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16.2函数的图象分课时教学设计
《16.2.2函数的图象》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是函数概念的延续与深化，教材从气温曲线这一生活实例引入，引导学生思考图象中点与函数值的关系，进而抽象出函数图象的定义。通过例1详细讲解“列表、描点、连线”的描点法作图步骤，让学生掌握画函数图象的基本方法。例2以爬山问题为背景，训练学生从图象中读取信息并解决实际问题的能力。本节内容渗透了数形结合思想，既是对函数概念的直观化呈现，又为后续学习一次函数、二次函数等具体函数的图象与性质奠定基础。
学习者分析 学生已初步理解函数的概念，能够根据解析式计算函数值，具备描点画图的基本操作能力。但八年级学生仍处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对于“图象上的点如何反映函数关系”这一本质问题的理解可能不够深入，需要借助直观图形和生活实例来帮助建构知识。
教学目标 1.理解函数图象的意义，知道图象上的点与函数对应值之间的关系； 2.掌握描点法画函数图象的一般步骤，能画出简单函数的图象； 3.能够从函数图象中读取相关信息，解决简单的实际问题； 4.体会数形结合思想，感受数学与生活的联系。
教学重点 理解函数图象的意义，掌握描点法画函数图象的方法。
教学难点 理解图象上的点与函数对应值之间的对应关系，体会数形结合思想。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 在16.1节的问题1中，我们曾经从图16.1.1的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题。现在让我们来作一些理性的思考。先考虑一个简单的问题：你是如何在图中找到各个时刻的气温的？学生活动1： 学生思考后回答。活动意图说明：引导学生回顾从气温曲线图中读取温度的过程，将直观感受提炼为“由横轴找点、再由点读纵轴”的理性读图方法，为理解函数图象中变量间的对应关系奠定基础。环节二：新知探究教师活动2： 图16.1.1中，有一个平面直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温。这一气温曲线实际上给出了某日的气温T(℃)与时间t(h)之间的函数关系。例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10，2)。实质上也就是说，当t=10时，对应的函数值T=2。 气温曲线上每一个点的坐标(t，T)，表示时间为t(h)时的气温是T(℃)。 【提问】早上6点的气温是零下1℃，在图中体现在哪里？ 气温曲线是用图象表示函数关系的一个实例例子。那么，什么是函数的图象呢？学生活动2： 学生思考后能够回答出: 在气温曲线上，可以找到对应点，它的坐标是(6，-1) 带着问题进行下一步探索。活动意图说明：通过具体问题引导学生将气温曲线上的点与坐标(t， T)对应起来，初步感知“图象是函数关系的直观表示”，为抽象概括函数图象的定义做铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的。图象上每一点的坐标(x，y)表示函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与该自变量对应的函数值。学生活动3： 学生思考理解函数图像的概念。活动意图说明：引导学生将具体的读图经验抽象为函数图象的数学定义，理解图象是由表示对应关系的点构成的，从而建立数形结合的数学思想。环节四：典例精析教师活动4： 例1 画出函数的图象。 分析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先在自变量的取值范围内，适当取一些自变量的值，并求出对应的函数值。 （本环节可借助Ai附件展示，课件点击时可用） 解 取自变量x的一些值，例如，计算出对应的函数值。为表达方便，可列表如下： x…-3-2-10123…y…4.520.500.524.5…
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：（ 3，4.5)，( 2，2)，( 1，0.5)，(0，0)，(1，0.5)，(2，2)，(3，4.5) 在平面直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点，如图16.2.4所示。 通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图16.2.5所示。 这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法. 例2 爷爷和小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山。有一天，小强让爷爷先上山，然后追赶爷爷，两人都爬上了山顶。图16.2.6中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(m)与爬山所用时间(min)之间的函数关系（从小强开始爬山时计时）。 看图回答下列问题： （1）小强让爷爷先上山多少米？ （2）山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？ （3）小强何时赶上爷爷？