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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十七章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解得 意义，经历估计方程解得过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程, 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解--元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，
内容分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展.学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数做好铺垫，
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标 1. 经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2.熟练掌握配方法解一元二次方程。 3.推导求根公式，并会根据判别式判断根的情况。 4.能够利用韦达定理解决根和系数相关问题。 5.掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； （二）教学重点、难点 重点： 1.一元二次方程的概念及一般形式； 2.配方法、公式法、因式分解法的解题步骤； 3.根的判别式的意义及应用； 4.列一元二次方程解决实际问题（尤其是增长率、面积、利润问题） 难点： 1.配方法的解题步骤； 2.求根公式的推导过程； 3.根的判别式与根的关系的灵活应用； 4.实际问题中等量关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数17.1 一元二次方程117.2 一元二次方程的解法317.3一元二次方程根的判别式117.4一元二次方程根与系数的关系117.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1一元二次方程 1. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程； 2. 会将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a?=0），并能确定 a,b,c 的值； 3. 能根据实际问题列出一元二次方程。1. 能准确判断一个方程是否为一元二次方程； 2. 能正确将方程化为一般形式并确定系数； 3. 能结合实际情境建立一元二次方程模型。任务一：情境导入，初步接触一元二次方程；任务二：通过例题练习，识别一元二次方程并化为一般形式；任务三：解决简单的实际问题，列出一元二次方程。17.2.1一元二次方程的解法 (第一课时)1.理解配方法的原理，掌握配方的关键步骤； 2.能熟练运用配方法求解一元二次方程1.能准确完成配方步骤，将方程转化为完全平方形式； 2.能规范运用配方法求解一元二次方程，计算结果正确； 任务一：复习导入 任务二：探究新知，理解配方法的步骤 任务三：例题精讲，运用配方法解方程。 17.2.2一元二次方程的解法(第二课时)1.掌握一元二次方程的求根公式 x= 2.能熟练运用公式法求解一元二次方程； 3.能根据方程的特点，灵活选择直接开平方法、配方法或公式法进行求解。1.能准确套用求根公式，计算结果正确； 2.能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 3.能对比不同解法的优缺点，形成解题策略。任务一：引入课题。 任务二：探究新知，推导求根公式. 任务三：例题精讲，运用公式解方程。 17.2.3一元二次方程的解法(第三课时)1.理解因式分解法的依据，掌握 “若 ab=0，则 a=0或b=0”； 2.会用提公因式法、公式法对一元二次方程因式分解； 3.能正确、规范地用因式分解法解一元二次方程。1.能准确套用因式分解法，计算结果正确； 2能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 任务一：复习巩固 任务二：探究新知，提公因式法解一元二次方程 任务三：公式法（平方差、完全平方）因式分解解方程 任务四：例题讲解17.3一元二次方程根的判别式 1.理解根的判别式 Δ=b2 4ac的定义； 2.掌握Δ与根的关系： Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根； 3.能根据 Δ的符号判断根的情况，或逆向求参数范围。1.能准确计算任意一元二次方程的判别式 Δ； 2.可快速根据 Δ 符号判断根的个数； 3.能解决含参数的判别式问题，确定参数取值范围。任务一：复习巩固 任务二：基础计算，求 Δ 并判断根的情况； 任务三：逆向推导题，已知根的情况求参数； 任务四：综合小题，结合判别式分析方程根的特点。 17.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握韦达定理：若一元二次方程的两根为 则； 2.能利用韦达定理求两根之和、两根之积，或相关代数式的值 3.理解韦达定理的适用条件（Δ≥0）。1.能准确套用韦达定理计算 2.可熟练进行代数式变形，利用韦达定理求值； 3.能注意判别式条件，避免解题疏漏任务一：复习巩固 任务二：探究新知，推导韦达定理 任务三：例题讲解17.5.1一元二次方程的应用(第一课时)1.理解增长率、下降率的意义，掌握连续两次增长（降低）的数量关系。 2能根据题意列出一元二次方程： a(1+x)2=b 3.会解方程、检验根的合理性，舍去不符合实际的1.能准确区分基数、增长后量、增长率，正确写出增长模型。 2.能独立列出增长率问题的一元二次方程，不出现等量关系错误。 3.能正确解方程，并根据实际意义舍去负增长率 / 大于 1 的不合理解。 4.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究增长率问题的解法 任务三：例题讲解17.5.2一元二次方程的应用（第二课时）1.能根据面积公式、周长关系、折叠性质列出一元二次方程 2. 能根据题意正确列出分式方程，并熟练求解、检验 3. 体会分式方程在生活中的广泛应用，培养严谨验算的习惯1.能独立列出一元二次方程，不出现等量关系错误。 2.能正确解方程，并根据实际意义舍去不合理的解。 3.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究几何图形的应用题的解法 任务三：探究含分式方程的应用题的解法 任务四：例题讲解
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17.1一元二次方程教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17
课题 17.1一元二次方程 课时 1
教材分析 一元二次方程是初中数学核心内容，主要包含定义、一般形式、根的判别式及求根公式等。教材编排由浅入深，从实际问题抽象出方程，注重数形结合。关键是通过配方推导公式，理解判别式与根的关系，为后续函数学习奠定基础。
