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17.2.1一元二次方程的解法教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17
课题 17.2.1一元二次方程的解法 课时 1
教材分析 配方法是解一元二次方程的核心内容，建立在直接开平方法基础上，通过配方将方程转化为完全平方式，实现“降次”求解。其步骤包括移项、除系数、配方和开平方，体现了数学转化思想，为公式法学习奠定基础。教材强调通过实际问题（如面积、运动模型）引入，培养建模能力，但需注意二次项系数非1时的化归技巧。
学情分析 学生已掌握一元一次方程和平方根概念，具备配方法的认知基础。难点在于理解配方原理（如添加一次项系数一半的平方）和符号处理，易出现移项错误或配方不完整等问题。教学中需通过生活实例激发兴趣，强化观察、类比等思维训练。
核心素养目标 1.理解直接开平方法和配方法，会利用这两种方法熟练地解二次项系数为 1 的一元二次方程 2.会利用配方法灵活地解决二次项系数不为 1 的一元二次方程 3.通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想.
教学重点 理解直接开平方法和配方法，会利用这两种方法熟练地解二次项系数为 1 的一元二次方程
教学难点 利用配方法灵活地解决二次项系数不为 1 的一元二次方程
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1、什么叫做平方根？ 2、平方根的性质： 3、求一个数的平方根的运算叫做开平方 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识
二、引新 创设情境，引入课题 要给一个正方形花圃围上栅栏，栅栏总长为16米，求花圃的边长.若设边长为x米，根据正方形周长公式可得4x＝16，解得x＝4.如果把问题改为：正方形花圃的面积为25平方米，求边长x，则可列方程x2＝25，如何求解这个方程呢？ 学生观看视频，思考问题 通过问题，自然引入课题
三、探究 合作探究，活动领悟 解方程：x2=9 解：开平方，得 x=±3 ∴ x1=3， x2=-3 概念学习 利用平方根的意义直接开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 例1 用直接开平方法解下列方程： (1) 3x = 12； (2) (x + 3) = 5. 解： (1) 两边同除以 3 ，得 x = 4. 开平方， 得 x = ±2. 所以原方程的根是 (2)开平方，得. 所以原方程的根是. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 我们知道，若x2＝a(a≥0)，根据平方根的定义，x是a的平方根，所以x＝±. 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程求解，可以把x＋m看成一个整体，利用直接开平方法求解： (1)对等式两边直接开平方，得x＋m＝±； (2)分别求解两个一元一次方程，得x1＝－m＋. 你能用直接开平方法解下列方程吗 x2+2x-1= 0 这个方程，显然我们不能直接通过开平方来解这个方程，那怎么办呢？ 我们可以把方程的左边化成完全平方式的形式，这样就可用直接开平方法来解. 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方 问题 为什么在方程 x2 + 2x = 1 的两边加上 1？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式。 要点归纳 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。 “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法。 配方法是将一元二次方程通过配方转化成可用直接开平方法求解的方法，这是一种化归方法。 交流： 请你归纳出用配方法解一元二次方程的步骤，其中，配方是关键，如何配方？ 用 配方法 解一元二次方程的步骤: ① 化：把方程化为一般形式，且使二次项系数为1； ② 移项：把常数项移到方程的右边； ③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 开方：当方程右边是非负数时，用直接开平方法解方程. ⑤ 求解：解一元一次方程； ⑥ 写出一元二次方程的两个根. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，回答问题 引导学生通过自主发现与协作交流，理解“配方”的数学原理，实现从已有知识（如完全平方公式、直接开平方法）向新知识的自然过渡。
四、变式 师生互动，变式深化 例2、用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－3x－1＝0. (1)解 移项，得x2－4x＝1. 配方，得x2－2×x×2＋4＝1＋4. 则(x－2)2＝5. 开平方，得x－2＝±. 所以原方程的根是x1＝2＋，x2＝2－. (2)解 先把x2的系数变为1，即把原方程的两边同除以2，得x2－x－＝0， 移项，得x2－x＝， 配方，得x2－x＋， 即， 开平方，得x－＝±， 所以x1＝，x2＝. “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方求解的方法，这是一种化归方法. 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1． 的根是( ) A., B. C.无实数根 D.以上均不正确 2. 用配方法解方程x2－x－1＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x－1)2＝2 B. C.＝1 D. 3.已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为________. 4.若 ，则 ___ . 5.按照指定方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9(用直接开平方法)； (2)x2－6x＋2＝0(用配方法). 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.开平方法 2.配方法 3.配方法解一元二次方程的步骤 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么p＋q的值为( ) A.5 B.－1 C.2 D.1 2.一元二次方程 x2+px+q=0 在用配方法配成(x+m)2=n 时，下面叙述正确的是（ ）. A、m是p的一半 B、m是p的一半的平方 C、m是p的2倍 D、m是p的一半的相反数 3.一元二次方程配方的结果为，则 的值是___． 4.小明用配方法解方程 的部分过程如下：①移项，得 ；②二次项系数化为1，得 ；③配方，得 ，即；开平方，得 .小明的解法中开始出现错误的步骤是____（填序号）；该方程正确的根为 ________________. 5.利用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x + 5 的最小值； (2) -3x2 + 5x + 1 的最大值.