这时距山脚的距离是多少？ 为了表达方便，这里平面直角坐标系的横轴和纵轴上取的单位长度不一致，这不影响对问题的表达和理解。 试一试【提问】 画出16.1节例2(1)(第34页)中函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值。学生活动4： 学生尝试跟着例题的步骤画出图像。 学生思考后回答问题，能够回答出以下答案： （1）60米； （2）300米，小强先爬上山顶； （3）小强在8分钟时赶上爷爷，这时距山脚的距离是240米。 学生思考后自主画出图像并且回答问题： 函数关系式为： 图像为: 线段MA的最大长度为10cm，重叠部分面积的最大值为=50(cm2)活动意图说明：通过例题讲解，引导学生掌握用描点法画函数图象的步骤，并学会从图象中读取信息、分析变量关系，体会数形结合思想在解决问题中的作用。
板书设计 1.函数的图象 2.描点法画图象 3.从图象读信息
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各点中，在函数y=2x-1的图象上的是（ ） A.(0，1)B.(1，1)C.(2，3)D.(-1，-3) 答案：B 2. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ） A． B． C． D． 答案：解：由图可知：A、兔子后出发，先到了，∴此选项不符合题意； B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，∴此选项符合题意； C、乌龟先出发后到， ∴此选项不符合题意； D、乌龟先出发，与兔子同时到终点， ∴此选项不符合题意. 故答案为：B． 3.一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ） A． B． C． D． 答案：解：由题意得：，， ，解得， 即与的关系式为，是一次函数图象的一部分，且随的增大而减小，观察四个选项可知，只有选项符合。 4. 甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．则下列说法正确的是（ ） A．甲乙两车在距离B城处相遇 B．甲乙两车同时到达B城，甲车速度是 C．甲车比乙车早出发1小时，乙车的速度是 D．乙车的速度高于甲车，乙车用时4小时从A城到达B城 答案：解：根据图象得，A城与B城相距，甲车从出发，到达B城，乙车从出发，到达B城， ∴甲车速度：，乙车速度：， 乙先到达B城，甲车比乙车早出发1小时，根据图象得，甲乙两车在相遇，则， 故选项A正确；选项B错误；选项C错误； ∵，∴乙车的速度高于甲车， ∵（小时），∴乙车用3小时从A城到达B城， 故选项D错误；故答案为：A． 选做题： 5. 甲、乙两人从相距3600m的A，B两地相向而行，他们离B地的路程s(m)与从出发到相遇的运动时间t(单位：min)之间的函数关系如图．甲骑车、乙步行，甲的速度是乙的3倍，相遇后，乙坐甲的车原路返回．若甲骑车的速度一直不变，则乙返回所用时间是（ ） A．5min B．15min C．20min D．30min 答案：解：设乙步行速度为xm/min，则甲骑车速度为3xm/min，由图象可知甲、乙15分钟相遇，∴15（x+3x）=3600，解得：x=60，∴3x=3×60=180（m/min），相遇时乙所步行的路程=60×15=900（m），∴相遇后，乙坐甲的车原路返回，乙返回所用时间=900÷180=5（min）；故答案为：A 6. 某市经常刮风，给人们出行带来很多不便，小明观测了某天连续 小时的风力情况，并绘出了风力随时间变化的图象，则下列说法中，正确的是（ ）． A． 时风力最小 B．20 时风力最小 C．在 时至 时，风力最大为 7 级 D．在 时至 14 时，风力不断增大 答案：解：观察图象可知，4时风力最小，故A、B不符合题意；在8时至14时，风力最大为7级，故C不符合题意；D. 在8时至14时，风力不断增大，符合题意，故答案为：D. 【综合拓展类作业】 7.小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了______和______两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？ 答案：解：（1）时间，距离； （2）1500，4； （3）根据题意，得三次的速度如下： ①（米/分）， ②（米/分）， ③（米/分）， ∴，∴小潘骑车最快的速度是450米/分．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 1. 如图反映了巫山春季某天一段时间的气温T（）随时间t（h）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ） A．该段时间内的最低气温为18℃ B．从6时至15时，气温一直上升 C．该段时间内15时达到最高气温 D．从6时至20时，气温一直下降 答案：解：观察图象可知从0时到6时，温度逐渐下降，最低温度是，可得A正确，不符合题意；从6时到15时，温度逐渐上升，15时气温达到最高温度，可得B，C正确，不符合题意；从15时到20时，温度逐渐下降，可得D错误，符合题意．故选：D． 2. 如图， 表示某产品一天的销售收入与销售量的关系； 表示该产品一天的销售成本与销售量的关系。则销售收入y1与销售量之间的函数关系式 ，销售成本y2与销售量之间的函数关系式 ，当一天的销售量超过 时，生产该产品才能获利。