2.1.2垂线-课件(共35张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共35张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件2.1.2垂线第二章相交线与平行线授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念.
2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题.
问题 在我们的身边随处可见“直线”的形象，其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系，观察下面三幅图片，你能找出其中相交的直线吗 它们有什么特殊的位置关系
探究点一：垂直的概念
转动木条的同时观察其夹角的变化.
）
α
a
b
b
b
b
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
【操作·交流】
取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角为 α .
(2) 当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？
α
b
）
a
α
b
）
a
(1) 当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？
解：145°，35°，145°；90°，90°，90°.
当∠a 为 90° 的位置关系只有一个；
此时两根木条的位置关系—— a 与 b 垂直，记作a⊥b.
探究点一：垂直的概念
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
垂直的定义
记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB ）
A
B
C
D
O
l
m
垂足
或可记作：l⊥m（或 m⊥l ）.
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.
探究点一：垂直的概念
(1) 如图，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = ∠BOC，
那么 O C 与 AB 垂直吗 为什么
(2) 以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗
你知道她每一步的依据吗 与同伴进行交流。
A
B
C
O
我的思考过程如下：
由∠AOC = ∠BOC，且∠AOC +∠BOC = 180°，
可得∠AOC = ∠BOC = 90°，所以 OC⊥AB.
→ 平角的性质
→ 等角替换
→ 垂直的定义
【思考·交流】
探究点一：垂直的概念
(3) 如果 OC⊥AB，那么∠AOC = ∠BOC 吗
为什么 与同伴进行交流.
如果 OC⊥AB，
那么∠AOC = ∠BOC.
理由如下：
因为 OC⊥AB ，根据垂直的定义可知∠AOC 和 ∠BOC 都是直角，
即 ∠AOC = 90°，∠BOC = 90°，
所以 ∠AOC = ∠BOC.
A
B
C
O
探究点一：垂直的概念
折一折 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
探究点一：垂直的概念
【做一做】如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
探究点一：垂直的概念
例1 如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1 = 145°，则∠3 的度数为( )
C
A. 35° B. 45°
C. 55° D. 65°
探究点一：垂直的概念
【练一练】 1. 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数.
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝40°.
∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵ AO⊥BC，∴∠AOC＝90°.
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
探究点一：垂直的概念
(1) 画已知直线 l 的垂线能画几条
(2) 点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条
(3) 如果点 A 在直线 l 外呢
合作探究
探究点二：垂线的画法及基本事实
问题1 这样画 l 的垂线可以画几条？
1.放
l
O
如图，已知直线 l，画 l 的垂线.
A
无数条
2.靠
3.画
…
探究点二：垂线的画法及基本事实
问题2 如图，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条
A
l
.
A
l
.
如果点 A 在直线 l 外呢
1.放
2.靠
3.画
O
同理：
都只能画一条垂线
探究点二：垂线的画法及基本事实
点击视频观看→
探究点二：垂线的画法及基本事实
问题3 如图，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥ l ，点 O 是垂足. 点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么
B
O
C
A
l
P
垂线段最短.
线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离.
探究点二：垂线的画法及基本事实
O
l
P
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
探究点二：垂线的画法及基本事实
例2 如图，AC⊥BC，AC = 3，BC = 4，AB = 5.
(1) 试说出点 A 到直线 BC 的距离；
点 B 到直线 AC 的距离；
解析：点 A 到直线 BC 的距离就是线段 AC 的长；点 B 到直线 AC 的距离就是线段 BC 的长；
A
B
C
点 A 到直线 BC 的距离是 3；
点 B 到直线 AC 的距离是 4.
探究点二：垂线的画法及基本事实
例2 如图，AC⊥BC，AC = 3，BC = 4，AB = 5.
(2) 点 C 到直线 AB 的距离是多少
解析：过点 C 作 CD⊥ AB，垂足为 D. 点 C 到直线 AB 的距离就是线段 CD 的长，可利用面积求得.
A
B
C
D
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.
所以点 C 到直线 AB 的距离为 .
因为 S△ABC = BC·AC = AB·CD，
所以 5CD = 3×4，解得 CD = .
探究点二：垂线的画法及基本事实
观看视频，想一想运动员的跳远成绩是怎样测量的 你能说说其中的道理吗
点击视频观看→
探究点二：垂线的画法及基本事实
垂线
垂线的定义
垂线的性质
在同一平面内，过一点
______________直线与已知直线垂直
垂线段____
垂线的画法
一放二靠三画
最短
点到直线的距离
有且只有一条
1. 过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是（　D　）
D
2. 如图，EO⊥AB于点O，∠EOC＝40°，
则∠AOD的度数为（　C　）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
C
3. 如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为
4 cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不
可能是(　A　)
A. 3.5cm B. 4cm
C. 4.5cm D. 5cm
第3题图
A
4. 如图，村庄A与村庄B在河流l的两侧，小明观
察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村
庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的
理由是： .
第4题图
垂线段最短　
5. 如图，已知直线AD，BE，CF相交于O，
OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°，则
∠DOE＝ °.
25　
6. 如图，A，O，B在同一条直线∠AOD∶∠DOB
＝3∶1，OD平分∠COB.
（1）求∠DOC的度数；
（2）判断AB与OC的位置关系.
解：(1)∵∠AOD∶∠DOB＝3∶1，
∴∠DOB＝ ×180°＝45°.
∵OD平分∠COB，
∴∠DOC＝∠DOB＝45°.
（2）∵∠DOC＝∠DOB＝45°，
∴∠BOC＝45°＋45°＝90°.
∴OC⊥AB，即AB与OC的位置关系是垂直.
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1．如图，直线AB与CD相交于点O.下列说法不正确的是(　　)
A．若∠AOC＝90°，则AB⊥CD
B．若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90°
C．当∠COB＝90°时，称直线AB与直线CD互相垂直
D．AB与CD相交于点O，点O为垂足
D
2．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是(　　)
C
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3．在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是(　　)
A．垂线段最短　
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短　
D．以上都不对
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A
4. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若使光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是(　　)
A．26°　
B．30°　
C．36°　
D．54°
C
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5．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列说法：①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．其中正确的有(　　)
A．2个　　 B．3个　
C．4个 D．5个
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B
返回
6．如图所示，若BO⊥OA，CO⊥OA，则直线OB与OC_______，其理由是___________________________
_________________________.
重合
在同一平面内，过一点有且只
有一条直线与已知直线垂直
7. 作图并回答：
(1)如图，点P在∠AOB的边OA上．
①过点P作OA的垂线交OB于点C.
②作点P到OB的垂线段PM.
【解】①如图所示，PC即为所求．
②如图所示，PM即为所求．
(2)上述作图中，线段________的长度表示点P到OB的距离；
(3)线段PM，PC与OC的大小关系是____________(用“<”连接)，判断依据是_________________________________
___________________.
PM
返回
PM直线外一点与直线上各点连接的所有
线段中，垂线段最短