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17.5.1一元二次方程的应用 教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17
课题 17.5.1一元二次方程的应用 课时 1
教材分析 一元二次方程增长率问题是初中数学衔接代数与实际应用的关键内容，教材以生活实例为载体，将增长率模型转化为方程，既巩固一元二次方程解法，又培养建模能力。它承接一次方程应用，为后续函数学习铺垫，是提升学生数学应用意识的重要素材。
学情分析 学生已掌握一元二次方程解法，具备初步建模能力，但对增长率的抽象概念理解较浅，易混淆“增长”“下降”的表达式，实际应用中常因审题不清导致等量关系错误。部分学生能套用公式，但缺乏对模型本质的理解，需通过实例强化认知。
核心素养目标 1. 理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程，掌握一元二次方程的根与系数的关系 2. 能根据具体问题的实际意义，检验所得的结果是否合理 3. 经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.
教学重点 能根据问题中的数量关系列出一元二次方程解决增长（下降）率问题
教学难点 将实际问题抽象为代数问题，探索问题中的数量关系
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 列方程解应用题的步骤： 审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系. 设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量. 列： 找到等量关系列出方程.(关键步骤) 解：解方程. 答：检验根的准确性及是否符合实际意义并作答. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识
二、引新 创设情境，引入课题 已知某网店2024年1月份的营业额为100万元，2月份营业额增长了10%，3月份营业额又增长了10%，问该网店3月份营业额是多少？ 1月份： 100 2月份： 100+100×10% 3月份： 100(1+10%)+100(1+10%)×10% =100(1+10%)2=121 学生思考问题 通过问题，自然引入课题
三、探究 合作探究，活动领悟 思考： 17.1 节中的问题 2.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 解：设小路的宽是 x m. 根据题意，得 32×20 –（32x + 2×20x）+ 2x2 = 570. 解得 x1 = 1，x2 = 35. ∵x = 35不符合题意，应舍去， ∴x = 1 答：小路的宽应为 1 m. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生从已有知识出发，通过观察、归纳、推理自主发现数学规律，实现由特殊到一般的思维跃迁
四、变式 师生互动，变式深化 例1、原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 降价率是什么意思？它与原价之间有什么数量关系？ 降价率是降低的价格与原价的比值： 解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x，根据题意，得 27(1 – x)2 = 9 整理，得 解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42. x1 = 1.58 不合题意，所以 x = 0.42 = 42%. 答：该药品两次降价的平均降价率是 42%. 例2、一农户原来种植的花生，每公顷产量为3 000 kg，出油率为50%(即每100 kg花生可加工出花生油50 kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率. 解 设新品种花生产量的增长率为x， 根据题意，得3 000(1＋x)·＝1 980. 整理，得25x2＋75x－16＝0. 解方程，得x1＝0.2＝20%，x2＝－3.2. x2＝－3.2不合题意，所以x＝20%. 所以新品种花生产量的增长率为20%. 归纳小结 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A.50（1+x2）=196
B.50+50（1+x2）=196 C.50+50（1+x）+50（1+x）2=196
D.50+50（1+x）+50（1+2x）=196 2.我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）. A．8% B．9% C．10% D．11% 3.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ． 4.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价为 。 5.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； 去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年、月份营业额的月增长率． 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 一元二次方程增长率问题的解法 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业设计 1.经研究发现，若1人患上某种流感，经过两轮传染后，共有144人患上该流感.设在每一轮传染中，每人平均会传染给 人，则下列方程中符合题意的是( ). A. B. C. D. 2.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 ，依题意可列方程为( ). A. B. C. D. 3.某地举行一次足球单循环比赛，每一支球队都和其他球队进行一场比赛，共进行 了55场比赛．设有 支球队，根据题意列出方程为_________ ，共有____ 支球队. 4.某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，计划3年（包括今年）的总栽 种量为2 100棵，且每年栽种果树数量的年增长率相同.设栽种果树数量的年增长率为 ，则可列方程为__________________________ ，第3年栽种果树______棵. 5. 某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度的产量增加60％，第三季度的产量比第二季度的产量减少10％，设该新能源汽车制造厂第一季度的产量为a辆. （1）请用含a的代数式填写下表（填化简之后的结果）； （2）求该新能源汽车制造厂第二、第三季度产量的平均增长率.