（提示：利润=收入-成本） 答案：设y2=kx+2，y1=ax， ∵把（4，4）代入y2=kx+2得：4=4k+2，k= ，∴y2= x+2； ∵把（4，4）代入y1=ax得：a=1，∴y1=x， ∴要使销售收入超过成本，工厂能获利，必须y1＞y2，即x＞ x+2，x＞4， 故答案是：y1=x；y2= x+2；x＞4 3. 小明早晨从家骑车到学校，先上坡，后下坡，行驶情况如图所示，如果返回时上、下坡的速度与去学校时上、下坡的速度相同，那么小明从学校骑车回家用的时间是 . 答案:解：由图中可以看出：上坡速度为： =200/ min，下坡速度为： =500/ min，返回途中，上下坡的路程正好相反，所用时间为： =7.2+30=37.2 min。故答案为：37.2 min. 4. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为 ． 答案:解：设燃气汽车每千米所需的费用为元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，依题意得，，故答案为：． 【综合拓展类作业】 5.如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中的时间与路程图象如图所示，请根据图象回答下列问题： （1） 先出发，提前 小时； （2）运动过程中甲的速度为： 千米/小时，乙的速度为： 千米/小时； （3）请直接写出在甲的行进过程中，当甲、乙两人相距15千米时，自变量x的值是多少？ 答案：解：（1）由图象可得甲先出发，提前3时，故答案为：甲，3； （2）运动过程中甲的速度为：80÷8=10(千米/小时)， 乙的速度为：80÷(5-3)=80÷2=40(千米/小时)， 故答案为：10，40； （3）①追上之前甲、乙两人相距15千米时， 由题意可得：10x-40(x-3)=15，解得：x=3.5； ②追上之后甲、乙两人相距15千米时， 由题意可得：40(x-3)- 10x=15，解得：x=4.5； 即在甲的行进过程中，当甲、乙两人相距15千米时，自变量x的值是或
教学反思 本节课从气温曲线图引入，学生兴趣较高，对图象中点与函数值的对应关系理解较快。描点作图环节，大部分学生能按步骤完成的图象绘制，但部分学生选点不够均匀，导致图象变形，今后应加强对自变量取值合理性的指导。例2的爬山问题中，学生对交点的双重意义理解不够透彻，需要在后续教学中强化“交点即两函数值相等”这一本质。
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第十六章 函数及其图象
函数的图象
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
典例精析
06
试一试
07
课堂练习
04
新知讲解
08
课堂小结
09
作业布置
01
教学目标
理解函数图象的意义，知道图象上的点与函数对应值之间的关系；
01
掌握描点法画函数图象的一般步骤，能画出简单函数的图象；
能够从函数图象中读取相关信息，解决简单的实际问题；
体会数形结合思想，感受数学与生活的联系。
02
03
04
02
新知导入
在16.1节的问题1中，我们曾经从图16.1.1的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题。现在让我们来作一些理性的思考。先考虑一个简单的问题：你是如何在图中找到各个时刻的气温的？
03
新知探究
图16.1.1中，有一个平面直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温。这一气温曲线实际上给出了某日的气温T(℃)与时间t(h)之间的函数关系。
例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10,2)。实质上也就是说，当t=10时，对应的函数值T=2。气温曲线上每一个点的坐标(t,T)，表示时间为t(h)时的气温是T(℃)。
03
新知探究
早上6点的气温是零下1℃，在图中体现在哪里？
气温曲线是用图象表示函数关系的一个实例例子。那么，什么是函数的图象呢？
04
新知讲解
一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的。图象上每一点的坐标(x,y)表示函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与该自变量对应的函数值。
05
典例精析
例1 画出函数的图象
分析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先在自变量的取值范围内，适当取一些自变量的值，并求出对应的函数值。
观看动画，合作完成图象绘制
05
典例精析
解 取自变量x的一些值，例如x=-3,-2,-1,0,1,2,3,…，计算出对应的函数值。为表达方便，可列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：（ 3,4.5),( 2,2),( 1,0.5),(0,0),(1,0.5),(2,2),(3,4.5)
05
典例精析
在平面直角坐标系中，描出这些有序实数对（坐标）的对应点，如图16.2.4所示：
通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图16.2.5所示。
画函数图象的方法，可概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法.