学情 分析 学生已掌握一元一次方程和实数运算，但面对二次结构时易出现畏难情绪。主要困难在于理解求根公式的推导过程，以及运用判别式判断根的情况。教学中需加强从特殊到一般的引导，通过具体例子帮助学生建立信心，突破代数变形和公式记忆的难点。
核心素养目标 1. 了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数、常数项。 2. 通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力 3. 通过学习一元二次方程的概念,培养学生对概念理解的完整性和深刻性,渗透方程的思想,从而进一步提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点 了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数、常数项
教学难点 对一元二次方程概念的理解及应用
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1、我们曾学过哪些方程？ 2、什么是一元一次方程？ 3、什么是方程的解(或根)？ 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识
二、引新 创设情境，引入课题 某蔬菜队 2019 年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 2021 年无公害蔬菜的产量比 2019 年翻一翻（即为 200 t）.要实现这一目标，2020 年和 2021 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 思考：根据以往的经验，你想用什么方法来解决这个实际问题？ 方程 学生观看视频，思考问题 通过问题，自然引入课题
二、探究 合作探究，活动领悟 解：设这个生产基地无公害蔬菜产量的年平均增长率是x， 那么，今年无公害蔬菜产量为 100+100x=100(1+x)(t)， 明年无公害蔬菜产量为 100(1+x)+100(1+x)x=100(1+x)2(t). 用图表示为： 根据题意，得 100（1+x）2 =200 . 化简，得（1+x）2 =2 . 整理，得 x2+2x-1=0. ① 问题2 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空 地上，修筑宽相等的三条小路( 两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直 )，把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少 ？ 若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2. 由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？ 32×20 - ( 32x+2×20x ) + 2x2 = 570. 整理以上方程，可得x2 - 36x + 35 = 0 ②. 观察上面所列的方程，这两个方程之间有什么共同的特点？ x2+2x-1＝0 x2-36x+35＝0 特点：① 只含有一个未知数 (元) ② 未知数的最高次数是 2 ③ 方程两边都是整式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的 整式方程，叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0). 其中，ax2 叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数； c 叫作常数项. 任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式. 注意点：只要满足a≠0即可，b，c可以为0. 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 判断下列方程中，哪些是关于 x 的一元二次方程？ (1) (2) x3-x+4=0 (3) 4x2+3x-2=(2x-1)2 (4) x2-2y-3=0 (5) (m+1)x2+3x+1=0 (6) 2x2=0 (7) 4x2=5x (8) 10x2=9 方法点拨 判断一元二次方程的方法： 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，回答问题 通过小组讨论、任务分工与共同解决挑战性问题的过程，不仅深化对一元二次方程解法和应用的理解，更能培养学生的批判性思维、沟通协作能力与团队精神，实现从“学会”到“会学”的转变。
三、变式 师生互动，变式深化 例 已知方程. （1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； （2）判断-1是否为该方程的根. 解：（1）去括号，得. 移项、合并同类项，得方程的一般形式： 它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-8. 解法解读 化一元二次方程为一般形式的基本步骤： 去括号→移项→合并同类项. 特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉各项的符号 . （2）把代入原方程的左右两边，得 . . 因为左边=右边，所以-1是该方程的根. 特别提醒 判断一个数是不是一元二次方程的根的方法： 将这个数代入方程中，如果该数使方程左右两边的值相等，那么这个数就是方程的根；反之，如果该数不能使方程左右两边的值相等，那么这个数就不是方程的根 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.下列方程中，是一元二次方程的是 ( ) A.2x2＝1 B.x2＋＝1 C.ax2＋2x＋3＝0 D.x2－y－2＝0 2.将一元二次方程5x2－4x＝1化成一般形式后(二次项系数为正)，二次项系数和一次项系数分别是 ( ) A.5，－1 B.5，－4 C.5，1 D.5，4 3.当m＝ 时，方程(m＋3)x|m|-1＋3x－2＝0是关于x的一元二次方程. 4.的常数项为0，则 的值为____. 5、已知关于 x 的一元二次方程 m(x-1)2=-3x2+x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，求 m 的值. 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 3x＋2＝9 B. ＋2x－3＝0 C. y2＋3x＝7 D. ＋x＝1 2.若方程6x－2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. －3x2 B. －22 C. －2y2 D. －x 3.若方程kx2＋x＝3x2＋1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是 . 4.若a－b＝－2，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0必有一个实数根为 . 5、m 是方程 x2+x-1=0 的根，求 m3+2m2+2025 的值.
