3).
解：(2) 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3]
= (a + b)2 - 32
= a2 + 2ab + b2 - 9；
解：(3) 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6)
= x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6
= 15x + 19.
探究点：完全平方公式的运用
1. 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).
方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.
= x4－8x2y2＋16y4.
= (x2－4y2)2
解：原式 = (x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)
【练一练】
探究点：完全平方公式的运用
2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因为 a＋b＝7，
要熟记完全平方公式哦！
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29，
所以 (a＋b)2＝49.
探究点：完全平方公式的运用
【观察·思考】
观察下图，你认为 ( m＋n)×(m＋n) 点阵中的点数与 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。
(m + n)2－m2－n2
＝ m2＋2mn＋n2
所以 (m+n)×(m+n) 点阵中的点数比 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和多 2mn 。
探究点：完全平方公式的运用
【练一练】3. 有这样一道题，计算：
2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－ xy]＋ [(x－y)2 ＋xy]的值，其中 x = 2006，y = 2007；某同学把“y = 2007”错抄
“y = 2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由.
解：原式＝2x2－2y2＋( x2＋y2＋2xy－xy)
＋(x2＋y2－2xy＋xy)
＝2x2－2y2＋x2＋y2 ＋xy＋x2＋y2－xy
＝2x2－2y2＋2x2＋2y2＝4x2.
答案与 y 无关.
探究点：完全平方公式的运用
完全平方公式
简便计算
实际应用：运用完全平方公式进行推理
计算数的平方：根据数的特点，将其变形为(a+b) 或(a-b) 再进行计算
综合运算
1. 已知α2＋β2＝1，(α＋β)2＝2，则αβ的值为(　A　)
A. B. 2 C. 1 D.
2. 已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为(　A　)
A. 13 B. 7
C. 5 D. 11
A
A
3. 计算 10162－2032×1018＋10182 等于[提示：完全
平方公式的逆用](　B　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 运用完全平方公式计算：
(1)10.12＝( ＋ )2＝ ；
(2)1982＝( － )2＝ .
B
10　
0.1　
102.01　
200　
2　
39204　
5. 如图，某广场有一块边长为(a＋b)的正方形草
坪，现计划在草坪中挖一个边长为(a－b)的正方形
水池，则剩余草坪的面积为 .
4ab　
6. 计算：
(1)5012；
解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12＝
250000＋1000＋1＝251001.
(2)(x－y＋4)(x＋y＋4).
解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y]＝(x＋4)2－y2＝
x2＋8x＋16－y2.
解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12
＝250000＋1000＋1＝251001.
解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y]＝(x＋4)2－y2
＝x2＋8x＋16－y2.
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1．用简便方法计算9.52，下列变形正确的是(　　)
A．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52
B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)
C．9.52＝92＋0.52
D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52
A
2．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色
长方形的面积为________．
8
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【点拨】由题图①可得(a＋b)2－4ab＝35，即a2＋
b2＝2ab＋35①，由题图②可得(2a＋b)(a＋2b)－
5ab＝102，即a2＋b2＝51②，由①②得2ab＋35＝51，所以ab＝8，所以每个白色长方形的面积为8.
3．利用简便方法计算：
(1)499.92；
【解】499.92＝(500－0.1)2＝5002－2×500×0.1＋0.12＝250 000－100＋0.01＝249 900.01.
(3)2 0262－4 050×2 026＋2 0252；
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【解】2 0262－4 050×2 026＋2 0252＝2 0262－2×
2 025×2 026＋2 0252＝(2 026－2 025)2＝12＝1.
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5．计算：
(1)(3x－1)2－(2x＋5)2；
(2)(m＋n)2(m－n)2；
【解】(3x－1)2－(2x＋5)2＝9x2－6x＋1－(4x2＋20x＋
25)＝9x2－6x＋1－4x2－20x－25＝5x2－26x－24.
(m＋n)2(m－n)2＝[(m＋n)(m－n)]2＝(m2－n2)2＝
m4－2m2n2＋n4.
(3)2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2.
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【解】2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2＝2(a2＋6a＋
9)－4(a2－9)＋3(a2－4a＋4)＝2a2＋12a＋18－4a2＋36＋3a2－12a＋12＝a2＋66.