05
典例精析
例2 爷爷和小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山。有一天，小强让爷爷先上山，然后追赶爷爷，两人都爬上了山顶。图16.2.6中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y(m)与爬山所用时间x(min)之间的函数关系（从小强开始爬山时计时）。
05
典例精析
看图回答下列问题：
（1）小强让爷爷先上山多少米？
（2）山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？
（3）小强何时赶上爷爷？这时距山脚的距离是多少？
为了表达方便，这里平面直角坐标系的横轴和纵轴上取的单位长度不一致，这不影响对问题的表达和理解。
05
典例精析
（1）小强让爷爷先上山多少米？
60米
（2）山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？
300米，小强先爬上山顶
（3）小强何时赶上爷爷？这时距山脚的距离是多少？
小强在8分钟时赶上爷爷，这时距山脚的距离是240米。
06
画出16.1节例2(1)(第34页)中函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值。
试一试
函数关系式为：
线段MA的最大长度为10cm,重叠部分面积的最大值为=50(cm2)
07
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 下列各点中，在函数y=2x-1的图象上的是（ ）
A.(0,1)B.(1,1)C.(2,3)D.(-1,-3)
答案：B
07
课堂练习
2.第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
07
课堂练习
解：由图可知：
A、兔子后出发，先到了，∴此选项不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，∴此选项符合题意；
C、乌龟先出发后到，∴此选项不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
07
课堂练习
3.一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（ ）
07
课堂练习
解：由题意得：h=20-5t
∵0≤h≤20，
∴0≤20-5t≤20，
解得0≤t≤4，
即h与t的关系式为h=20-5t(0≤t≤4)，是一次函数图象的一部分，且h随t的增大而减小，观察四个选项可知，只有选项C符合。
07
课堂练习
4.甲、乙两车从A城出发前往B城。在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙两车在距离B城处相遇
B．甲乙两车同时到达B城，甲车速度是
C．甲车比乙车早出发1小时，乙车的速度是
D．乙车的速度高于甲车，乙车用时4小时从A城到达B城
07
课堂练习
解：根据图象得，A城与B城相距300km，甲车从5:00出发，10:00到达B城，乙车从6:00出发，9:00到达B城。
∴甲车速度：300÷5=60(km/h)，乙车速度：300÷3=100(km/h)，
乙先到达B城，甲车比乙车早出发1小时，根据图象得，甲乙两车在7:30相遇，则100×1.5=150(km)，300-150=150(km)，故选项A正确；选项B错误；选项C错误。
∵100>60，∴乙车的速度高于甲车，∵9-6=3（小时）
∴乙车用3小时小时从A城到达B城，故选项D错误。
07
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.甲、乙两人从相距3600m的A，B两地相向而行，他们离B地的路程s(m)与从出发到相遇的运动时间t(单位：min)之间的函数关系如图．甲骑车、乙步行，甲的速度是乙的3倍，相遇后，乙坐甲的车原路返回．若甲骑车的速度一直不变，则乙返回所用时间是（ ）
