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17.5.2一元二次方程的应用 教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17
课题 17.5.2一元二次方程的应用 课时 1
教材分析 一元二次方程几何图形与含分式应用内容，是代数与几何、实际生活的衔接点。几何问题以面积、边长关系为载体，渗透数形结合思想；分式应用聚焦实际场景中的数量关系，强化模型观念。二者既是对一元二次方程解法的巩固，也是提升学生综合应用能力的关键，为后续函数学习奠定基础
学情分析 学生已掌握一元二次方程基本解法，但几何问题中常因无法准确转化几何关系为代数方程而受阻；分式应用则易忽略实际意义对根的检验。部分学生运算能力薄弱，在分式去分母、方程求解中出错率高，且缺乏主动构建数学模型的意识
核心素养目标 1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型 2. 能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并转化成一元二次方程 3. 能运用一元二次方程解决与几何图形和分式方程有关的实际问题
教学重点 能根据问题中的数量关系列出一元二次方程解决图形和分式方程问题
教学难点 将实际问题抽象为代数问题，探索问题中的数量关系
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 解分式方程： 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识
二、引新 创设情境，引入课题 我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，阔及长各几步？” 大家试试解决这个问题 学生思考问题 通过联系数学文化问题，自然引入课题
三、探究 合作探究，活动领悟 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为20 cm、容积为2880 cm3的开口方盒.原金属片的边长是多少？ 解 设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x－40)cm. 根据题意，得20(x－40)2＝2 880. 整理，得(x－40)2＝144. 解方程，得x1＝52，x2＝28. x2＝28不合题意，所以x＝52. 故原金属片的边长是52 cm. 归纳小结： 利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 通过结构化探究任务，实现从“被动接受”到“主动发现”的学习方式转变，契合建构主义与最近发展区理论
四、变式 师生互动，变式深化 例2、一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？ 等量关系： 原来这组学生每人分摊的费用 – 增加人数后该组学生每人分摊的费用 = 30 元 设原来这组学生人数为x 总费用/元人数每人费用/元原来1200x现在1200x+2
解 设原来这组学生有 x 人，那么每人分摊的费用是元，增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是元. 根据题意，得 －=30 方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得 x2 + 2x – 80 = 0 解方程，得 x1 = – 10，x2 = 8. 经检验，x1 = – 10，x2 = 8 都是原方程的根， 但 x1 = – 10 不合题意，所以 x = 8. 答：原来这组学生是 8 人. 归纳小结： 解可化为一元二次方程的分式方程 分式方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为一元二次方程（整式方程），解一元二次方程，并检验所求得的根是否为分式方程的根． 解分式方程应用题时，所得的根，不仅要检验其是否为增根，还要考虑它是否符合题意. 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.用长8米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为5平方米.若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为 ( ) A.x(8－x)＝5 B.x(4＋x)＝5 C.x(4－x)＝5 D.x(8－2x)＝5 2.某商店以2 400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中赢利350元，则每盒茶叶的进价为 ( ) A．40元 B．50元 C．60元 D．70元 3.如图，在长为 12 m，宽为 8m 的矩形地面上修建同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77，则道路的宽为________m. 4.几个同学计划租车到长城旅游，应付车费480元，临行前又来了两个同学参加，这样使每人分担的车费减少8元.设这次到长城旅游的同学x个，根据题意得 . 5. 2025 年 4 月 19 日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛. 这次机器人马拉松比赛里程约为 21 km，其中机器人甲每小时比机器人乙多跑 2 km，用时比机器人乙少h，求机器人甲、乙的平均速度分别是多少？ 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 一元二次方程几何图形问题和含分式方程的应用问题的解法 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1. 空地上有一段长为18 m的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园(如图)，已知木栅栏总长为40 m，所围成的长方形菜园面积为194 m2，则( ) A. 只有一种围法 B. 有两种围法 C. 不能围成菜园 D. 无法确定有几种围法 2. 为了绿化荒山，某村计划在荒山上种植100棵树.原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前5天完成了任务.则可以列出方程为( ) A. B. 5 C. D. 3.如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1 m宽的门. 若要使羊圈的面积为80 m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为________m. 4.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，原计划每天组装x台，应列方程： 。 5.如图，有长为30m 的篱笆， 一面靠墙(墙的最大可用长度为12m)， 围成中间隔有一道篱笆(平行于 AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为 xm， 面积为ym . (1)用含x的代数式表示y， 并求出x 的取值范围； (2)如果要围成面积为63 m 的花圃， AB 的长是多少？的长是多少？
教学反思 教学中虽兼顾了方法讲解，但对几何关系转化的引导不足，学生仍需大量练习内化。分式应用的实际情境创设不够贴近生活，导致学生代入感弱。后续应增加几何图形变式训练，设计更贴合学生生活的问题，同时强化运算规范与根的检验环节，提升教学实效性
