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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第16章
课标要求 1.理解函数的基本概念，能识别变量与常量，判断两个变量之间是否存在函数关系，并会求简单函数的自变量的取值范围；2.掌握函数的三种表示方法，理解其各自特点并能相互转化；3.熟练运用平面直角坐标系，能根据坐标描点、根据点的位置写出坐标，理解函数图象的概念；4.掌握一次函数的概念、图象和性质，能根据已知条件用待定系数法确定一次函数表达式，并能结合图象解释其实际意义，能用一次函数解决简单实际问题；5.掌握反比例函数的概念、图象和性质，理解比例系数k的几何意义，能根据实际问题确定反比例函数表达式，能用反比例函数解决简单实际问题；6.能画出简单函数的图象，并能从图象中获取信息，分析函数的增减性、变化趋势等性质；7.具备初步的函数应用能力，能建立简单实际问题的函数模型；8.通过阅读材料与数学活动，了解函数发展的文化背景，体会数形结合思想，初步接触函数性质的理性推理方法。
内容分析 函数这一章在初中数学里具有重要的连接作用，它为学生搭建起从认识变量到建立函数模型的完整思维框架。本章以函数概念为核心起点，从生活实例中抽象出变量间的对应关系，并借助平面直角坐标系实现函数关系的可视化表达，在此基础上，重点展开对一次函数和反比例函数两类基本模型的深入研究，系统学习它们的概念、图象特征、性质以及实际应用方法。整个单元都强调数形结合思想和函数建模能力的培养，既为后续函数学习奠定坚实基础，也引导学生学会用联系的数学观点理解和描述现实世界的变化规律。由于函数知识具有高度抽象性、数形结合紧密、与实际应用联系广泛等特点，学生理解起来往往存在困难，教师在教学中要注重从学生熟悉的情境出发，设计循序渐进的探究活动，让学生在具体到抽象的过渡中逐步建立起对函数概念的深刻理解。
学情分析 八年级学生在本章之前尚未系统学面直角坐标系和变量、常量的概念，虽然学生在生活中对“一个量随着另一个量变化”有过一些直观感受，比如气温随时间变化等，但还没有把这些经验转化为系统的数学概念。他们对用图形表示数量关系有一定兴趣，但还不熟悉如何在坐标系中描点、看图说话。同时，学生刚开始学习用数学语言描述变化规律，容易把函数关系和简单算式混淆，需要教师通过具体实例帮助他们理解“唯一对应”这一核心特征。教学中应当从学生熟悉的生活变化入手，逐步引导他们认识变量、建立坐标系、画出变化图形，最终形成对函数及其图象的整体认识。
单元目标 （一）教学目标1.经历从生活实例中抽象变量与函数概念的过程，理解函数是描述两个变量间单值对应关系的数学模型；2.通过建立平面直角坐标系和描点作图的活动，掌握函数图象的绘制方法，体会数形结合的思想方法；3.经历一次函数图象的绘制与观察过程，掌握一次函数的图象特征和性质，发展几何直观能力；4.通过待定系数法的学习与应用，掌握根据已知条件确定一次函数表达式的方法，体会方程与函数的联系；5.经历反比例函数图象的探究过程，理解反比例函数的图象特征及其性质，形成分类讨论的思维习惯；6.通过函数知识在实际问题中的综合应用，初步建立函数模型，发展数学建模能力和应用意识；7.在函数学习过程中，感受数学与现实生活的密切联系，养成严谨求实的科学态度。（二）教学重点、难点教学重点：函数概念的理解与建立，一次函数与反比例函数的图象特征及其基本性质的掌握，数形结合思想的初步运用。教学难点：从具体情境中抽象出函数关系并建立模型，理解函数图象与解析式之间的对应关系，综合运用函数知识解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1变量与函数116.2函数的图象216.3一次函数416.4反比例函数216.5实践与探索1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1变量与函数1.理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质；2.能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量；3.了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式；4.通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。1.能区分具体问题中的常量、变量、自变量和因变量；2.能判断两个变量之间是否存在函数关系；3.能说出函数的三种表示方法；4.能根据简单情境列出函数解析式。任务1：分析生活实例，指出其中的变量与常量；任务2：判断给定的对应关系是否为函数关系；任务3：用解析式、列表两种方式表示同一个函数关系；任务4：根据实际问题列出函数式。16.2函数的图象1.认识并能画出平面直角坐标系，理解点的坐标意义；2.理解函数图象的概念，初步体会“数形结合”思想；3.能识别简单的函数图象，并会通过描点法画出简单函数的图象；4.能从函数图象中读取基本信息。1.能在坐标系中标出点的位置，或根据点的位置写出坐标；2.能说出函数图象是满足函数关系的点的集合的概念；3.能用描点法画出简单函数的图象；4.能根据图象，说出因变量随自变量的增减变化情况。任务1：在给定的坐标系中，能准确描出给的点，并写出已知点的坐标；任务2：判断给定的坐标系中的曲线是否能表示一个函数的图象；任务3：用描点法画出简单函数在给定范围内的图象；任务4：观察一个简单实际问题的函数图象，描述其上升、下降或保持不变的趋势。16.3一次函数1.理解一次函数和正比例函数的概念，能识别和判断；2.掌握一次函数的图象和性质；3.能用待定系数法求一次函数的表达式;4.能运用一次函数知识解决简单的实际问题。1.能根据解析式判断函数是否为一次函数或正比例函数;2.能画出一次函数的草图，并能根据k、b的符号说出图象经过的象限和增减性;3.能根据已知两点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式;4.