4.1.1三角形的内角和-课件(共34张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共34张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件4.1.1三角形的内角和第四章三角形授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.认识三角形并会用几何符号表示三角形.
2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
3.会运用三角形内角和等于180°进行计算.
4.会按角的大小对三角形进行分类.
5.会表示直角三角形，掌握直角三角形两个锐角互余.
思考 观察图片，提出问题：
(1)你能从中找出四个不同的三角形吗？
(2)这些三角形有什么共同特点？
斜梁
斜梁
横梁
知识点1 三角形的基本元素及表示方法
活动1 观察下面图形的形成过程，说一说什么叫三角形.
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
问题1 三角形中有几条线段？几个角？几个顶点？
A
B
C
有三条线段，三个角，三个顶点
探究点一：三角形的概念
三角形组成元素 三角形 ABC
边
顶点
角(内角)
边 AB，边 BC，边 AC
或 边 c，边 a， 边 b
∠A，∠B，∠C
点 A，点 B，点 C
记作△ABC
三角形的表示方法：
探究点一：三角形的概念
例1 (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
A
B
C
D
E
5 个，分别是△ABE，△ABC，
△BCE，△BCD，△ECD.
(2) 以 AB 为边的三角形有哪些？
△ABC，△ABE.
(3) 以 E 为顶点的三角形有哪些？
△ABE，△BCE，△CDE.
(4) 以∠D 为顶角的三角形有哪些？
△BCD，△DEC.
探究点一：三角形的概念
(5) 说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD 的三个角是∠BCD，∠D 和∠CBD.
A
B
C
D
E
顶点 B 所对的边为 DC，
顶点 C 所对的边为 BD，
顶点 D 所对的边为 BC.
探究点一：三角形的概念
探究点二：三角形的内角和
【观察·交流】
△ABC 三个内角的和是多少度 你是怎样得到的
1
3
2
1
3
2
将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形的内角和等于180°。
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他的做法如下。
如图所示，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2 和∠3. 将 ∠1 撕下，按图所示进行摆
放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2 的一条边重合。
探究点二：三角形的内角和
利用下图，小明说明了三角形三个内角的和为180°。你知道他是如何说明的吗 说说你的想法，并与同伴进行交流。
因为∠1 =∠4，所以 a∥b
(内错角相等，两直线平行)。
因为 a∥b，所以∠1+∠2+∠3=180°
(两直线平行，同旁内角互补)，
所以 ∠2+∠3+∠4 =180°。
4
探究点二：三角形的内角和
自己剪一个三角形纸片，重复上面的过程，你得到同样的结论了吗？与同伴进行交流.
C
B
A
E
D
F
探究点二：三角形的内角和
三角形三个内角的和等于 180°.
在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°.
几何语言：
三角形内角和定理
C
B
A
探究点二：三角形的内角和
(1) 猜猜图中三角形被遮住的两个内角是什么角？
试着说明理由.
(2) 图中第三个三角形被遮住的两个内角可能是什么角 将所得结果与 (1) 的结果进行比较，并与同伴进行交流。
探究点三：三角形按角分类
【观察·交流】
图形展示：
探究点三：三角形按角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形按角的大小分类
三个角都是锐角
有一个角是钝角
有一个角是直角
A
B
C
直角边
直角边
斜边
通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形 ABC”。
探究点三：三角形按角分类
做一做 将下图中的三角形按角将它们的形状分类.
锐角三角形：
钝角三角形：
直角三角形：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)、(5)
(2)、(4)
(3)
探究点三：三角形按角分类
【尝试·思考】直角三角形的两个锐角之间有什么关系
在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，
∠A+∠B+∠C = 180°( )
因为 ∠A = 90°，
所以 ∠B+∠C =180°-∠A = ( )
三角形的内角和
90°
直角三角形的两个锐角互余。
几何语言：在 Rt△ABC 中，若∠C = 90°，
则∠A+∠B = 90°。
探究点三：三角形按角分类
A
B
C
例3 一个三角形的三个内角的度数之比为 1∶2∶3，这个三角形一定是 (　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定形状
解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是 x，2x，3x，根据三角形的内角和为 180°，得 x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°，所以这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．
A
探究点三：三角形按角分类
解：因为 CE⊥AF，
所以∠DEF＝90°.
