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17.4一元二次方程根与系数的关系教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17
课题 17.4一元二次方程根与系数的关系 课时 1
教材分析 一元二次方程根与系数的关系是在学生掌握方程解法与判别式后的拓展内容，是方程理论的重要组成部分。它深化了根与系数的内在联系，为后续二次函数、方程构造等知识奠基，教学重点是定理推导，难点在于灵活运用其解决代数式求值、方程构造等问题
学情分析 九年级学生已掌握一元二次方程解法，具备一定推理能力，但抽象思维仍待提升。他们对直观、具象知识接受度高，对根与系数的抽象关系理解存在难度，需借助具体方程实例引导，通过从特殊到一般的探究过程，帮助其理解定理内涵。
核心素养目标 1. 理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程，掌握一元二次方程的根与系数的关系 2. 准确表述一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，并能用数学符号表示 3. 应用根与系数的关系解决有关问题.
教学重点 理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程，掌握一元二次方程的根与系数的关系
教学难点 应用根与系数的关系解决有关问题
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1.一元二次方程的求根公式： x＝. 2.利用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况： 当 b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac<0时，方程没有实数根. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识
二、引新 创设情境，引入课题 在前面的学习中，我们掌握了求根公式解方程的方法，而求根公式其实正是体现根与 系数之间的关系.那么对于一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？ (1)求根公式： (2)系数 a，b，c决定根的值，同时也体现了根与系数的关系 本节课我们将从另一个角度除法，研究根与系数的关系 学生思考问题 通过问题，自然引入课题
三、探究 合作探究，活动领悟 思考： 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且b2－4ac≥0)的两根为： x1=，x2=. 观察x1，x2表达式的特点，你有什么发现？(提示：计算x1+x2与x1x2) x1x2. x1x2. 由此得出，一元二次方程的根与系数质检存在下列关系： 如果()的两个根为x1，x2，那么 x1x2，x1x2 归纳 由此可知，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根为x1，x2， 那么x1+x2=，x1x2= 这就是根与系数的关系，通常称为 韦达定理. 注意： ① 利用韦达定理的前提条件是方程要有实数根，即 =b2-4ac≥0 ② 利用韦达定理时，要先把一元二次方程化为一般形式. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生从已有知识出发，通过观察、归纳、推理自主发现数学规律，实现由特殊到一般的思维跃迁
四、变式 师生互动，变式深化 例1 已知关于的方程有两个根，其中一个根是，求它的另一个根及的值. 解：设方程的另一个根是，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为，的值为7. 想一想：本题还有别的解法吗？ 解： 将 x = –4 代入方程，得 2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7代入方程，得2x2 + 7x – 4 = 0， 解得 答：方程的另一个根为 ，k的值为7. 例2方程的两个根记作，求的值. 解：由韦达定理，得. () () 4 ×. 所以. 方法点拨：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入求值. 拓展： 如果()的两个根为 那么(1) (2)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (3)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (4)+ = ； (5)+ = 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.已知一元二次方程3x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2等于( ) A.2 B.－ C. D.－ 2.若x1，x2是方程x2＋3x＋2＝0的两个根，则( ) A.x1＋x2＝2 B.x1x2＝2 C.x1＋x2＝－2 D.x1x2＝－2 3.如果关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0的两根之和与两根之积互为相反数，那么m＝ . 4. 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1＝－3，x2＝－1，则p＝ ，q＝ . 5. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2＝0有两个
实数根. （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22＝7，求m的值 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 一元二次方程根与系数的关系 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业设计 1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2， 则x1·x2的值是( ) A．4 B．－4 C．3 D．－3 2.已知一元二次方程x2－3x－6＝0的两个根为x1，x2，则x1x2－x1－x2的值为（ ） A. 3 B. －3 C. 9 D. －9 3. 若x1，x2是一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个根，则(x1－2)(x2－2)的值为 . 4.若α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的实数根，则α2－3β的值 是 . 5. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）＝p（p＋1）. （1）求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个根x1，x2满足 ＋ －x1x2＝3p2＋1，
求p的值.
