新人教版八年级数学下学期3月第一次月考学情测试卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：新教材人教版八年级上册第19~20章+第21章部分内容（21.1-21.2）。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.若代数式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列算式中，正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在 中，平分交边于点，，，则 的周长是( )
A. B. C. D.
5.若最简二次根式与能合并，则的值是( )
A. B. C. D.
6.如图，中，，分别以直角三角形的三条边为边，在直线同侧分别作正三角形，已知，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
7.如图，在周长为的等边三角形的内部有一点，过点作，，，分别交三边于点，，，则等于 ．
A. B. C. D.
8.如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，，则( )
A. B. C. D.
9.如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是( )
A. B. C. D.
10.如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点且满足连结，交于点，连接若已知线段的长度，则可求出( )
A. 三角形的面 B. 三角形ACF 的面积 C. 三角形AEF 的面积 D. 三角形ABF的面积
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若，则的值为 ．
12.在中，，则 ．
13.将一矩形纸条，按如图所示折叠，则______度．
14.已知，是实数，且满足，则的值为 ．
15.如图，在 中，点是边的中点，连接，，的面积为，则的面积为 ．
16.如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为
17.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图中，若正方形的边长为，正方形的边长为，且，则正方形的边长为 ．
18.如图，在四边形中，，，，，若，分别为边，上的动点，则的周长的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分计算：； ．
20.本小题分已知，，试求代数式的值．
21.本小题分如图所示，在四边形中，已知，，，且点，分别在，的延长线上．求证：．
22.本小题10分某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛即图中阴影部分，每个长方形花坛的长为米，宽为米
求长方形的周长结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
23.本小题10分如图，在 中，点是边上任意一点，连接，，点，分别是和的中点，连接，．
求证：．
当点在边上什么位置时，四边形是平行四边形并证明．
24.本小题10分【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量绳子比旗杆多出的部分的长度，测得绳子多出部分的长度是米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量点与旗杆底部点之间的距离，测得距离为米．
【问题解决】设旗杆的高度为米，通过计算即可求得旗杆的高度．
依题意知 米，用含有的式子表示的长为 米；
请你求出旗杆的高度．
25.本小题10分我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
四边形是等对角四边形，，若，，则 ， ．
图、图均为的正方形网格，线段，的端点均在格点上，按要求以，为边在图、图中各画一个等对角四边形要求：四边形的顶点在格点上，且两个四边形不全等．
26.本小题12分
如图，在四边形中， ，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为
用含的代数式表示：________ ；________ ；________ ；________ ．
当为何值时，四边形是平行四边形？
当为何值时，四边形是平行四边形？
27.本小题12分请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式 的值．
小明的做法如下：
，
，
两边平方，得：
，
，
．
把 作为整体代入，得，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决下列问题：
已知，求代数式 的值；
已知，求代数式 的值．
28.本小题12分
阅读：如图，在中，，，，求的长．
小明的思路：如图，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长．
解决下列问题：
图中， ______， ______；
在中，，，的对边分别为、、如图，当时，用含，式子表示．
答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.若代数式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意可知，，
，
解得：．
故选：．
根据被开方数是非负数列式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键．
2.下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
【答案】B
【解析】解：，
该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
B.，
该组数据能作为直角三角形的三边长，符合题意；
C.，
该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
D.，
该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；
故选：．
分别计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3.下列算式中，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.如图，在 中，平分交边于点，，，则 的周长是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：平分，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长，
故选：．
首先根据角平分线的性质可得，再根据是平行四边形，进而证明出，利用平行线的性质可得到，进而得到，根据等角对等边及平行四边形周长定义可得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
5.若最简二次根式与能合并，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
由题意可得：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得，
故选：．
先化简二次根式可得，再得出最简二次根式与是同类二次根式，则可得，由此即可得．
本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键．
6.如图，中，，分别以直角三角形的三条边为边，在直线同侧分别作正三角形，已知，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由图可知：
，
过点作于点，
是等边三角形，
，，
，
，
同理可得，
设，，，则有，，
；
故选：．
由图形得到，设直角三角形的三边长为、、，由等边三角形面积公式代入求解即可．
本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，解题的关键是掌握等边三角形的面积．
