27.2.2 相似三角形的性质 同步练（含答案）2025--2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
A 基础过关
1.已知△ABC∽△DEF,AC : DF = 3 : 1,AB=6,则DE为 ( )
A.18 B.2 C.54 D.
2.如图,P 是△ABC 的边 AC上一点,若△ABP ∽△ACB,∠A = 45°,∠ABC =110°,则∠ABP 的度数为( )
A.25° B.35° C.45° D.110°
3.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是 ( )
A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16
4. 已知△ABC∽△A'B'C',且 则S△ABC: S△A'B'C'为 ( )
A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1
B 随堂检测
5.已知△ABC 的三边长分别为 4 cm,5cm ,6 cm, △DEF 的一边长为 2cm ,若两个三角形相似，则△DEF 的另外两边长不可能是( )
A.2.5cm ,3cm B.1.6 cm,2.4 cm
C. cm, cm D.1.6cm,2.5cm
6.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是 ( )
A.1:16 B.1:4
C.1:6 D.1:2
7.如图,已知AB,CD,EF 都与BD 垂直,垂足分别是 B,D,F,且AB=1,CD=3,那么 EF的长是 ( )
A. B. C. D.
8.如图,把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半，若 则此三角形移动的距离 AA'是 ( )
A. B. C.1 D.
9.如图,O为矩形ABCD 的中心,将直角△OPQ的直角顶点与O 重合，一条直角边OP 与OA重合，使△OPQ 沿逆时针方向绕点O 旋转，两条直角边始终与边 BC，AB 相交，交点分别为M,N.若AB=4,AD=6,BM=x,AN=y,则 y 与x 之间的函数图象是 ( )
10.如图,矩形 ABCD 中,E 是CD 延长线上一点,连接 BE 交 AD 于点 F,连接 CF,已知AB=1,BC=2,若△ABF 与△CEF 的面积相等，则DE 的长为 ( )
A. B. C. D.
11.如图,在△ABC 纸板中,AC=4,BC=8,AB=11,P 是 BC 上一点,沿过点 P 的直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么 CP 长的取值范围是 ( )
A.0C.1≤CP<8 D.2≤CP<8
12. 已 知 △ABC∽△DEF, 相似 比 为 3, 则△ABC 与△DEF 的面积之比为 .
13.如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比 进行缩小，得到的直角三角形的面积是 .
14. 如图,已知在 Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点 C 在x 轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过 OA 的中点 B，交AC 于点 D,连接OD.若△OCD∽△ACO,则直线OA 的解析式为 .
15.如图,AB 与 CD 相交于点 O,△OBD∽ 求：
(1)OA 的长;
(2)S△OBD.
16.如图所示，三个边长为1 的正方形ABCD，ABEF,EFHG 拼在一起.
(1)请找出图中相似的两个三角形，并证明；
(2)求∠1,∠2,∠3这三个角度数之和.
17.在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 的顶点O是坐标原点，点B 在 x 轴的负半轴上，且CB⊥x轴,点 A 的坐标为(0,6),在 OB 边上有一点 P ，满足
(1)求点 P 的坐标;
(2)如果△AOP 与以A,P,C 为顶点的三角形相似,且∠PAC=90°,求点 C 的坐标.
C能力提升
18.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC 中,∠A=40°,∠B =60°,当∠BCD = 时,CD 为△ABC 的完美分割线；
(2)如图2,在△ABC 中,AC=2,BC= CD 是△ABC 的完美分割线,且CD 为等腰三角形的底边，求完美分割线 CD的长.
答案
1. B ∵△ABC∽△DEF,AC:DF=3:1,AB=6,
解得 DE=2.
2. A ∵△ABP∽△ACB,
∴∠APB=∠ABC=110°,
3. B∵两个相似三角形对应边之比是1：4，
又∵相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比，
∴它们的对应中线之比为1：4.