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十七章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解得 意义，经历估计方程解得过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程, 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解--元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，
内容分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展.学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数做好铺垫，
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标 1. 经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2.熟练掌握配方法解一元二次方程。 3.推导求根公式，并会根据判别式判断根的情况。 4.能够利用韦达定理解决根和系数相关问题。 5.掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； （二）教学重点、难点 重点： 1.一元二次方程的概念及一般形式； 2.配方法、公式法、因式分解法的解题步骤； 3.根的判别式的意义及应用； 4.列一元二次方程解决实际问题（尤其是增长率、面积、利润问题） 难点： 1.配方法的解题步骤； 2.求根公式的推导过程； 3.根的判别式与根的关系的灵活应用； 4.实际问题中等量关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数17.1 一元二次方程117.2 一元二次方程的解法317.3一元二次方程根的判别式117.4一元二次方程根与系数的关系117.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1一元二次方程 1. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程； 2. 会将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a?=0），并能确定 a,b,c 的值； 3. 能根据实际问题列出一元二次方程。1. 能准确判断一个方程是否为一元二次方程； 2. 能正确将方程化为一般形式并确定系数； 3. 能结合实际情境建立一元二次方程模型。任务一：情境导入，初步接触一元二次方程；任务二：通过例题练习，识别一元二次方程并化为一般形式；任务三：解决简单的实际问题，列出一元二次方程。17.2.1一元二次方程的解法 (第一课时)1.理解配方法的原理，掌握配方的关键步骤； 2.能熟练运用配方法求解一元二次方程1.能准确完成配方步骤，将方程转化为完全平方形式； 2.能规范运用配方法求解一元二次方程，计算结果正确； 任务一：复习导入 任务二：探究新知，理解配方法的步骤 任务三：例题精讲，运用配方法解方程。 17.2.2一元二次方程的解法(第二课时)1.掌握一元二次方程的求根公式 x= 2.能熟练运用公式法求解一元二次方程； 3.能根据方程的特点，灵活选择直接开平方法、配方法或公式法进行求解。1.能准确套用求根公式，计算结果正确； 2.能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 3.能对比不同解法的优缺点，形成解题策略。任务一：引入课题。 任务二：探究新知，推导求根公式. 任务三：例题精讲，运用公式解方程。 17.2.3一元二次方程的解法(第三课时)1.理解因式分解法的依据，掌握 “若 ab=0，则 a=0或b=0”； 2.会用提公因式法、公式法对一元二次方程因式分解； 3.能正确、规范地用因式分解法解一元二次方程。1.能准确套用因式分解法，计算结果正确； 2能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 任务一：复习巩固 任务二：探究新知，提公因式法解一元二次方程 任务三：公式法（平方差、完全平方）因式分解解方程 任务四：例题讲解17.3一元二次方程根的判别式 1.理解根的判别式 Δ=b2 4ac的定义； 2.掌握Δ与根的关系： Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根； 3.能根据 Δ的符号判断根的情况，或逆向求参数范围。1.能准确计算任意一元二次方程的判别式 Δ； 2.可快速根据 Δ 符号判断根的个数； 3.能解决含参数的判别式问题，确定参数取值范围。任务一：复习巩固 任务二：基础计算，求 Δ 并判断根的情况； 任务三：逆向推导题，已知根的情况求参数； 任务四：综合小题，结合判别式分析方程根的特点。 17.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握韦达定理：若一元二次方程的两根为 则； 2.能利用韦达定理求两根之和、两根之积，或相关代数式的值 3.理解韦达定理的适用条件（Δ≥0）。1.能准确套用韦达定理计算 2.可熟练进行代数式变形，利用韦达定理求值； 3.能注意判别式条件，避免解题疏漏任务一：复习巩固 任务二：探究新知，推导韦达定理 任务三：例题讲解17.5.1一元二次方程的应用(第一课时)1.理解增长率、下降率的意义，掌握连续两次增长（降低）的数量关系。 2能根据题意列出一元二次方程： a(1+x)2=b 3.会解方程、检验根的合理性，舍去不符合实际的1.能准确区分基数、增长后量、增长率，正确写出增长模型。 2.能独立列出增长率问题的一元二次方程，不出现等量关系错误。 3.能正确解方程，并根据实际意义舍去负增长率 / 大于 1 的不合理解。 4.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究增长率问题的解法 任务三：例题讲解17.5.2一元二次方程的应用（第二课时）1.能根据面积公式、周长关系、折叠性质列出一元二次方程 2. 能根据题意正确列出分式方程，并熟练求解、检验 3. 体会分式方程在生活中的广泛应用，培养严谨验算的习惯1.能独立列出一元二次方程，不出现等量关系错误。 2.能正确解方程，并根据实际意义舍去不合理的解。 3.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究几何图形的应用题的解法 任务三：探究含分式方程的应用题的解法 任务四：例题讲解
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第十七章 一元二次方程
17.5.2一元二次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型
01
能运用一元二次方程解决与几何图形和分式方程有关的实际问题
03
能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并转化成一元二次方程
02
02
复习旧知
解分式方程：
去分母
分式方程
整式方程
转化
解：方程两边乘各分母的最简公分母x(x – 3)，得
2x =3x – 9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x – 3)
所以，原分式方程的解为x=9.