能根据实际问题建立一次函数模型，并进行简单计算或判断。任务1：对给定的函数关系式进行分类与辨析;任务2：分析与讨论一次函数中参数对图象的影响，并进行作图;任务3：根据已知点的坐标等信息，求解一次函数的解析式;任务4：建立一次函数模型来解决简单的应用问题。16.4反比例函数1.理解反比例函数的概念，能根据定义进行判断;2.会用描点法画反比例函数的图象，了解其图象特征;3.掌握反比例函数的主要性质（如增减性、象限分布）;4.能用反比例函数解决简单的实际问题。1.能准确识别反比例函数，并能说出其一般形式;2.能正确画出反比例函数的图象，并描述其形状特征;3.能根据k的符号，说出反比例函数的图象所在的象限及增减性;4.能利用反比例函数的关系式解决简单的几何或实际问题。任务1：辨析给定的函数关系式是否为反比例函数;任务2：通过描点法画出反比例函数的图象，并观察总结其特点;任务3：分析与讨论反比例函数中比例系数k对图象和性质的影响;任务4：运用反比例函数知识解决简单的应用问题。16.5实践与探索1.理解一次函数与一元一次方程（组）之间的联系，体会数形结合思想;2.能综合运用函数、方程知识分析并解决实际问题;3.提高从函数图象中获取信息，并进行数学分析和决策的能力。1.能从“数”与“形”两个角度，解释一次函数与一元一次方程（组）的关系;2.能利用函数图象法或解析法，解决涉及方程的简单综合问题;3.能建立合适的函数模型，对实际问题进行定量分析和解释。任务1：探究并讨论一次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元一次方程的解之间的关系;任务2：通过函数图象法求两条直线交点的坐标，并理解其与方程组解的关系;任务3：结合图象分析，解决实际问题。
《函数及其图象》单元教学设计
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分课时教学设计
《16.1变量与函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是函数知识的启蒙课，是学生从常量数学思维迈入变量数学思维的关键起点。本节首次正式引入在变化过程中两个相关联的变量的概念，并建立“函数”这一刻画动态关系的核心数学模型。教学内容以四个典型生活实例为线索，引导学生从具体情境中抽象出变量、常量、函数的概念，并学习函数的三种表示方法。本节知识是后续学习一次函数、反比例函数乃至各类函数的基础，蕴含着从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，以及用数学语言表达现实变化的模型思想。其中，对自变量取值范围的讨论，初步渗透了定义域的概念，是培养学生数学严谨性的重要环节。
学习者分析 八年级的学生已具备一定的观察、比较、归纳和简单推理能力，能够理解表格、图形和代数式所表达的基本数量关系。在日常生活中，他们已积累了大量“一个量随另一个量变化”的朴素经验（如气温随时间变化等），但尚未将其系统化、数学化地概括为“函数”的概念。
教学目标 1.理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质； 2.能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量； 3.了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式； 4.通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。
教学重点 变量与函数概念的形成与理解。
教学难点 从具体情境中抽象出函数关系，并能用解析式等数学语言进行刻画。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：从“变化”中发现“关系” 在我们的生活中，很多事情都在变化。 那么请同学们思考一下，在汽车行驶过程中，时间不停变化，行驶的路程也在变化，那么时间和路程之间有没有什么联系呢？如果有联系，那他们是怎样一种联系？让我们带着问题走进今天的课程，学习变量与函数。学生活动1： 学生思考，带着问题探索知识。活动意图说明：以学生熟悉的“汽车行驶”情境为载体，激活已有认知，自然引出“变化”与“联系”的话题。通过设问引导学生在“变化”中发现“关系”，为抽象出“变量”和“函数”概念做铺垫，完成从具体经验到数学概念的初步过渡。环节二：新知探究教师活动2： （本环节有配套AI交互动画，课件可点击展示） 问题1：图16.1.1是某地一天内的气温变化图。 【提问】这张图告诉我们哪些信息？ 看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温。 (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，哪些时段的气温在逐渐升高？哪些时段的气温在逐渐降低？ 从图中我们可以看到，随着时间t(h)的变化，气温T(℃)也随之变化。 问题2: 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表： 观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？ 问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值： 细心的同学可能会发现：每一列λ与f的对应值的乘积是一个定值，即 或者说 可以看出：波长λ越大，频率f就______。 问题4：圆的面积随着半径的增大而增大。如果用 r表示圆的半径，用S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：______ 利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表： 学生活动2： 教师提问，学生思考，并且回答问题,能够答出以下答案： 由图可见，一天之中温度随时间的变化而变化。 (1)6时气温：约-1℃；10时气温：约2℃；14时气温：约5℃。 对于任意给出的某一时刻（如8时），可在图中找到对应的气温值（如约0℃），每个时刻都有唯一确定的气温与之对应。 (2)最高气温：约5℃;最低气温：约-3℃。 (3)气温逐渐升高的时段：约4时至14时； 气温逐渐降低的时段：约0时至4时，以及约14时至24时。 随着年龄的增长，小蕾的体重整体呈持续增加的趋势。其中在1岁到2岁阶段体重增长较快，从7.9千克增加到12.2千克；在10岁到13岁阶段，体重每年增长约3.6-3.7千克，是另一个明显的快速增长期。 越小 活动意图说明：通过4个实例引导学生体会变量之间的对应关系，认识一个量随另一个量变化而确定的事实，为抽象出函数概念建立直观基础。环节三：新知讲解教师活动3：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律。这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的值。例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们可以取不同的数值。像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable）。 【提问】在其他三个问题中，有哪些变量？ 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖、密切相关。一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，我们就说是自变量（independent variable），是因变量（dependent variable），此时也称是的函数（function）。 【提问】试说出上面4个问题中的自变量与因变量。 表示函数关系的方法通常有三种： 1.解析法：如问题3中的，问题4中的，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式。 2.列表法：如问题2中小蕾的体重表，问题3中波长与频率的关系表。 3.图象法：如图16.1.1所示的气温曲线图。 在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant）。如问题3中的300000，问题4中的π等都是常量。 在研究函数时，必须注意自变量的取值范围。实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义。例如，上述问题4中，自变量表示圆的半径，所以不能为负数和0，即它的取值范围是一切正实数。 试一试【提问】 1.填写如图16.1.2所示的10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，你能发现什么？ 2.把这些涂黑的格子横向的加数用表示，纵向的加数用表示，试写出与之间的函数关系式。 3.当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？ 答案：1.将所有和为10的格子涂黑，对应的数对有： (1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)。 直观发现：这些涂黑的格子在表格中从左上角到右下角形成了一条整齐的斜线。 2.x+y=10，与的函数关系式为（）。 3. (1)已知横向加数，求纵向加数： 将代入函数关系式：，所以，当横向加数为3时，纵向加数是7。 (2)已知纵向加数，求横向加数： 将代入函数关系式：，所以，当纵向加数为6时，横向加数是4。学生活动3： 学生思考后回答,能回答出： 在问题2中，变量是：年龄和体重； 在问题3中，变量是：波长λ和频率f； 在问题4中，变量是：半径r和圆面积S。 学生思考后回答,能回答出： 问题1中自变量是时间t，因变量是气温T；问题2中自变量是年龄，因变量是体重；问题3中自变量是波长λ，因变量是频率f；问题4中自变量是半径r，因变量是圆面积S。 学生思考并理解。 学生小组讨论，解决问题，能正确回答 活动意图说明：本环节旨在引导学生从具体实例中抽象出变量、常量、函数等核心概念，理解函数的本质是“唯一对应”关系。通过分析四个问题中的变量依赖与三种表示方法，帮助学生形成对函数的结构化认识，并明确自变量取值范围的实际意义，为后续建立函数模型奠定基础。环节四：典例精析教师活动4： 例1等腰三角形顶角的度数是底角度数的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量的取值范围。 解 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可知 得 由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是。 例2如图16.1.3，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为10cm，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合。 (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式。 (2)当点从点开始向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？ 解(1)重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式为 【提问】这里自变量x的取值范围是什么？ (2)点从点开始向右移动1cm，即，.当时，. 所以当点从点开始向右移动1cm时，重叠部分的面积是。 那么也可以这样说，当自变量x=1时函数值y=。学生活动4： 学生听讲并理解 学生思考后回答，能回答出：0≤x≤10 活动意图说明：通过两个几何实例，引导学生从不同实际问题中抽象出函数关系，并学习如何求函数解析式、自变量取值范围及具体函数值，体会简单函数建模的过程。
