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17.3一元二次方程根的判别式教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17
课题 17.3一元二次方程根的判别式 课时 1
教材分析 一元二次方程根的判别式是初中代数核心内容，通过△=b -4ac的符号判断根的性质（实数根、相等根或无实数根）。以“概念推导→应用拓展”为主线，设计例题强化数学建模思想。其价值在于衔接方程解法与函数图像，为后续二次函数学习奠基，体现分类讨论与转化的数学思想
学情分析 学生已掌握一元二次方程解法，但对判别式的抽象逻辑理解不足，易混淆根的判别式与韦达定理的应用场景。常见误区包括忽略二次项系数限制条件（如a≠0）或误用判别式求根。教学需通过具象化案例（如几何图形面积问题）激活已有经验，强化符号运算与逻辑推理能力
核心素养目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.
教学重点 会用判别式判断一元二次方程的根的情况
教学难点 根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识
二、引新 创设情境，引入课题 谁是“裁判” 问题：不解方程，能否判断它们根的情况？ 谁是方程的“裁判” 谁来决定方程有没有根？ 谁来判定根的情况？ 学生思考问题 通过问题，自然引入课题
三、探究 合作探究，活动领悟 思考：在前面的学习中，你是否注意到：方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根有几种情况？ 它们的根的情况由哪个因素来决定的呢？ ① 何时有两个不相等的实数根？ ② 何时有两个相等的实数根？ ③ 何时没有实数根？ 我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方可以得到: 因为a≠0，所以4a2＞0. (1) 当b2－4ac>0时， >0，则 因此方程有两个不相等的实数根: 因此方程有两个不相等的实数根: (3) 当b2－4ac<0时， ，因此 ， 因此方程没有实数根. 一元二次方程根的判别式： 我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac. 特别提醒： （1）确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算； （2）使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 总结 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中Δ=b2－4ac. 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程没有实数根. 反过来，亦成立： 当方程有两个不相等的实数根时， ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， = 0； 当方程没有实数根时， ＜0. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生通过自主发现与协作交流，深入理解判别式△=b 4ac的数学本质及其对根的情况的决定作用
四、变式 师生互动，变式深化 例1 用根的判别式判别下列方程根的情况: (1)5x2－3x－2＝0； (2)25y2＋4＝20y； (3)2x2＋x＋1＝0. 解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0, 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为 25y2－20y＋4＝0. 因为 Δ＝(－20)2－4×25×4＝0， 所以原方程有两个相等的实数根. (3)因为Δ＝－4×2×1＝－5＜0, 所以原方程没有实数根. 根的判别式应用方法 1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值； 2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号； 3. 判别根的情况，得出结论。 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1. 下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2 2.若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 3.如果关于x的方程x2＋3x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是 . 4.已知关于x的方程（m－1）x2－x－2＝0，当该方程总有实数根时，m的取值范围是 . 5.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根. (1)求k的取值范围； (2)当k取最大整数时，求该方程的两个根. 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 一元二次方程根的情况由判别式决定 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.一元二次方程x2＋4x＋6＝0根的判别式的值为 （ ） 8 B. －8 C. 2 D. －2 2.关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3.若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ____． 4. 若关于的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是_____． 5. 已知关于x的方程x2－2mx＋m2－1＝0. （1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等的实
数根； （2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式 －3m2＋12m＋24
的值.
教学反思 本节课通过问题情境激发兴趣，引导学生比较不同解法，突出因式分解的简便性。成功之处在于强化了“降次”思想的渗透，学生能熟练运用提公因式和公式法解简单方程。不足之处包括：部分学生在公因式为多项式时出现分解错误，需增加变式练习；课堂互动不足，少数学生参与度低，后续应设计小组竞赛或错题剖析活动，深化理解。
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第十七章 一元二次方程
17.3一元二次方程根的判别式
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念
01
会用判别式判断一元二次方程的根的情况
02
根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围
03
02
复习旧知
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
02
创设情境
谁是“裁判”
谁是方程的“裁判”
x -5x+6=0
x +2x+5=0
问题：不解方程，能否判断它们根的情况？
谁来决定方程有没有根？
谁来判定根的情况？
03
新知探究
它们的根的情况由哪个因素来决定的呢？
② 何时有两个相等的实数根？
思考：在前面的学习中，你是否注意到：方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根有几种情况？
① 何时有两个不相等的实数根？
③ 何时没有实数根？
03
新知探究
我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方可以得到:
(1) 当b2－4ac>0时， >0，则
因为a≠0，所以4a2＞0.