教学反思 配方法教学需突出“转化”思想，通过对比直接开平方法引导学生自主探究。成功点在于步骤化讲解（如“一除、二移、三配、四解”口诀）提升解题规范性。不足包括部分学生配方时忽略系数化1，或符号运算失误；改进方向是增加分层练习，强化错误案例分析。
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第十七章 一元二次方程
17.2.1一元二次方程的解法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解直接开平方法和配方法，会利用这两种方法熟练地解二次项系数为 1 的一元二次方程
01
会利用配方法灵活地解决二次项系数不为 1 的一元二次方程
02
通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想.
03
02
复习旧知
1、什么叫做平方根？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根.
若 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根.
2、平方根的性质：
① 正数有两个平方根，它们互为相反数；
② 零的平方根是零；
③ 负数没有平方根.
即 x=
3、求一个数的平方根的运算叫做
开平方.
02
创设情境
要给一个正方形花圃围上栅栏，栅栏总长为16米，求花圃的边长.若设边长为x米，根据正方形周长公式可得4x＝16，解得x＝4.如果把问题改为：正方形花圃的面积为25平方米，求边长x，则可列方程x2＝25，如何求解这个方程呢？
03
新知探究
解方程：x2=9
解：
开平方，得
x=±3
∴ x1=3，
x2=-3
概念学习
利用平方根的意义直接开平方解一元二次方程的方法叫做
直接开平方法.
03
新知探究
例1 用直接开平方法解下列方程：
(1) 3x = 12； (2) (x + 3) = 5.
解： (1) 两边同除以 3 ，得 x = 4. 开平方，得 x = ±2.
所以原方程的根是
(2)开平方，得.
所以原方程的根是.
03
新知探究
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
移项 将方程变成左边是完全平方式的形式，且二次项系数化为1，右边是非负数的形式(若方程右边是负数，则该方程无实数根)
开平方 将方程转化为两个一元一次方程
解这两个一元一次方程 得出的两个解即为一元二次方程的两个根
03
新知探究
我们知道，若x2＝a(a≥0)，根据平方根的定义，x是a的平方根，所以x＝±.
形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程求解，可以把x＋m看成一个整体，利用直接开平方法求解：
(1)对等式两边直接开平方，得x＋m＝±；
(2)分别求解两个一元一次方程，得x1＝－m＋.
03
新知探究
你能用直接开平方法解下列方程吗
x2+2x-1= 0
这个方程，显然我们不能直接通过开平方来解这个方程，那怎么办呢？
我们可以把方程的左边化成完全平方式的形式，这样就可用直接开平方法来解.
03
新知探究
x2 + 2x - 1 = 0
x2 + 2x = 1
移项
x2 + 2x + 1 = 1 + 1
两边都加上 1
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方
03
新知探究
问题 为什么在方程 x2 + 2x = 1 的两边加上 1？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式。
要点归纳 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法。
配方法是将一元二次方程通过配方转化成可用直接开平方法求解的方法，这是一种化归方法。
03
新知探究
例2、用配方法解下列方程：
(1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－3x－1＝0.