板书设计 1.定义：变量、常量、函数 2.函数关系的表示:解析法、列表法、图像法
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一辆匀速行驶的汽车，油箱中现有汽油50升，每行驶1小时耗油6升。设行驶时间为小时，油箱剩余油量为升。指出其中的常量、自变量和因变量。 常量：50，6；自变量：；因变量：。 2.请你写出一个用解析法表示的函数关系（写出关系式即可），并指出其中的自变量和因变量。 （示例）。自变量是，因变量是。 3.下列关于变量x、y的关系式：① y=2x+3；② y=x2+3；③ y=2|x|；④y=；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是 ． ①②③ 【方法】判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应。 4.判断下列说法是否正确，并说明理由: (1) 圆的周长公式中，和都是变量。 正确。因为可以取不同的值，也随着的变化而变化。 (2) 正方形的面积是边长的函数，因为当确定时，也唯一确定。 正确。符合函数定义：对于的每一个值，都有唯一确定的与之对应。 选做题： 5.已知等腰三角形周长为20cm，设底边长为cm，腰长为cm，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。 ，。 6.一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程（km）与行驶时间（h）的函数关系式是什么？当时，求的值；当时，求的值。 ；当时，；当时，。 【综合拓展类作业】 7. 某商场推出购物优惠活动：消费满100元后，超出部分按8折收费。设顾客消费金额为元（），实际付款金额为元，写出关于的函数解析式，并计算消费250元时应付款多少元。 ； 当时，元。
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.判断下列说法是否正确，并说明理由: (1)常量就是永远不变的量，比如数字1、2、3都是常量。 错误。常量是相对于一个具体的变化过程而言的，在该过程中数值保持不变。数字1、2、3本身是数字，不一定是某个具体过程中的常量。 (2)在函数关系中，因为变化时都变化，所以是因变量。 错误。在中，是自变量，是因变量。 2.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量. （1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化； （2）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应的实数为y，y 随 x 的变化而变化． （1）S是x的函数，其中x是自变量。 （2）y不是x的函数。 3.某通信公司手机话费套餐：月租费29元，通话每分钟0.2元。 (1)设本月通话时间为分钟，总话费为元，写出与的关系式。 (2)自变量是什么？它的实际取值有什么限制？ 自变量是通话时间。实际中应满足，且通常取整数。 4.已知长方形的周长为 30 cm。若设长方形的长为cm，宽为cm，请写出与之间的关系式。 根据长方形周长公式：。化简得：，所以。 选做题： 5.用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为cm，面积为cm ，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。 ，。 6.已知某水池现有水量立方米，现以每分钟5立方米的速度匀速放水，设放水时间为分钟，水池剩余水量为立方米，写出关于的函数解析式（用表示），并求出自变量的取值范围。 ，。 【综合拓展类作业】 7. 甲、乙两家书店对同一套书促销。甲店：一次性购买超过10本，超过部分每本打8折；乙店：全部按标价9折出售。已知书每本标价20元。设购买x本（x>10），在甲店需付元，在乙店需付元。 (1)写出关于x的函数解析式。 (2)若要购买30本，去哪家更省钱？ (1)甲店：。 乙店：。 (2)当时，元，元，甲店更省钱。
教学反思 本节课从生活实例和数学问题中引导学生抽象出变量与函数的概念，整体达成了教学目标。学生在分析问题时，对“唯一对应”这一函数本质的理解较为顺利，但在根据实际问题确定自变量取值范围这一环节上，部分学生表现出困难，尤其在结合几何条件（如“等腰三角形底角为锐角”）或实际意义（如“人数必须为正整数”）进行推理时，可能思虑不周，思考的严谨性有待加强。在今后的教学中，应设计更多从具体情境中抽象函数关系并讨论取值范围的变式练习，帮助学生更好地建立函数模型观念，同时兼顾不同层次学生的理解水平，促进数学抽象能力的逐步形成。
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第十六章 函数及其图象
变量与函数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
试一试
06
典例精析
07
课堂练习
04
新知讲解
08
课堂小结
09
作业布置
01
教学目标
理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质；
01
能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量；
了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式；
通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。
02
03
04
02
新知导入
从“变化”中发现“关系”
在汽车行驶过程中，时间不停变化，行驶的路程也在变化，那么时间和路程之间有没有什么联系呢？如果有联系，那他们是怎样一种联系？
03
新知探究
问题1：图16.1.1是某地一天内的气温变化图。