教学反思 本节课通过具体方程计算引导学生发现规律，推导定理，整体符合认知规律。但部分学生对定理应用不够熟练，后续教学需增加变式练习，强化代数式变形训练。同时，应预留更多自主思考时间，关注不同层次学生的理解差异，提升知识落实效果
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十七章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解得 意义，经历估计方程解得过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程, 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解--元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，
内容分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展.学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数做好铺垫，
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标 1. 经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2.熟练掌握配方法解一元二次方程。 3.推导求根公式，并会根据判别式判断根的情况。 4.能够利用韦达定理解决根和系数相关问题。 5.掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； （二）教学重点、难点 重点： 1.一元二次方程的概念及一般形式； 2.配方法、公式法、因式分解法的解题步骤； 3.根的判别式的意义及应用； 4.列一元二次方程解决实际问题（尤其是增长率、面积、利润问题） 难点： 1.配方法的解题步骤； 2.求根公式的推导过程； 3.根的判别式与根的关系的灵活应用； 4.实际问题中等量关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数17.1 一元二次方程117.2 一元二次方程的解法317.3一元二次方程根的判别式117.4一元二次方程根与系数的关系117.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1一元二次方程 1. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程； 2. 会将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a?=0），并能确定 a,b,c 的值； 3. 能根据实际问题列出一元二次方程。1. 能准确判断一个方程是否为一元二次方程； 2. 能正确将方程化为一般形式并确定系数； 3. 能结合实际情境建立一元二次方程模型。任务一：情境导入，初步接触一元二次方程；任务二：通过例题练习，识别一元二次方程并化为一般形式；任务三：解决简单的实际问题，列出一元二次方程。17.2.1一元二次方程的解法 (第一课时)1.理解配方法的原理，掌握配方的关键步骤； 2.能熟练运用配方法求解一元二次方程1.能准确完成配方步骤，将方程转化为完全平方形式； 2.能规范运用配方法求解一元二次方程，计算结果正确； 任务一：复习导入 任务二：探究新知，理解配方法的步骤 任务三：例题精讲，运用配方法解方程。 17.2.2一元二次方程的解法(第二课时)1.掌握一元二次方程的求根公式 x= 2.能熟练运用公式法求解一元二次方程； 3.能根据方程的特点，灵活选择直接开平方法、配方法或公式法进行求解。1.能准确套用求根公式，计算结果正确； 2.能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 3.能对比不同解法的优缺点，形成解题策略。任务一：引入课题。 任务二：探究新知，推导求根公式. 任务三：例题精讲，运用公式解方程。 17.2.3一元二次方程的解法(第三课时)1.理解因式分解法的依据，掌握 “若 ab=0，则 a=0或b=0”； 2.会用提公因式法、公式法对一元二次方程因式分解； 3.能正确、规范地用因式分解法解一元二次方程。1.能准确套用因式分解法，计算结果正确； 2能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 任务一：复习巩固 任务二：探究新知，提公因式法解一元二次方程 任务三：公式法（平方差、完全平方）因式分解解方程 任务四：例题讲解17.3一元二次方程根的判别式 1.理解根的判别式 Δ=b2 4ac的定义； 2.掌握Δ与根的关系： Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根； 3.能根据 Δ的符号判断根的情况，或逆向求参数范围。1.能准确计算任意一元二次方程的判别式 Δ； 2.可快速根据 Δ 符号判断根的个数； 3.能解决含参数的判别式问题，确定参数取值范围。任务一：复习巩固 任务二：基础计算，求 Δ 并判断根的情况； 任务三：逆向推导题，已知根的情况求参数； 任务四：综合小题，结合判别式分析方程根的特点。 17.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握韦达定理：若一元二次方程的两根为 则； 2.能利用韦达定理求两根之和、两根之积，或相关代数式的值 3.理解韦达定理的适用条件（Δ≥0）。1.能准确套用韦达定理计算 2.可熟练进行代数式变形，利用韦达定理求值； 3.能注意判别式条件，避免解题疏漏任务一：复习巩固 任务二：探究新知，推导韦达定理 任务三：例题讲解17.5.1一元二次方程的应用(第一课时)1.理解增长率、下降率的意义，掌握连续两次增长（降低）的数量关系。 2能根据题意列出一元二次方程： a(1+x)2=b 3.会解方程、检验根的合理性，舍去不符合实际的1.能准确区分基数、增长后量、增长率，正确写出增长模型。 2.能独立列出增长率问题的一元二次方程，不出现等量关系错误。 3.能正确解方程，并根据实际意义舍去负增长率 / 大于 1 的不合理解。 4.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究增长率问题的解法 任务三：例题讲解17.5.2一元二次方程的应用（第二课时）1.能根据面积公式、周长关系、折叠性质列出一元二次方程 2. 能根据题意正确列出分式方程，并熟练求解、检验 3. 体会分式方程在生活中的广泛应用，培养严谨验算的习惯1.能独立列出一元二次方程，不出现等量关系错误。 2.能正确解方程，并根据实际意义舍去不合理的解。 3.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究几何图形的应用题的解法 任务三：探究含分式方程的应用题的解法 任务四：例题讲解
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第十七章 一元二次方程
17.4一元二次方程根与系数的关系
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程，掌握一元二次方程的根与系数的关系
01
准确表述一元二次方程根与系数的关系(韦达定理),并能用数学符号表示
02
应用根与系数的关系解决有关问题
03
02
复习旧知
1.一元二次方程的求根公式：
x＝.