A．5min B．15min C．20min D．30min
07
课堂练习
解：设乙步行速度为xm/min，则甲骑车速度为3xm/min，
由图象可知甲、乙15分钟相遇，
∴15（x+3x）=3600，解得：x=60，∴3x=3×60=180（m/min），相遇时乙所步行的路程=60×15=900（m），
∴相遇后，乙坐甲的车原路返回，
乙返回所用时间=900÷180=5（min），
故答案为：A
07
课堂练习
6. 某市经常刮风，给人们出行带来很多不便，小明观测了某天连续 24 小时的风力情况，并绘出了风力随时间变化的图象，则下列说法中，正确的是（ ）
A．8 时风力最小
B．20 时风力最小
C．在 8 时至 12 时，风力最大为 7 级
D．在 8 时至 14 时，风力不断增大
07
课堂练习
解：观察图象可知，4时风力最小，故A、B不符合题意；
在8时至14时，风力最大为7级，故C不符合题意；
D. 在8时至14时，风力不断增大，符合题意，故答案为：D.
07
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题：
07
课堂练习
（1）图象表示了______和______两个变量的关系；
（2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟；
（3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？
07
课堂练习
解：（1）时间，距离；（2）1500，4；
（3）根据题意，得三次的速度如下：
①（米/分），
②（米/分），
③（米/分），
∴，∴小潘骑车最快的速度是450米/分．
08
课堂小结
函数的图象
函数的图象
由满足函数关系的点 （x，y） 组成的图形
描点法画图象
列表、描点、连线
从图象看信息
找交点、看趋势、定最值
09
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图反映了巫山春季某天一段时间的气温T（°C）随时间t（h）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．该段时间内的最低气温为18℃
B．从6时至15时，气温一直上升
C．该段时间内15时达到最高气温
D．从6时至20时，气温一直下降
解：观察图象可知从0时到6时，温度逐渐下降，最低温度是18℃，可得A正确，不符合题意；
从6时到15时，温度逐渐上升，15时气温达到最高温度26℃，可得B，C正确，不符合题意；
从15时到20时，温度逐渐下降，可得D错误，符合题意．
故选：D．
09
作业布置
09
作业布置
2.如图， 表示某产品一天的销售收入与销售量的关系； 表示该产品一天的销售成本与销售量的关系。则销售收入y1与销售量之间的函数关系式 ，销售成本y2与销售量之间的函数关系式 ，当一天的销售量超过 时，生产该产品才能获利。（提示：利润=收入-成本）
解：设y2=kx+2，y1=ax，
∵把（4，4）代入y2=kx+2得：4=4k+2，k= ，∴y2= x+2；
∵把（4，4）代入y1=ax得：a=1，∴y1=x，
∴要使销售收入超过成本，工厂能获利，必须y1＞y2，即x＞ x+2，x＞4，
故答案是：y1=x；y2= x+2；x＞4
09
作业布置
09
作业布置
3.小明早晨从家骑车到学校，先上坡，后下坡，行驶情况如图所示，如果返回时上、下坡的速度与去学校时上、下坡的速度相同，那么小明从学校骑车回家用的时间是 .
解：由图中可以看出：
上坡速度为： =200/ min，下坡速度为： =500/ min，
返回途中，上下坡的路程正好相反，
所用时间为： =7.2+30=37.2 min。
故答案为：37.2 min.