5. D 设△DEF 的另外两边长分别为x cm,y cm,且x∵△ABC 与△DEF 相似,
∴当 时，解得
当 时,解得x=2.5,y=3;
当 时,解得x=1.6,y=2.4.
6. D∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2.
7. C ∵AB,CD,EF 都与BD 垂直,
∴AB∥CD∥EF,
∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,
∵AB=1,CD=3,
8. A ∵把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置,
∴AC∥A'C',
∴△ABC∽△A'BD,
9. C 如图,过点O分别作OE⊥BC 于E,OF⊥AB 于 F.
∵∠POQ=∠EOF=90°,
∴∠NOF=∠MOE,
∵∠NFO=∠MEO=90°,
∵AB=4,AD=6,BM=x,AN=y,
∴OF=BE=3,OE=BF=2,
∴NF=2-y,ME=3-x,
∴y与x之间的函数图象为选项 C.
10. D 设 DE=x,
∵DF∥BC,
∵△ABF 与△CEF 的面积相等,
整理得
解得 (舍去),
∴DE 的长为
11. B 如图所示,过点 P 作PD∥AB交AC 于D,或PE∥AC 交AB 于E,
则△DPC∽△ABC,△EBP∽△ABC,
此时0如图所示,过点 P 作∠BPF=∠A 交AB 于F,
则△PBF∽△ABC,
此时0≤CP<8;
如图所示,过点 P 作∠CPG=∠A 交AC 于G,
则
当点G 与点A 重合时，
∴此时0综上所述，CP 长的取值范围是012.9 ∵△ABC与△DEF 的相似比为3,∴△ABC 与△DEF 的面积之比为
13.9设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为a,b(a根据题意得 解得a=3,b=6,∴缩小后的直角三角形的面积为
14. y=2x 设OC=a,
∵点 D 在反比例函数 的图象上，
∵△OCD∽△ACO,∴OCC=∞,
∴点 A 的坐标为
∵B 是OA 的中点,
∴点 B 的坐标为
∵点 B 在反比例函数 的图象上，
解得
∴点 B 的坐标为(a/ ,a).
设直线 OA 的解析式为y=mx,
则 解得m=2,
∴直线OA 的解析式为y=2x.
15.解:(1)∵△OBD∽△OAC,∴OBA=OD/C=
∵OB=6,∴OA=10;
(2)∵△OBD∽△OAC,且
16.解:(1)△ACF∽△AHC.
证明如下：
∵三个正方形的边长均为1，
∴AD=CD=AF=1,AH=2,
又∠FAC=∠CAH,∴△ACF∽△AHC;
(2)∵△ACF∽△AHC,
∴∠2=∠ACH,
而∠1=∠ACH+∠3,∴∠1=∠2+∠3.
∵∠1=45°,∴∠1+∠2+∠3=90°.
17.解:(1)∵点 A 的坐标为(0,6),∴OA=6,
∴点 P 的坐标为(-3,0);
(2)∵∠AOP=∠PAC=90°,△AOP 与以A,P,C 为顶点的三角形相似,
或
或
或
如图,过点 C 作CD⊥y轴于点D,
∵∠CDA=∠PAC=∠AOP=90°,
∴∠DCA+∠CAD=∠CAD+∠OAP=90°,
∴∠DCA=∠OAP,
当 时
解得
∴点C 的坐标为
同理，当 时，
∴DC=12,DA=6,
∴OD=12,
∴点C 的坐标为(-12,12).
综上所述，点C 的坐标为 或(-12,12).
18.解:(1)40°;
(2)①当△ACD 是等腰三角形时,△BCD∽△BAC,
∵AC=AD=2,BC=
设BD=x,则AB=2+x,
解得
∵x>0,∴BD=-1+
∵△BCD∽△BAC,
②当△BCD 是等腰三角形时,△ADC∽△ACB,
设AD=y,则.
解得 (舍),
∵△ADC∽△ACB,
综上所述，CD的长为 或1.