2.利用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况：
当 b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2－4ac<0时，方程没有实数根.
02
创设情境
在前面的学习中，我们掌握了求根公式解方程的方法，而求根公式其实正是体现根与 系数之间的关系.那么对于一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗
(1)求根公式：
(2)系数 a,b,c决定根的值，同时也体现了根与系数的关系
本节课我们将从另一个角度除法，研究根与系数的关系
03
新知探究
思考
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且b2－4ac≥0)的两根为：
x1=,x2=.
观察x1，x2表达式的特点，你有什么发现？(提示：计算x1+x2与x1x2)
x1x2.
x1x2
03
新知探究
如果()的两个根为x1，x2，那么
x1x2，x1x2
由此得出，一元二次方程的根与系数质检存在下列关系：
03
新知探究
由此可知，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
那么
如果 ax2+bx+c=0 (a≠0)
的两个根为
x1，x2，
x1+x2= ，
x1x2=
b
a
-
c
a
这就是根与系数的关系，
韦达定理.
通常称为
注意：
① 利用韦达定理的前提条件是
方程要有实数根，
=b2-4ac≥0
即
② 利用韦达定理时，
要先把一元二次方程化为一般形式.
归纳
03
新知探究
例1 已知关于的方程有两个根，其中一个根是，求它的另一个根及的值.
解：设方程的另一个根是，则
解方程组，得
所以方程的另一个根为，的值为7.
03
新知探究
本题还有别的解法吗？
解： 将 x = –4 代入方程，得
2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0.
解得 k = 7.
将 k = 7代入方程，得
2x2 + 7x – 4 = 0，
解得
此种类型的问题，可以代入已知根；也可以根据根与系数的关系来解决.
答：方程的另一个根为 ,k的值为7.
03
新知探究
例2 方程的两个根记作，求的值.
解：由韦达定理，得.
() () 4 ×.
所以.
方法点拨：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式,再整体代入求值.
03
新知探究
拓展
如果()的两个根为那么(1)
(2)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2；
(3)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2；
(4)+ = ；
(5)+ =
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知一元二次方程3x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2等于( )
A.2 B.－ C. D.－
2.若x1，x2是方程x2＋3x＋2＝0的两个根，则( )
A.x1＋x2＝2 B.x1x2＝2
C.x1＋x2＝－2 D.x1x2＝－2
C
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如果关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0的两根之和与两根之积互为相反数，那么m＝ .
4. 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1＝－3，x2＝－1，
则p＝ ，q＝ .
0
1
-2
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2＝0有两个
实数根.
（1）求m的取值范围；
解：（1）根据题意，得Δ＝（2m－1）2－4m2≥0，即－4m+1≥0，
∴m≤ .
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且 ＋ ＝7，求m的值.
解：（2）由根与系数的关系，得x1＋x2＝－（2m－1），x1x2＝m2.
∵ ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝7，
∴[－（2m－1）]2－2m2＝7，即m2－2m－3＝0，
解得m1＝3，m2＝－1.
由（1），得m≤ ，
∴m的值为－1.
05
课堂小结
应用
判定两根的符号
已知一根求另一根
及字母的值
构建以两已知数为
根的一元二次方程
两根之和
两根之积
使用条件
求涉根代数式的值
一元二次方程
的根与系数的
关系
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
2.已知一元二次方程x2－3x－6＝0的两个根为x1，x2，则x1x2－x1－x2的值为（ D ）
A. 3 B. －3 C. 9 D. －9
D
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 若x1，x2是一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个根，则(x1－2)(x2－2)的值为
.
4.若α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的实数根，则α2－3β的值
是 .
－5
15
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）＝p（p＋1）.
（1）求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根；
解：（1）证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.
∵Δ＝（－5）2－4（6－p2－p）＝25－24＋4p2＋4p
＝4p2＋4p＋1＝（2p＋1）2≥0，
∴无论p取何值，此方程总有两个实数根.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）若原方程的两个根x1，x2满足 ＋ －x1x2＝3p2＋1，求p的值.
解：（2）原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.
∵原方程的两个根为x1，x2，
∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.
又∵ ＋ －x1x2＝3p2＋1，
∴（x1＋x2）2－3x1x2＝3p2＋1，
∴52－3（6－p2－p）＝3p2＋1，
∴25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1，
∴3p＝－6，∴p＝－2.
Thanks!
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