教学反思 本节课重点突出公式推导与应用，通过配方演示化解了抽象性。但部分学生对判别式的理解仍停留在记忆层面，未能灵活迁移。未来需设计更多变式练习，强化数形结合的直观教学，并关注学生运算细节，提高解决实际问题的综合能力。
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第十七章 一元二次方程
17.1一元二次方程
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数、常数项
01
通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力
02
通过学习一元二次方程的概念,培养学生对概念理解的完整性和深刻性,渗透方程的思想,从而进一步提高分析问题、解决问题的能力.
03
02
复习旧知
1、我们曾学过哪些方程？
一元一次方程、
二元一次方程、
分式方程
2、什么是一元一次方程？
只含有一个未知数 (元) ，
叫做一元一次方程.
并且未知数的最高次数是 1 的
整式方程
一元一次方程的一般形式：
ax+b=0
3、什么是方程的解(或根)
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解(或根).
02
创设情境
思考：根据以往的经验，你想用什么方法来解决这个实际问题？
方程
某蔬菜队 2019 年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划 2021 年无公害蔬菜的产量比 2019 年翻一翻（即为 200 t）.要实现这一目标，2020 年和 2021 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
03
新知探究
100(1+x)+100(1+x)x=100(1+x)2(t).
解：设这个生产基地无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，
根据题意，得
100（1+x）2 =200 .
整理，得
（1+x）2 =2 .
那么，今年无公害蔬菜产量为
100+100x=100(1+x)(t)，
明年无公害蔬菜产量为
化简，得
x2+2x-1=0. ①
用图表示为：
03
新知探究
问题2 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路( 两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直 )，把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少
若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
32x
2×20x
2x2
由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？
整理以上方程，可得
32×20 - ( 32x+2×20x ) + 2x2 = 570.
x2 - 36x + 35 = 0 ②.
03
新知探究
x2+2x-1＝0
x2-36x+35＝0
观察上面所列的方程，这两个方程之间有什么共同的特点？
③ 方程两边都是整式
① 只含有一个未知数 (元)
② 未知数的最高次数是 2
特点：
只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是2的
整式方程，
叫作
一元二次方程.
概念学习
03
新知探究
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数； c 叫作常数项.
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式.
注意点：只要满足a≠0即可，b，c可以为0.
03
新知探究
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0，
当 a ≠ 0，b = 0 时
ax2＋c = 0，
当 a ≠ 0，c = 0 时
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时
ax2 = 0，
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
判断下列方程中，哪些是关于 x 的一元二次方程？
(2) x3-x+4=0
×
×
(6) 2x2=0
(3) 4x2+3x-2=(2x-1)2
×
(4) x2-2y-3=0
(5) (m+1)x2+3x+1=0
×
×
√
(7) 4x2=5x
(8) 10x2=9
√
√
(1)
03
新知探究
03
新知探究
方法点拨
判断一元二次方程的方法：
03
新知探究
例 已知方程.
（1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
（2）判断-1是否为该方程的根.
解：（1）去括号，得.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：.
它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-8.
注意：不要忘记前面的符号.
03
新知探究
解法解读
化一元二次方程为一般形式的基本步骤：
去括号→移项→合并同类项.
特别提醒
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉各项的符号 .
03
新知探究
特别提醒
判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：
将这个数代入方程中，如果该数使方程左右两边的值相等，那么这个数就是方程的根；反之，如果该数不能使方程左右两边的值相等，那么这个数就不是方程的根 .
（2）把代入原方程的左右两边，得
.
.
因为左边=右边，所以-1是该方程的根.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列方程中，是一元二次方程的是 ( )
A.2x2＝1 B.x2＋＝1
C.ax2＋2x＋3＝0 D.x2－y－2＝0
A
2.将一元二次方程5x2－4x＝1化成一般形式后(二次项系数为正)，二次项系数和一次项系数分别是 ( )
A.5，－1 B.5，－4
C.5，1 D.5，4
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.当m＝ 时，方程(m＋3)x|m|-1＋3x－2＝0是关于x的一元二次方程.
4.的常数项为0，则 的值为____.
3
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5、已知关于 x 的一元二次方程 m(x-1)2=-3x2+x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，求 m 的值.
解：整理，得
(m+3)x2-(2m+1)x+m=0
∵ 该方程的二次项系数与一次项系数互为相反数
∴ m+3-(2m+1)=0
解得
m=2
05
课堂小结
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件
根
使方程左右两边相等的未知数的值
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列方程是一元二次方程的是（ B ）
A. 3x＋2＝9 B. ＋2x－3＝0
C. y2＋3x＝7 D. ＋x＝1
2.若方程6x－2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ A ）
A. －3x2 B. －22
C. －2y2 D. －x
B
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.若方程kx2＋x＝3x2＋1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是 .
4.若a－b＝－2，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0必有一个实数根为 .
k≠3
－1
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5、m 是方程 x2+x-1=0 的根，求 m3+2m2+2025 的值.
解：∵ m是方程 x2+x-1=0 的一个根
∴ m2+m-1=0
∴ m2+m=1
∴ m3+2m2+2025
= m3+m2+m2+2025
= m(m2+m)+m2+20125
= m+m2+2025
= 2026
= 1+2025
Thanks!
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