(1)解 移项，得x2－4x＝1.
配方，得x2－2×x×2＋4＝1＋4.
则(x－2)2＝5.
开平方，得x－2＝±.
所以原方程的根是x1＝2＋，x2＝2－.
03
新知探究
(2)解 先把x2的系数变为1，即把原方程的两边同除以2，得x2－x－＝0，
移项，得x2－x＝，
配方，得x2－x＋，
即，
开平方，得x－＝±，
所以x1＝，x2＝.
03
新知探究
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方求解的方法，这是一种化归方法.
03
新知探究
用 配方法 解一元二次方程的步骤:
① 化：把方程化为一般形式，
② 移项：
③ 配方：
④ 开方：
且使二次项系数为1；
把常数项移到方程的右边；
方程两边同时加上一次项系数
一半的平方；
当方程右边是非负数时，
用直接开平方法解方程.
⑤ 求解：解一元一次方程;
⑥ 写出一元二次方程的两个根.
交流
请你归纳出用配方法解一元二次方程的步骤，其中，配方是关键，如何配方？
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1． 的根是( )
A., B.
C.无实数根 D.以上均不正确
2. 用配方法解方程x2－x－1＝0时，配方结果正确的是( )
A.(x－1)2＝2 B.
C.＝1 D.
C
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为________.
4.若 ，则 ___ .
15
4
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.按照指定方法解下列方程：
(1)(2x－1)2＝9(用直接开平方法)；
解: (2x－1)2＝9，
开方，得2x－1＝±3，
即2x－1＝3或2x－1＝－3，
∴x1＝2，x2＝－1.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)x2－6x＋2＝0(用配方法).
解 x2－6x＋2＝0，
移项，得x2－6x＝－2，
配方，得x2－6x＋9＝－2＋9，
即(x－3)2＝7，
开方，得x－3＝±，
∴x1＝3＋，x2＝3－.
05
课堂小结
配方法
定义
通过配完全平方式解一元二次方程的方法
步骤
一移常数项，二配方[配上]，
三写成 (x+n)2=p (p≥0)，四开平方解方程
应用
求代数式的最值或字母值
直接开平方法
利用平方根的定义求方程的根的方法
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么p＋q的值为( )
A.5 B.－1
C.2 D.1
2.一元二次方程 x2+px+q=0 在用配方法配成(x+m)2=n 时，下面叙述正确的是（ ）.
A、m是p的一半 B、m是p的一半的平方
C、m是p的2倍 D、m是p的一半的相反数
A
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.一元二次方程配方的结果为，则 的值是___．
4.小明用配方法解方程 的部分过程如下：①移项，得
;②二次项系数化为1，得 ;③配方，得
，即;开平方，得 .小明
的解法中开始出现错误的步骤是____（填序号）；该方程正确的根为
________________.
1
，
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.利用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x + 5 的最小值； (2) -3x2 + 5x + 1 的最大值.
解：(1) 2x2 - 4x + 5 = 2(x - 1)2 + 3，
当 x = 1 时有最小值 3.