7.如图，在周长为的等边三角形的内部有一点，过点作，，，分别交三边于点，，，则等于 ．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，因为是等边三角形，所以．
因为，所以，，，
所以是等边三角形，所以．
因为，
所以是等边三角形，所以，
所以，所以．
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以．
因为等边的周长是，所以，
所以．
故选D．
8.如图，直线与正五边形的边，分别相交于点，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正五边形性质可得，．，，，，故选C．
9.如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了新定义问题，涉及数式规律与二次根式的化简求值，解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
根据新定义得，，则；，，则，，由此得到，所以得到．
【解答】
解：，，，
，
，，
，
，
，
则．
故选A．
10.如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点且满足连结，交于点，连接若已知线段的长度，则可求出( )
A. 三角形的面 B. 三角形ACF 的面积
C. 三角形AEF 的面积 D. 三角形ABF的面积
【答案】D
【解析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
先证明，则可得，以为边，在的上方作等边三角形，连接，可得，再证明，可得，则可得答案．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
如图，以为边，在的上方作等边三角形，连接，
，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作的垂线段，交于点，
，
，
，
综上，已知线段的长度，则可求出的面积，
故选：．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若，则的值为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
根据非负数的性质得出方程组求出、的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】
解：，
，
解得：，
．
故答案为：．
12.在中，，则 ．
【答案】
【解析】【分析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．根据勾股定理可以计算出的长．
【详解】解：在中，，
，
故答案为：．
13.将一矩形纸条，按如图所示折叠，则______度．
【答案】
【解析】解：该纸条是折叠的，
的同位角的补角；
矩形的上下对边是平行的，
的同位角．
根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．
本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质．
14.已知，是实数，且满足，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：由题可知，
，，
解得，
当时，，
则．
故答案为：．
根据二次根式有意义条件，推出，，再将其代入中计算，即可解题．
本题考查了二次根式有意义条件，以及代数式求值，解题的关键在于由二次根式有意义条件求出，的取值．
15.如图，在 中，点是边的中点，连接，，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【解析】如解图，过点作，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
是边的中点，
点是边的中点，
，
．
16.如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为
【答案】
【解析】解：设，，
，
即，解得，
，
．
17.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图中，若正方形的边长为，正方形的边长为，且，则正方形的边长为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形的面积．
根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得个直角三角形的面积，进一步得到个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形的面积，进一步求出正方形的边长．
【解答】
解：每个直角三角形的面积是
，
正方形的面积是
，
则正方形的边长为．
故答案为：．
18.如图，在四边形中，，，，，若，分别为边，上的动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，连接，作点关于的对称点为，作点关于的对称点为，连接，交于点，交于点，交于点，连接，，，，由勾股定理得，，，，，，，，，，，，，，的周长为，当，，，四点共线时，的周长最小，最小值为的长，即为．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
【答案】解：
解：
【解析】【分析】根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂以及二次根式的运算法则分别化简各项，再进行加减运算．
先根据二次根式的乘除法运算法则对式子中的乘除运算进行化简，再计算平方运算，最后进行加减运算．
本题主要考查了实数的综合运算，涉及零指数幂任何非零数的次幂都等于、绝对值正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数、负整数指数幂为正整数以及二次根式的乘除法和乘方运算．熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
20.本小题6分
已知，，试求代数式的值．
【答案】解：，
将，代入可得：
原式
【解析】【分析】先将代数式变形为，再将与的值代入计算即可．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和代数式求值，解题的关键是将原代数式整理成方便代入计算的形式．
21.本小题6分
如图所示，在四边形中，已知，，，且点，分别在，的延长线上．求证：．
【答案】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
【解析】由，，得出四边形是平行四边形，得出，即得出，再由，得出四边形是平行四边形，进一步得出结论即可．
此题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的基本判定方法是解决问题的关键．
22.本小题10分
某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛即图中阴影部分，每个长方形花坛的长为米，宽为米
求长方形的周长结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】解：米，
长方形的周长为米．
平方米，
则元，
要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．
【解析】根据长方形的周长公式计算即可；
先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．
此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
23.本小题10分如图，在 中，点是边上任意一点，连接，，点，分别是和的中点，连接，．
求证：．
当点在边上什么位置时，四边形是平行四边形并证明．
【答案】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,CD=AB.点F,G分别是AE和BE的中点,FG是ABE的中位线,FG=AB.FG=CD.