09
作业布置
09
作业布置
4. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为 ．
解：设燃气汽车每千米所需的费用为元，
则燃油汽车每千米所需的费用为元，
依题意得，，故答案为：．
09
作业布置
09
作业布置
【综合实践类作业】
5.如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中的时间与路程图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1） 先出发，提前 小时；
（2）运动过程中甲的速度为： 千米/小时，
乙的速度为： 千米/小时；
（3）请直接写出在甲的行进过程中，当甲、乙两人相距15千米时，自变量x的值是多少？
09
作业布置
解：（1）由图象可得甲先出发，提前3时，故答案为：甲，3；
（2）运动过程中甲的速度为：80÷8=10(千米/小时)，
乙的速度为：80÷(5-3)=80÷2=40(千米/小时)。
（3）①追上之前甲、乙两人相距15千米时，由题意可得：
10x-40(x-3)=15，解得：x=3.5；
②追上之后甲、乙两人相距15千米时，由题意可得：
40(x-3)- 10x=15，解得：x=4.5；即在甲的行进过程中，当甲、乙两人相距15千米时，自变量x的值是或 。
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作业布置
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第16章
课标要求 1.理解函数的基本概念，能识别变量与常量，判断两个变量之间是否存在函数关系，并会求简单函数的自变量的取值范围；2.掌握函数的三种表示方法，理解其各自特点并能相互转化；3.熟练运用平面直角坐标系，能根据坐标描点、根据点的位置写出坐标，理解函数图象的概念；4.掌握一次函数的概念、图象和性质，能根据已知条件用待定系数法确定一次函数表达式，并能结合图象解释其实际意义，能用一次函数解决简单实际问题；5.掌握反比例函数的概念、图象和性质，理解比例系数k的几何意义，能根据实际问题确定反比例函数表达式，能用反比例函数解决简单实际问题；6.能画出简单函数的图象，并能从图象中获取信息，分析函数的增减性、变化趋势等性质；7.具备初步的函数应用能力，能建立简单实际问题的函数模型；8.通过阅读材料与数学活动，了解函数发展的文化背景，体会数形结合思想，初步接触函数性质的理性推理方法。
内容分析 函数这一章在初中数学里具有重要的连接作用，它为学生搭建起从认识变量到建立函数模型的完整思维框架。本章以函数概念为核心起点，从生活实例中抽象出变量间的对应关系，并借助平面直角坐标系实现函数关系的可视化表达，在此基础上，重点展开对一次函数和反比例函数两类基本模型的深入研究，系统学习它们的概念、图象特征、性质以及实际应用方法。整个单元都强调数形结合思想和函数建模能力的培养，既为后续函数学习奠定坚实基础，也引导学生学会用联系的数学观点理解和描述现实世界的变化规律。由于函数知识具有高度抽象性、数形结合紧密、与实际应用联系广泛等特点，学生理解起来往往存在困难，教师在教学中要注重从学生熟悉的情境出发，设计循序渐进的探究活动，让学生在具体到抽象的过渡中逐步建立起对函数概念的深刻理解。
学情分析 八年级学生在本章之前尚未系统学面直角坐标系和变量、常量的概念，虽然学生在生活中对“一个量随着另一个量变化”有过一些直观感受，比如气温随时间变化等，但还没有把这些经验转化为系统的数学概念。他们对用图形表示数量关系有一定兴趣，但还不熟悉如何在坐标系中描点、看图说话。同时，学生刚开始学习用数学语言描述变化规律，容易把函数关系和简单算式混淆，需要教师通过具体实例帮助他们理解“唯一对应”这一核心特征。教学中应当从学生熟悉的生活变化入手，逐步引导他们认识变量、建立坐标系、画出变化图形，最终形成对函数及其图象的整体认识。
单元目标 （一）教学目标1.经历从生活实例中抽象变量与函数概念的过程，理解函数是描述两个变量间单值对应关系的数学模型；2.通过建立平面直角坐标系和描点作图的活动，掌握函数图象的绘制方法，体会数形结合的思想方法；3.经历一次函数图象的绘制与观察过程，掌握一次函数的图象特征和性质，发展几何直观能力；4.通过待定系数法的学习与应用，掌握根据已知条件确定一次函数表达式的方法，体会方程与函数的联系；5.经历反比例函数图象的探究过程，理解反比例函数的图象特征及其性质，形成分类讨论的思维习惯；6.通过函数知识在实际问题中的综合应用，初步建立函数模型，发展数学建模能力和应用意识；7.在函数学习过程中，感受数学与现实生活的密切联系，养成严谨求实的科学态度。