因此方程有两个不相等的实数根:
03
新知探究
(2) 当b2－4ac=0时， ，因此方程有两个相等的实数根:
(3) 当b2－4ac<0时， ，因此 ，
因此方程没有实数根.
03
新知探究
一元二次方程根的判别式：
我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac.
特别提醒：
（1）确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；
（2）使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0.
03
新知探究
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中Δ=b2－4ac.
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程没有实数根.
总结
反过来，亦成立：
＞0；
= 0；
＜0.
当方程没有实数根时，
当方程有两个相等的实数根时，
当方程有两个不相等的实数根时，
03
新知探究
例1 用根的判别式判别下列方程根的情况:
(1)5x2－3x－2＝0； (2)25y2＋4＝20y；(3)2x2＋x＋1＝0.
解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0,
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为 25y2－20y＋4＝0.
因为 Δ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)因为Δ＝－4×2×1＝－5＜0,
所以原方程没有实数根.
03
新知探究
3. 判别根的情况，得出结论。
1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值；
根的判别式应用方法
2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号；
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 下列一元二次方程中,没有实数根的是( )
A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0
C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2
2.若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0
C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0
C
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如果关于x的方程x2＋3x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是 .
4.已知关于x的方程（m－1）x2－x－2＝0，当该方程总有实数根时，m的取值范围是 .
m≥
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根.
(1)求k的取值范围；
解 因为关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根，
所以Δ＝(－2)2－4(k＋1)≥0，
解得k≤0，
所以k的取值范围是k≤0.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根.
(2)当k取最大整数时，求该方程的两个根.
解 由(1)知，k的最大整数值为0，
则该方程为x2－2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝1，
所以方程的两个根都是1.
05
课堂小结
根的判别式
Δ = b2 - 4ac
当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根
当Δ < 0 时，方程没有实根
当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
一元二次方程x2＋4x＋6＝0根的判别式的值为 （ B ）
8 B. －8 C. 2 D. －2
2.关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是（ B ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
B
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ____．
4. 若关于的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是_____．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 已知关于x的方程x2－2mx＋m2－1＝0.
（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等的实
数根；
解：（1）证明：∵Δ＝（－2m）2－4（m2－1）＝4＞0，
∴对于任意实数m，该方程总有两个不相等的实数根.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式 －3m2＋12m＋24
的值.