(2)解:当点E在CD边上的中点位置时,四边形CEFG是平行四边形.证明如下:四边形ABCD是平行四边形,AB//CD,AB=CD.由(1)可知,FG是ABE的中位线,FG//AB,FG=AB=CD.FG//CD.点E是CD的中点,CE=CD.FG=CE.四边形CEFG是平行四边形.
24.本小题10分
【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量绳子比旗杆多出的部分的长度，测得绳子多出部分的长度是米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量点与旗杆底部点之间的距离，测得距离为米．
【问题解决】设旗杆的高度为米，通过计算即可求得旗杆的高度．
依题意知 米，用含有的式子表示的长为 米；
请你求出旗杆的高度．
【答案】(1)5;（x＋1）
(2)解：在中，由勾股定理，得，即，
解得．
答：旗杆的高度为12米．
【解析】
解：根据题意知： 米， 米．
故答案为：； ；
详细解答和解析过程见
25.本小题10分我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
四边形是等对角四边形，，若，，则 ， ．
图、图均为的正方形网格，线段，的端点均在格点上，按要求以，为边在图、图中各画一个等对角四边形要求：四边形的顶点在格点上，且两个四边形不全等．
【答案】(1)110; 100
(2)等对角四边形ABCD如图所示.
【解析】
四边形是等对角四边形，，
，
．
故答案为，．
略
26.本小题12分
如图，在四边形中， ，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为
用含的代数式表示：________ ；________ ；________ ；________ ．
当为何值时，四边形是平行四边形？
当为何值时，四边形是平行四边形？
【答案】解：，，，；
根据题意有，，，．
，
当时，四边形是平行四边形．
，
解得．
时四边形是平行四边形；
由，，
，，
，
如图，，
当时，四边形是平行四边形．
即：，
解得，
当时，四边形是平行四边形．
【解析】【分析】根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出，，，的长；
当时，四边形是平行四边形，建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可；
当时，四边形是平行四边形；建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
27.本小题12分
请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式 的值．
小明的做法如下：
，
，
两边平方，得：
，
，
．
把 作为整体代入，得，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决下列问题：
已知，求代数式 的值；
已知，求代数式 的值．
【答案】(1)解：，
，
两边平方得：，即，
，
；
(2)解：，
，
，
两边平方，得，即，
，即，
．
【解析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，正确理解题意是解题的关键．
根据求出，然后两边平方后求出，求出，再代入求出答案即可；
根据求出，再两边平方求出，求出，再变形后代入，即可求出答案．
28.本小题12分
阅读：如图，在中，，，，求的长．
小明的思路：如图，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长．
解决下列问题：
图中， ______， ______；
在中，，，的对边分别为、、如图，当时，用含，式子表示．
【答案】
【解析】解：如图，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
在直角和直角中，
由勾股定理得到：，即，
解得，，
故答案为：；；
作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是边的垂直平分线，
，．
，，
，
，
，
，
，，即，
，
由题意得，，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，．
作于点，在的延长线上取点，使得，连接，根据垂直平分线的性质得到，，根据题意、三角形内角和定理得到，根据勾股定理计算即可；
仿照的作法解答．
本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．新人教版八年级数学下学期3月第一次月考学情测试卷
答题卡
E
D
C
A
B
F
A
B
G
F
D
E
C
B
①
②
A P>
D
B
←—2
C