这张图告诉我们哪些信息？观看动画，回答问题
03
新知探究
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温。
6时气温：约-1℃；10时气温:约2℃；14时气温：约5℃。对于任意给出的某一时刻，可在图中找到对应的气温值,每个时刻都有唯一确定的气温与之对应。
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
最高气温：约5℃;最低气温：约-3℃。
03
新知探究
(3)这一天中，哪些时段的气温在逐渐升高？哪些时段的气温在逐渐降低？
气温逐渐升高的时段：约4时至14时；
气温逐渐降低的时段：约0时至4时，以及约14时至24时。
从图中我们可以看到，随着时间t(h)的变化，气温T(℃)也随之变化。
03
新知探究
问题2：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：
观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
03
新知探究
随着年龄的增长，小蕾的体重整体呈持续增加的趋势。其中在1岁到2岁阶段体重增长较快，从7.9千克增加到12.2千克；在10岁到13岁阶段，体重每年增长约3.6-3.7千克，是另一个明显的快速增长期。
03
新知探究
问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值：
细心的同学可能会发现：每一列λ与f的对应值的乘积是一个定值，即或者说
可以看出：波长λ越大，频率f就__________。
越小
03
新知探究
问题4：圆的面积随着半径的增大而增大。如果用 r表示圆的半径，用S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：____________
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
半径 r/cm 1 1.5 2 2.6 3.2 ...
圆面积 S/cm ...
3.14
7.07
12.56
21.23
32.15
04
新知讲解
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律。这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的值。
例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们可以取不同的数值。像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable）。
04
新知讲解
在问题2中，变量是：年龄和体重；
在问题3中，变量是：波长λ和频率f；
在问题4中，变量是：半径r和圆面积S。
在其他三个问题中，有哪些变量？
04
新知讲解
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖、密切相关。一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量（independent variable），y是因变量（dependent variable），此时也称y是x的函数（function）。
04
新知讲解
问题1中自变量是时间t，因变量是气温T；
问题2中自变量是年龄，因变量是体重；
问题3中自变量是波长λ，因变量是频率f；
问题4中自变量是半径r，因变量是圆面积S。
试说出上面4个问题中的自变量与因变量。
04
新知讲解
表示函数关系的方法通常有三种：
1.解析法：如问题3中的，问题4中的，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式。
2.列表法：如问题2中小蕾的体重表，问题3中波长与频率的关系表。
3.图象法：如图16.1.1所示的气温曲线图。
04
新知讲解
在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant）。如问题3中的300000，问题4中的π等都是常量。
在研究函数时，必须注意自变量的取值范围。实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义。例如，上述问题4中，自变量表示圆的半径，所以不能为负数和0，即它的取值范围是一切正实数。
05
1.填写如图16.1.2所示的10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，你能发现什么？
2.把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x之间的函数关系式。
3.当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
试一试
05
1.将所有和为10的格子涂黑，对应的数对有：
(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)。
直观发现：这些涂黑的格子在表格中从左上角到右下角形成了一条整齐的斜线。
2.x+y=10，y与x的函数关系式为
y=10-x（x=1,2,…,9）。
试一试
05
3. (1)已知横向加数x=3，求纵向加数y：
将x=3代入函数关系式y=10-x，y=10-3=7，所以，当横向加数为3时，纵向加数是7。
(2)已知纵向加数y=6，求横向加数x：
将y=6代入函数关系式y=10-x，x=10-6=4，所以，当纵向加数为6时，横向加数是4。
试一试
06
典例精析
例1 等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围。
解 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，
可知2x+y=180,
得y=180-2x.