（二）教学重点、难点教学重点：函数概念的理解与建立，一次函数与反比例函数的图象特征及其基本性质的掌握，数形结合思想的初步运用。教学难点：从具体情境中抽象出函数关系并建立模型，理解函数图象与解析式之间的对应关系，综合运用函数知识解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1变量与函数116.2函数的图象216.3一次函数416.4反比例函数216.5实践与探索1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1变量与函数1.理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质；2.能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量；3.了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式；4.通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。1.能区分具体问题中的常量、变量、自变量和因变量；2.能判断两个变量之间是否存在函数关系；3.能说出函数的三种表示方法；4.能根据简单情境列出函数解析式。任务1：分析生活实例，指出其中的变量与常量；任务2：判断给定的对应关系是否为函数关系；任务3：用解析式、列表两种方式表示同一个函数关系；任务4：根据实际问题列出函数式。16.2函数的图象1.认识并能画出平面直角坐标系，理解点的坐标意义；2.理解函数图象的概念，初步体会“数形结合”思想；3.能识别简单的函数图象，并会通过描点法画出简单函数的图象；4.能从函数图象中读取基本信息。1.能在坐标系中标出点的位置，或根据点的位置写出坐标；2.能说出函数图象是满足函数关系的点的集合的概念；3.能用描点法画出简单函数的图象；4.能根据图象，说出因变量随自变量的增减变化情况。任务1：在给定的坐标系中，能准确描出给的点，并写出已知点的坐标；任务2：判断给定的坐标系中的曲线是否能表示一个函数的图象；任务3：用描点法画出简单函数在给定范围内的图象；任务4：观察一个简单实际问题的函数图象，描述其上升、下降或保持不变的趋势。16.3一次函数1.理解一次函数和正比例函数的概念，能识别和判断；2.掌握一次函数的图象和性质；3.能用待定系数法求一次函数的表达式;4.能运用一次函数知识解决简单的实际问题。1.能根据解析式判断函数是否为一次函数或正比例函数;2.能画出一次函数的草图，并能根据k、b的符号说出图象经过的象限和增减性;3.能根据已知两点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式;4.能根据实际问题建立一次函数模型，并进行简单计算或判断。任务1：对给定的函数关系式进行分类与辨析;任务2：分析与讨论一次函数中参数对图象的影响，并进行作图;任务3：根据已知点的坐标等信息，求解一次函数的解析式;任务4：建立一次函数模型来解决简单的应用问题。16.4反比例函数1.理解反比例函数的概念，能根据定义进行判断;2.会用描点法画反比例函数的图象，了解其图象特征;3.掌握反比例函数的主要性质（如增减性、象限分布）;4.能用反比例函数解决简单的实际问题。1.能准确识别反比例函数，并能说出其一般形式;2.能正确画出反比例函数的图象，并描述其形状特征;3.能根据k的符号，说出反比例函数的图象所在的象限及增减性;4.能利用反比例函数的关系式解决简单的几何或实际问题。任务1：辨析给定的函数关系式是否为反比例函数;任务2：通过描点法画出反比例函数的图象，并观察总结其特点;任务3：分析与讨论反比例函数中比例系数k对图象和性质的影响;任务4：运用反比例函数知识解决简单的应用问题。16.5实践与探索1.理解一次函数与一元一次方程（组）之间的联系，体会数形结合思想;2.能综合运用函数、方程知识分析并解决实际问题;3.提高从函数图象中获取信息，并进行数学分析和决策的能力。1.能从“数”与“形”两个角度，解释一次函数与一元一次方程（组）的关系;2.能利用函数图象法或解析法，解决涉及方程的简单综合问题;3.能建立合适的函数模型，对实际问题进行定量分析和解释。任务1：探究并讨论一次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元一次方程的解之间的关系;任务2：通过函数图象法求两条直线交点的坐标，并理解其与方程组解的关系;任务3：结合图象分析，解决实际问题。
《函数及其图象》单元教学设计
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