所以∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.
由三角形的内角和定理得
∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF＝180°，
又因为∠CDB＝∠EDF，
所以 30°＋∠DBC＝40°＋90°.
所以∠DBC＝100°.
例2 如图，CE⊥AF，垂足为 E，CE 与 BF 相交于点 D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF，∠DBC 的度数．
探究点三：三角形按角分类
【练一练】1.∠A，∠B，∠C 是 △ABC 的三个内角.
(1) 已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C 的度数；
(2) 已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B
的度数；
(3) 已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C 的度数.
解：(1) 设∠B＝∠C＝m.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°.
所以40°＋ m ＋ m ＝180°，
解得 m＝70. 所以 ∠B ＝∠C ＝ 70°.
探究点三：三角形按角分类
(2) 已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B
的度数；
解：设∠A＝x ，则∠B＝x －16°.
因为∠A＋∠B＋∠C ＝180°，∠C ＝ 54°，
所以 x＋x－16°＋54°＝180°，解得 x＝71°.
所以 ∠A＝71°，∠B＝55°.
探究点三：三角形按角分类
(3) 已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C 的度数.
解：因为∠A ＝ ∠B ＝ ∠C，
所以 ∠B＝2∠A，∠C＝3 ∠A. 设 ∠A＝ n ，
则 ∠B ＝ 2n ，∠C＝3n .
因为 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以 n＋2n＋3n＝180°，解得 n＝30°.
所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
探究点三：三角形按角分类
三角形
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形
三角形按角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余
1. 如图，图中以AB为边的三角形的个数是(　A　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A
当堂检测
2. 如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三
角形，则图中∠1＋∠2的度数是(　C　)
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
第2题图
C
3. 在△ABC中，∠A＝60°，且∠B∶∠C＝2∶1，则∠B的度数为(　B　)
A. 40° B. 80°
C. 60° D. 120°
B
4. 在△ABC中，∠A＝∠B＝37°，
则∠C＝ °，△ABC是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).
106　
钝角　
5. 如图，图中三角形的个数为 ；
在△ABE中，AE所对的角是 ，
∠ABE所对的边是 ；
在△ADE中，AD是 的对边，
在△ADC中，AD是 的对边.
6　
∠B　
AE　
∠AED　
∠C　
第5题图
6. 如图，AB∥CD，若∠A＝120°，∠1＝72°，则∠D的度数为 .
48°　
第6题图
7. 如图，D是 △ABC 中BC 边延长线上一点，
DF⊥AB交AB于点F，交 AC 于点 E，∠A＝46°，
∠D＝50°.求 ∠ACB 的度数.
解：在△DFB中，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°.
∵∠D＝50°，
∴∠B＝90°－∠D＝40°.
在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
1. 下面是一名同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的
是( )
D
A. B. C. D.
2. 在中，，则 的形状是
( )
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 任意三角形
3. 若直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，则该直角
三角形中较小的锐角的度数是( )
B
A. B. C. D.
（第4题）
4. 如图，在中， ，
，平分，交于点 ，
则 的大小是( )
C
A. B. C. D.
（第5题）
5. [2025威海] 如图，直线 ，
， .若 ，
则 等于( )
A
A. B. C. D.
6.图中共有___个三角形,其中以 为内角的三角形有
_______________，以线段 为边的三角形有_____________
______.
8
，
，
（第6题）
（第7题）
7. 如图，在 中，
,直线分别与,交于 ,
两点，则_____ .
250
【点拨】因为
,而
,所以 . 因为
, 所以 .
8. 如图，考古学家发现在地下 处有一座古
墓，古墓上方是管道，为了不影响管道，准备在， 处开工
挖出“”字形通道，若 ， ，则
的度数是____.