2.1.1对顶角、补角和余角-课件(共34张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共34张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件2.1.1对顶角、补角和余角第二章相交线与平行线授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.了解两条直线的位置关系：相交和平行.
2.在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念.
3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能解决一些实际问题.
观察下列图片，你认为两条直线有哪些位置关系？
平行
相交
平行
我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
观察与交流：
(1) 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠1 和∠2 有什么位置关系
(2) 它们的大小有什么关系
2
1
A
B
C
D
O
1. 有公共顶点，
2. 两边互为反向延长线.
∠1 = ∠2
探究点一：对顶角的概念及其性质
对顶角的性质：
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1 和∠2 有公共顶点 O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.
对顶角的概念
对顶角相等.
探究点一：对顶角的概念及其性质
例1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
D
1
2
C
1
2
D
1
2
A
1
2
B
探究点一：对顶角的概念及其性质
例2 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠1＝40°，
∠BOC＝110°，求∠2 的度数.
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)，
所以∠2＝70° (等量代换).
注意：隐含条件“对顶角相等”.
探究点一：对顶角的概念及其性质
活动1：画一画：
1. 请画出两个角，使他们的和为 90°.
2. 请画出两个角，使它们的和为 180°.
3. 小组交流画法，相互点评.
4. 用自己的语言描述补角、余角的定义.
探究点二：补角和余角的概念
想一想：如图，∠1 与∠3 有什么数量关系？
2
1
A
B
C
D
O
3
∠1 + ∠3 = 180°
补角的概念
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.
探究点二：补角和余角的概念
余角的概念
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
类似地：
探究点二：补角和余角的概念
∠α ∠α 的余角 ∠α 的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x°(x<90)
90° - x°
180° - x°
观察可得结论：
同一个锐角的补角
比它的余角大___°.
90
探究点二：补角和余角的概念
【填一填】
图①
如图①，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 ① 简化成图 ② ，ON 与 DC 交于点 O，∠DON = ∠CON = 90°，∠1 = ∠2.
探究点三：补角和余角的性质
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图②
活动 2：小组合作交流，解决下列问题：在图② 中，
(1) 哪些角互为补角？哪些角互为余角？
(2) ∠3 与∠4 有什么关系？为什么？
(3) ∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图②
解：(1) 互为补角：
∠1 与∠AOC，∠2与∠BOD，
∠DON 与∠CON；
互为余角：∠1 与 ∠3，∠2 与∠3，
∠2 与∠4，∠1与∠4.
探究点三：补角和余角的性质
同角(等角)的余角相等.
(2) ∠3 与∠4 有什么关系？为什么？
因为∠1 =∠2，
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图②
∠1 +∠3 = 90°， ∠ 2 +∠4 = 90°，
所以∠3 =∠4.
探究点三：补角和余角的性质
同角(等角)的补角相等.
同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等.
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图②
因为∠1 =∠2，
∠1 +∠AOC = 180°，
∠2 +∠BOD = 180°，
所以∠AOC =∠BOD.
(3) ∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？
探究点三：补角和余角的性质
例3 如图，已知∠AOB 在∠AOC 内部，∠BOC ＝ 90°，
OM、ON 分别是∠AOB，∠AOC 的平分线，∠AOB
与∠COM 互补，求∠BON 的度数．
解：∵∠AOB 与∠COM 互补，
∴∠AOB＋∠COM ＝ 180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠COB ＝ 180°.
∵∠COB ＝ 90°，
∴∠AOB＋∠BOM ＝ 90°.
探究点三：补角和余角的性质
∵OM 是∠AOB 的平分线，
∴∠BOM＝ ∠AOB，即∠AOB＋ ∠AOB＝90°，
解得∠AOB＝60°.
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
∵ON 平分∠AOC 得∠AON＝ ∠AOC＝ ×150°＝75°.
由角的和差，
∴∠BON＝∠AON－∠AOB
＝75°－60°＝15°.
探究点三：补角和余角的性质
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角（或等角）的
余角相等
同角（或等角）的
补角相等
对顶角的性质：
两个角的和是90°
两个角的和是180°
对顶角相等.
1. 若∠A＝75°，则∠A的余角为（　A　）
A. 15° B. 75°
C. 80° D. 105°
A
2. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　C　）
C
3. 如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOD＋
∠BOC＝100°，则∠AOC的度数为（　B　）
A. 150° B. 130°
C. 100° D. 90°
B
4. 如图，直线AB，CD，EF交于点O.
（1）∠COE的对顶角是 ；
（2）∠BOE的补角是 .
∠DOF　
∠AOE和∠BOF　
5. 若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠3.理由是 .
6. 一个角的补角比它的余角的2倍多10°，则这个角的度数为 .
同角的余角相等　
10°　
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1．下列说法正确的是(　　)
A．不相交的两条直线是平行线
B．在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C．在同一平面内，两条直线不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D
2．下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　)
D
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3．如图，四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺，判断该线段是(　　)
A．a　
B．b　
C．c　
D．d
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C
4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　)
A．100° B．110°
C．120° D．130°
C
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5．若∠A的补角是102°，则∠A的余角为(　　)
A．40°　 B．51°　 C．30°　 D．12°
返回
D
6．将一副三角尺按下列位置摆放，使∠1与∠2互为余角的摆放方式是(　　)
返回
【点拨】A.因为同角的余角相等，所以∠1＝∠2，但∠1与∠2不一定互余，故此选项不符合题意；B.因为∠1＋45°＝∠2＋45°＝180°，所以∠1＝∠2＝135°，即∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；C.因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；D.因为∠1＋∠2＝180°－90°＝90°，所以∠1与∠2互为余角，故此选项符合题意．故选D.
【答案】 D
7．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是________________．
同角的补角相等
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【点拨】如图，因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋ ∠2＝180°，所以∠1＝∠3.所以论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等．
8. 当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．如图，MN为水面，直线AB⊥MN于点F，直线CD经过点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水中，如果∠1＝42°，∠2＝30°，那么光的传播
方向改变了________°.
12
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9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC.
(1)若∠BOE＝145°，求∠AOC的度数．
【解】因为∠BOE＋∠AOE＝180°，∠BOE＝145°，所以∠AOE＝180°－145°＝35°.又因为OE平分∠AOC，
所以∠AOC＝2∠AOE＝70°.
(2)在图中画OE的反向延长线OF，OF是∠BOD的平分线吗？并说明理由．
【解】如图，OF即为所求．
OF是∠BOD的平分线．理由如下：
由(1)知∠AOC＝2∠AOE，
又因为∠AOE＝∠BOF，∠AOC＝∠BOD，
所以∠BOD＝2∠BOF，所以OF是∠BOD的平分线．