由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量x的取值范围是006
典例精析
例2 如图16.1.3，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为10cm，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合。
06
典例精析
(1).试写出两图形重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式。
解 重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式为
这里自变量x的取值范围是什么？
0≤x≤10
06
典例精析
(2).当点从点开始向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？
点从点开始向右移动1cm，即，.
当时，.
所以当点从点开始向右移动1cm时，重叠部分的面积是。
那么也可以这样说，当自变量x=1时函数值y=。
07
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.一辆匀速行驶的汽车，油箱中现有汽油50升，每行驶1小时耗油6升。设行驶时间为小时，油箱剩余油量为升。指出其中的常量、自变量和因变量。
常量：50，6；自变量：；因变量：。
2.请你写出一个用解析法表示的函数关系（写出关系式即可），并指出其中的自变量和因变量。
（示例）y=6x+5。自变量是x，因变量是y。
07
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列关于变量x、y的关系式：① y=2x+3；② y=x2+3；③ y=2|x|；④y=；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是 ．
①②③
【方法】判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应。
07
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.判断下列说法是否正确，并说明理由:
(1) 圆的周长公式中，和都是变量。
正确。因为可以取不同的值，也随着的变化而变化。
(2) 正方形的面积是边长的函数，因为当确定时，也唯一确定。
正确。符合函数定义：对于的每一个值，都有唯一确定的与之对应。
07
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知等腰三角形周长为20cm，设底边长为cm，腰长为cm，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。
，。
6.一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程（km）与行驶时间（h）的函数关系式是什么？当时，求的值；当时，求的值。
；当时，；当时，。
07
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 某商场推出购物优惠活动：消费满100元后，超出部分按8折收费。设顾客消费金额为元（），实际付款金额为元，写出关于的函数解析式，并计算消费250元时应付款多少元。
；
当时，元。
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课堂小结
变量与函数
定义
变量：变化过程中可取不同值的量。
常量：变化过程中保持不变的量。
函数：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与其对应,也称是的函数。
函数的表达方式
解析法（公式）
列表法（表格）
图象法（图形）
波长频率、圆面积
体重表
气温图
在实际问题中，自变量取值要符合实际意义。
09
作业布置
【知识技能类作业】
1.判断下列说法是否正确，并说明理由:
(1)常量就是永远不变的量，比如数字1、2、3都是常量。
错误。常量是相对于一个具体的变化过程而言的，在该过程中数值保持不变。数字1、2、3本身是数字，不一定是某个具体过程中的常量。
(2)在函数关系中，因为变化时都变化，所以是因变量。
错误。在中，是自变量，是因变量。
09
作业布置
【知识技能类作业】
2.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化；
S是x的函数，其中x是自变量。
（2）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应的实数为y，y 随 x 的变化而变化．
y不是x的函数。
09
作业布置
【知识技能类作业】
3.某通信公司手机话费套餐：月租费29元，通话每分钟0.2元。
(1)设本月通话时间为分钟，总话费为元，写出与的关系式。
(2)自变量是什么？它的实际取值有什么限制？
自变量是通话时间。实际中应满足，且通常取整数。
09
作业布置
【知识技能类作业】
4.已知长方形的周长为 30 cm。若设长方形的长为cm，宽为cm，请写出与之间的关系式。
根据长方形周长公式：。
化简得：，
所以。
09
作业布置
【知识技能类作业】
5.用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为cm，面积为cm ，写出关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围。
，。
09
作业布置
【知识技能类作业】
6.已知某水池现有水量立方米，现以每分钟5立方米的速度匀速放水，设放水时间为分钟，水池剩余水量为立方米，写出关于的函数解析式（用表示），并求出自变量的取值范围。
，。
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作业布置
【综合实践类作业】
7. 甲、乙两家书店对同一套书促销。甲店：一次性购买超过10本，超过部分每本打8折；乙店：全部按标价9折出售。已知书每本标价20元。设购买x本（x>10），在甲店需付元，在乙店需付元。
(1)写出关于x的函数解析式。
甲店：。
乙店：。
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作业布置
【综合实践类作业】
7. 甲、乙两家书店对同一套书促销。甲店：一次性购买超过10本，超过部分每本打8折；乙店：全部按标价9折出售。已知书每本标价20元。设购买x本（x>10），在甲店需付元，在乙店需付元。
(2)若要购买30本，去哪家更省钱？
当时，元，元，甲店更省钱。
Thanks!
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