教学反思 教学中虽通过实例引入，但对增长率的本质推导不够深入，部分学生仍依赖机械记忆。应增加分层练习，设置不同难度的实际问题，让学生在对比中理解模型变式。同时，需加强审题指导，引导学生通过画图、列表梳理等量关系，提升应用能力。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十七章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解得 意义，经历估计方程解得过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程, 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解--元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，
内容分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展.学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数做好铺垫，
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标 1. 经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2.熟练掌握配方法解一元二次方程。 3.推导求根公式，并会根据判别式判断根的情况。 4.能够利用韦达定理解决根和系数相关问题。 5.掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； （二）教学重点、难点 重点： 1.一元二次方程的概念及一般形式； 2.配方法、公式法、因式分解法的解题步骤； 3.根的判别式的意义及应用； 4.列一元二次方程解决实际问题（尤其是增长率、面积、利润问题） 难点： 1.配方法的解题步骤； 2.求根公式的推导过程； 3.根的判别式与根的关系的灵活应用； 4.实际问题中等量关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数17.1 一元二次方程117.2 一元二次方程的解法317.3一元二次方程根的判别式117.4一元二次方程根与系数的关系117.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1一元二次方程 1. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程； 2. 会将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a?=0），并能确定 a,b,c 的值； 3. 能根据实际问题列出一元二次方程。1. 能准确判断一个方程是否为一元二次方程； 2. 能正确将方程化为一般形式并确定系数； 3. 能结合实际情境建立一元二次方程模型。任务一：情境导入，初步接触一元二次方程；任务二：通过例题练习，识别一元二次方程并化为一般形式；任务三：解决简单的实际问题，列出一元二次方程。17.2.1一元二次方程的解法 (第一课时)1.理解配方法的原理，掌握配方的关键步骤； 2.能熟练运用配方法求解一元二次方程1.能准确完成配方步骤，将方程转化为完全平方形式； 2.能规范运用配方法求解一元二次方程，计算结果正确； 任务一：复习导入 任务二：探究新知，理解配方法的步骤 任务三：例题精讲，运用配方法解方程。 17.2.2一元二次方程的解法(第二课时)1.掌握一元二次方程的求根公式 x= 2.能熟练运用公式法求解一元二次方程； 3.能根据方程的特点，灵活选择直接开平方法、配方法或公式法进行求解。1.能准确套用求根公式，计算结果正确； 2.能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 3.能对比不同解法的优缺点，形成解题策略。任务一：引入课题。 任务二：探究新知，推导求根公式. 任务三：例题精讲，运用公式解方程。 17.2.3一元二次方程的解法(第三课时)1.理解因式分解法的依据，掌握 “若 ab=0，则 a=0或b=0”； 2.会用提公因式法、公式法对一元二次方程因式分解； 3.能正确、规范地用因式分解法解一元二次方程。1.能准确套用因式分解法，计算结果正确； 2能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 任务一：复习巩固 任务二：探究新知，提公因式法解一元二次方程 任务三：公式法（平方差、完全平方）因式分解解方程 任务四：例题讲解17.3一元二次方程根的判别式 1.理解根的判别式 Δ=b2 4ac的定义； 2.掌握Δ与根的关系： Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根； 3.能根据 Δ的符号判断根的情况，或逆向求参数范围。1.能准确计算任意一元二次方程的判别式 Δ； 2.可快速根据 Δ 符号判断根的个数； 3.能解决含参数的判别式问题，确定参数取值范围。任务一：复习巩固 任务二：基础计算，求 Δ 并判断根的情况； 任务三：逆向推导题，已知根的情况求参数； 任务四：综合小题，结合判别式分析方程根的特点。 17.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握韦达定理：若一元二次方程的两根为 则； 2.能利用韦达定理求两根之和、两根之积，或相关代数式的值 3.理解韦达定理的适用条件（Δ≥0）。1.能准确套用韦达定理计算 2.可熟练进行代数式变形，利用韦达定理求值； 3.能注意判别式条件，避免解题疏漏任务一：复习巩固 任务二：探究新知，推导韦达定理 任务三：例题讲解17.5.1一元二次方程的应用(第一课时)1.理解增长率、下降率的意义，掌握连续两次增长（降低）的数量关系。 2能根据题意列出一元二次方程： a(1+x)2=b 3.会解方程、检验根的合理性，舍去不符合实际的1.能准确区分基数、增长后量、增长率，正确写出增长模型。 2.能独立列出增长率问题的一元二次方程，不出现等量关系错误。 3.能正确解方程，并根据实际意义舍去负增长率 / 大于 1 的不合理解。 4.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究增长率问题的解法 任务三：例题讲解17.5.2一元二次方程的应用（第二课时）1.能根据面积公式、周长关系、折叠性质列出一元二次方程 2. 能根据题意正确列出分式方程，并熟练求解、检验 3. 体会分式方程在生活中的广泛应用，培养严谨验算的习惯1.能独立列出一元二次方程，不出现等量关系错误。 2.能正确解方程，并根据实际意义舍去不合理的解。 3.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究几何图形的应用题的解法 任务三：探究含分式方程的应用题的解法 任务四：例题讲解
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第十七章 一元二次方程
17.5.1一元二次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能根据问题中的数量关系列出一元二次方程解决增长（下降）率问题
01
能根据具体问题的实际意义，检验所得的结果是否合理
02
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述
03
02
复习旧知
列方程解应用题的步骤：
审：审题，分清已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系.
设：设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量.
列： 找到等量关系列出方程.(关键步骤)
解：解方程.