解：（2）将x＝2代入原方程，得4－4m＋m2－1＝0，即m2－4m＝－3，
∴－3m2＋12m＋24＝－3（m2－4m）＋24＝－3×（－3）＋24＝33.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十七章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解得 意义，经历估计方程解得过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程, 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解--元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，
内容分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展.学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数做好铺垫，
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标 1. 经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2.熟练掌握配方法解一元二次方程。 3.推导求根公式，并会根据判别式判断根的情况。 4.能够利用韦达定理解决根和系数相关问题。 5.掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； （二）教学重点、难点 重点： 1.一元二次方程的概念及一般形式； 2.配方法、公式法、因式分解法的解题步骤； 3.根的判别式的意义及应用； 4.列一元二次方程解决实际问题（尤其是增长率、面积、利润问题） 难点： 1.配方法的解题步骤； 2.求根公式的推导过程； 3.根的判别式与根的关系的灵活应用； 4.实际问题中等量关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数17.1 一元二次方程117.2 一元二次方程的解法317.3一元二次方程根的判别式117.4一元二次方程根与系数的关系117.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1一元二次方程 1. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程； 2. 会将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a?=0），并能确定 a,b,c 的值； 3. 能根据实际问题列出一元二次方程。1. 能准确判断一个方程是否为一元二次方程； 2. 能正确将方程化为一般形式并确定系数； 3. 能结合实际情境建立一元二次方程模型。任务一：情境导入，初步接触一元二次方程；任务二：通过例题练习，识别一元二次方程并化为一般形式；任务三：解决简单的实际问题，列出一元二次方程。17.2.1一元二次方程的解法 (第一课时)1.理解配方法的原理，掌握配方的关键步骤； 2.能熟练运用配方法求解一元二次方程1.能准确完成配方步骤，将方程转化为完全平方形式； 2.能规范运用配方法求解一元二次方程，计算结果正确； 任务一：复习导入 任务二：探究新知，理解配方法的步骤 任务三：例题精讲，运用配方法解方程。 17.2.2一元二次方程的解法(第二课时)1.掌握一元二次方程的求根公式 x= 2.能熟练运用公式法求解一元二次方程； 3.能根据方程的特点，灵活选择直接开平方法、配方法或公式法进行求解。1.能准确套用求根公式，计算结果正确； 2.能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 3.能对比不同解法的优缺点，形成解题策略。任务一：引入课题。 任务二：探究新知，推导求根公式. 任务三：例题精讲，运用公式解方程。 17.2.3一元二次方程的解法(第三课时)1.理解因式分解法的依据，掌握 “若 ab=0，则 a=0或b=0”； 2.会用提公因式法、公式法对一元二次方程因式分解； 3.能正确、规范地用因式分解法解一元二次方程。1.能准确套用因式分解法，计算结果正确； 2能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 任务一：复习巩固 任务二：探究新知，提公因式法解一元二次方程 任务三：公式法（平方差、完全平方）因式分解解方程 任务四：例题讲解17.3一元二次方程根的判别式 1.理解根的判别式 Δ=b2 4ac的定义； 2.掌握Δ与根的关系： Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根； 3.能根据 Δ的符号判断根的情况，或逆向求参数范围。1.能准确计算任意一元二次方程的判别式 Δ； 2.可快速根据 Δ 符号判断根的个数； 3.能解决含参数的判别式问题，确定参数取值范围。任务一：复习巩固 任务二：基础计算，求 Δ 并判断根的情况； 任务三：逆向推导题，已知根的情况求参数； 任务四：综合小题，结合判别式分析方程根的特点。 17.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握韦达定理：若一元二次方程的两根为 则； 2.能利用韦达定理求两根之和、两根之积，或相关代数式的值 3.理解韦达定理的适用条件（Δ≥0）。1.能准确套用韦达定理计算 2.可熟练进行代数式变形，利用韦达定理求值； 3.能注意判别式条件，避免解题疏漏任务一：复习巩固 任务二：探究新知，推导韦达定理 任务三：例题讲解17.5.1一元二次方程的应用(第一课时)1.理解增长率、下降率的意义，掌握连续两次增长（降低）的数量关系。 2能根据题意列出一元二次方程： a(1+x)2=b 3.会解方程、检验根的合理性，舍去不符合实际的1.能准确区分基数、增长后量、增长率，正确写出增长模型。 2.能独立列出增长率问题的一元二次方程，不出现等量关系错误。 3.能正确解方程，并根据实际意义舍去负增长率 / 大于 1 的不合理解。 4.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究增长率问题的解法 任务三：例题讲解17.5.2一元二次方程的应用（第二课时）1.能根据面积公式、周长关系、折叠性质列出一元二次方程 2. 能根据题意正确列出分式方程，并熟练求解、检验 3. 体会分式方程在生活中的广泛应用，培养严谨验算的习惯1.能独立列出一元二次方程，不出现等量关系错误。 2.能正确解方程，并根据实际意义舍去不合理的解。 3.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究几何图形的应用题的解法 任务三：探究含分式方程的应用题的解法 任务四：例题讲解
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