(2) -3x2 + 5x + 1 = -3(x - )2 +，
当 x =时有最大值.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十七章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解得 意义，经历估计方程解得过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程, 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解--元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，
内容分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展.学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数做好铺垫，
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标 1. 经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2.熟练掌握配方法解一元二次方程。 3.推导求根公式，并会根据判别式判断根的情况。 4.能够利用韦达定理解决根和系数相关问题。 5.掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； （二）教学重点、难点 重点： 1.一元二次方程的概念及一般形式； 2.配方法、公式法、因式分解法的解题步骤； 3.根的判别式的意义及应用； 4.列一元二次方程解决实际问题（尤其是增长率、面积、利润问题） 难点： 1.配方法的解题步骤； 2.求根公式的推导过程； 3.根的判别式与根的关系的灵活应用； 4.实际问题中等量关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数17.1 一元二次方程117.2 一元二次方程的解法317.3一元二次方程根的判别式117.4一元二次方程根与系数的关系117.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1一元二次方程 1. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程； 2. 会将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a?=0），并能确定 a,b,c 的值； 3. 能根据实际问题列出一元二次方程。1. 能准确判断一个方程是否为一元二次方程； 2. 能正确将方程化为一般形式并确定系数； 3. 能结合实际情境建立一元二次方程模型。任务一：情境导入，初步接触一元二次方程；任务二：通过例题练习，识别一元二次方程并化为一般形式；任务三：解决简单的实际问题，列出一元二次方程。17.2.1一元二次方程的解法 (第一课时)1.理解配方法的原理，掌握配方的关键步骤； 2.能熟练运用配方法求解一元二次方程1.能准确完成配方步骤，将方程转化为完全平方形式； 2.能规范运用配方法求解一元二次方程，计算结果正确； 任务一：复习导入 任务二：探究新知，理解配方法的步骤 任务三：例题精讲，运用配方法解方程。 17.2.2一元二次方程的解法(第二课时)1.掌握一元二次方程的求根公式 x= 2.能熟练运用公式法求解一元二次方程； 3.能根据方程的特点，灵活选择直接开平方法、配方法或公式法进行求解。1.能准确套用求根公式，计算结果正确； 2.能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 3.能对比不同解法的优缺点，形成解题策略。任务一：引入课题。 任务二：探究新知，推导求根公式. 任务三：例题精讲，运用公式解方程。 17.2.3一元二次方程的解法(第三课时)1.理解因式分解法的依据，掌握 “若 ab=0，则 a=0或b=0”； 2.会用提公因式法、公式法对一元二次方程因式分解； 3.能正确、规范地用因式分解法解一元二次方程。1.能准确套用因式分解法，计算结果正确； 2能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 任务一：复习巩固 任务二：探究新知，提公因式法解一元二次方程 任务三：公式法（平方差、完全平方）因式分解解方程 任务四：例题讲解17.3一元二次方程根的判别式 1.理解根的判别式 Δ=b2 4ac的定义； 2.掌握Δ与根的关系： Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根； 3.能根据 Δ的符号判断根的情况，或逆向求参数范围。1.能准确计算任意一元二次方程的判别式 Δ； 2.可快速根据 Δ 符号判断根的个数； 3.能解决含参数的判别式问题，确定参数取值范围。任务一：复习巩固 任务二：基础计算，求 Δ 并判断根的情况； 任务三：逆向推导题，已知根的情况求参数； 任务四：综合小题，结合判别式分析方程根的特点。 17.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握韦达定理：若一元二次方程的两根为 则； 2.能利用韦达定理求两根之和、两根之积，或相关代数式的值 3.理解韦达定理的适用条件（Δ≥0）。1.能准确套用韦达定理计算 2.可熟练进行代数式变形，利用韦达定理求值； 3.能注意判别式条件，避免解题疏漏任务一：复习巩固 任务二：探究新知，推导韦达定理 任务三：例题讲解17.5.1一元二次方程的应用(第一课时)1.理解增长率、下降率的意义，掌握连续两次增长（降低）的数量关系。 2能根据题意列出一元二次方程： a(1+x)2=b 3.会解方程、检验根的合理性，舍去不符合实际的1.能准确区分基数、增长后量、增长率，正确写出增长模型。 2.能独立列出增长率问题的一元二次方程，不出现等量关系错误。 3.能正确解方程，并根据实际意义舍去负增长率 / 大于 1 的不合理解。 4.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究增长率问题的解法 任务三：例题讲解17.5.2一元二次方程的应用（第二课时）1.能根据面积公式、周长关系、折叠性质列出一元二次方程 2. 能根据题意正确列出分式方程，并熟练求解、检验 3. 体会分式方程在生活中的广泛应用，培养严谨验算的习惯1.能独立列出一元二次方程，不出现等量关系错误。 2.能正确解方程，并根据实际意义舍去不合理的解。 3.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究几何图形的应用题的解法 任务三：探究含分式方程的应用题的解法 任务四：例题讲解
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