答：检验根的准确性及是否符合实际意义并作答.
02
创设情境
已知某网店2024年1月份的营业额为100万元，2月份营业额增长了10%，3月份营业额又增长了10%，问该网店3月份营业额是多少？
100(1+10%)+100(1+10%)×10%
=100(1+10%)2=121
100
100+100×10%
1月份：
2月份：
3月份：
03
新知探究
思考
17.1 节中的问题 2.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
32
20
x
03
新知探究
解：设小路的宽是 x m. 根据题意，得
32×20 –（32x + 2×20x）+ 2x2 = 570.
解得 x1 = 1，x2 = 35.
∵x = 35不符合题意，应舍去，
∴x = 1
答：小路的宽应为 1 m.
03
新知探究
例1、原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%）
降价率是什么意思？它与原价之间有什么数量关系？
降价率是降低的价格与原价的比值：
降价率 = ×100%
原价 – 现价
原价
03
新知探究
分析：设该药品两次降价的平均降价率是 x.
原价
27
第一次降价后的价格
27(1 – x)
降价率x
第二次降价后的价格
27(1 – x)2
降价率x
03
新知探究
解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x，根据题意，得
27(1 – x)2 = 9
解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42.
x1 = 1.58 不合题意，所以 x = 0.42 = 42%.
答：该药品两次降价的平均降价率是 42%.
整理，得
根据问题的实际意义，平均降价率应是小于 1 的正数.
03
新知探究
例2、一农户原来种植的花生，每公顷产量为3 000 kg，出油率为50%(即每100 kg花生可加工出花生油50 kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率.
03
新知探究
解 设新品种花生产量的增长率为x，
根据题意，得3 000(1＋x)·＝1 980.
整理，得25x2＋75x－16＝0.
解方程，得x1＝0.2＝20%，x2＝－3.2.
x2＝－3.2不合题意，所以x＝20%.
所以新品种花生产量的增长率为20%.
03
新知探究
归纳小结
平均增长率 若基础量为 a，设平均增长率为 x，则一次增长后的量为 a(1 + x)，两次增长后的量为 a(1 + x)2……依此类推， n 次增长后的量为 a(1 + x)n
平均降低率 若基础量为 a，设平均降低率为 x，则一次降低后的量为 a(1 – x)，两次降低后的量为 a(1 – x)2……依此类推，n 次降低后的量为 a(1 – x)n
增长率可以大于100%
降低率不能大于100%
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A.50（1+x2）=196
B.50+50（1+x2）=196
C.50+50（1+x）+50（1+x）2=196
D.50+50（1+x）+50（1+2x）=196
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）.
A．8% B．9% C．10% D．11%
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ．
4.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价为 。
301(1+x)2=500
10%
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年、月份营业额的月增长率．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：由题知，万元．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为万元．
设该商店去年、月份营业额的月增长率为，
依题意得，
解得，不合题意，舍去．
答：该商店去年、月份营业额的月增长率为．
05
课堂小结
一元二次方程的应用
平均变化率问题
增长率问题:a(1+x)n =b, 其 中a为增长前的量，x为增长率，n为增长次数,b为增长后的量
降低率问题:a(1-x)n =b, 其中a为降低前的量，x为降低率，n为降低次数,b为降低后的量(注意降低率不可为负，且不大于1)
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.经研究发现，若1人患上某种流感，经过两轮传染后，共有144人患上该
流感.设在每一轮传染中，每人平均会传染给 人，则下列方程中符合题意的是( ).
A. B.
C. D.
2.
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和
2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全
国居民人均可支配收入的年平均增长率为 ，依题意可列方程为( ).
B
A. B.
C. D.
3.某地举行一次足球单循环比赛，每一支球队都和其他球队进行一场比赛，共进行
了55场比赛．设有 支球队，根据题意列出方程为_________ ，
共有____ 支球队.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，计划3年（包括今年）的总栽
种量为2 100棵，且每年栽种果树数量的年增长率相同.设栽种果树数量的年增长率
为 ，则可列方程为_____________________________ ，第3年栽种果
树______棵.
1200
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度的产量增加60％，第三季度的产量比第二季度的产量减少10％，设该新能源汽车制造厂第一
季度的产量为a辆.
（1）请用含a的代数式填写下表（填化简之后的结果）；
季度 一 二 三
产量/辆 a
1.6a
1.44a
解：（1）由题意，得第二季度的产量为a（1＋60％）＝1.6a，第三季度的产量为1.6a（1－10％）＝1.44a.
故答案为1.6a；1.44a.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）求该新能源汽车制造厂第二、第三季度产量的平均增长率.
解：（2）设该新能源汽车制造厂第二、第三季度产量的平均
增长率为x.
由题意，得a（1＋x）2＝1.44a.
整理，得x2＋2x－0.44＝0，
解得x＝0.2＝20％或x＝－2.2（舍去）.
Thanks!
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