≠0.
去分母
解整式方程
检验
写原分式方程的解
02
创设情境
我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，阔及长各几步？”
大家试试解决这个问题
03
新知探究
例1、如图，将一块正方形金属片的四个角
各截去一个相同大小的小正方形，围成高为20 cm、
容积为2880 cm3的开口方盒.原金属片的边长是多少？
解 设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x－40)cm.
根据题意，得20(x－40)2＝2 880.
整理，得(x－40)2＝144.
解方程，得x1＝52，x2＝28.
x2＝28不合题意，所以x＝52.
故原金属片的边长是52 cm.
03
新知探究
利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.
03
新知探究
例2、一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？
等量关系：
原来这组学生每人分摊的费用 – 增加人数后该组学生每人分摊的费用 = 30 元
总费用/元 人数 每人费用/元
原来
现在
x
x + 2
1200
1200
设原来这组学生人数为x
03
新知探究
解 设原来这组学生有 x 人，那么每人分摊的费用是元，增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是元.
根据题意，得 －=30
方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得
x2 + 2x – 80 = 0
解方程，得 x1 = – 10，x2 = 8.
经检验，x1 = – 10，x2 = 8 都是原方程的根，
答：原来这组学生是 8 人.
但 x1 = – 10 不合题意，所以 x = 8.
03
新知探究
解分式方程应用题时，所得的根，不仅要检验其是否为增根，还要考虑它是否符合题意.
解可化为一元二次方程的分式方程
分式方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为一元二次方程（整式方程），解一元二次方程，并检验所求得的根是否为分式方程的根．
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.用长8米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为5平方米.若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为 ( )
A.x(8－x)＝5 B.x(4＋x)＝5
C.x(4－x)＝5 D.x(8－2x)＝5
2.某商店以2 400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中赢利350元，则每盒茶叶的进价为 ( )
A．40元 B．50元 C．60元 D．70元
C
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，在长为 12 m，宽为 8m 的矩形地面上修建同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77，则道路的宽为________m.
4.几个同学计划租车到长城旅游，应付车费480元，临行前又来了两个同学参加，这样使每人分担的车费减少8元.设这次到长城旅游的同学x个，根据题意得 .
1
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5. 2025 年 4 月 19 日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛. 这次机器人马拉松比赛里程约为 21 km，其中机器人甲每小时比机器人乙多跑 2 km，用时比机器人乙少h，求机器人甲、乙的平均速度分别是多少？
解：设机器人甲的平均速度为 x km/h，
根据题意，得－＝
则机器人乙的平均速度为 (x – 2) km/h.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解方程，得 x1 = – 6，x2 = 8.
经检验，x1 = – 6，x2 = 8 都是原方程的根，
答：机器人甲的平均速度为 8 km/h，机器人乙的平均速度为 6 km/h.
但 x1 = – 6 不合题意，所以 x = 8，所以 x – 2 = 6.
05
课堂小结
一元二次方程的应用
几何问题常见类型
含分式
长宽比例问题
小路宽度问题
一边靠墙围成的区域面积
列分式方程解应用题
既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 空地上有一段长为18 m的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园(如图)，已知木栅栏总长为40 m，所围成的长方形菜园面积为194 m2，则( )
A. 只有一种围法
B. 有两种围法
C. 不能围成菜园
D. 无法确定有几种围法
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 为了绿化荒山，某村计划在荒山上种植100棵树.原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前5天完成了任务.则可以列出方程为( )
A. B. 5
C. D.
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1 m宽的门. 若要使羊圈的面积为80 m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为________m.
8
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，原计划每天组装x台，应列方程： 。
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，有长为30m 的篱笆， 一面靠墙(墙的最大可用
长度为12m), 围成中间隔有一道篱笆(平行于 AB)
的矩形花圃，设花圃的一边AB 为 xm, 面积为ym .
(1)用含x的代数式表示y, 并求出x 的取值范围；
(2)如果要围成面积为63 m 的花圃， AB 的长是多少 的长是多少？
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解： (1) y=x(30-3x)=-3x +30x. 由题意得
0<30-3x≤12, 解得6≤x<10.
(2)由题意得-3x +30x=63, 整理，得x -10x+21=0.
解得x =7,x =3. 由(1)知6≤x<10, 所以x=7,
所以如果要围成面积为63m 的花圃，AB 的长是7 m.
Thanks!
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