(共23张PPT)
第十七章 一元二次方程
17.2.2一元二次方程的解法
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式，会用公式法解一元二次方程
01
会利用求根公式解简单系数的一元二次方程
02
通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高运算能力
03
02
复习旧知
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法？
① 直接开平方法
② 配方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法.
① 直接开平方法
② 配方法
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法.
02
创设情境
某学校准备修建一个面积为200 m2的矩形花圃，它的长比宽多10 m，设花圃的宽为x m，则长为(x＋10)m，根据矩形面积公式可得方程x(x＋10)＝200，即x2＋10x－200＝0.如何求解这个一元二次方程呢？
03
新知探究
思考
如何解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
因为a≠0，所以把方程的两边都除以a，得
.
移项，得x +x=.
配方，得x +x+() =-+() ，
则 .
因为a≠0，所以4a2＞0.当b2 -4ac≥0时，≥0.
03
新知探究
将方程 两边开平方，
因为a≠0，所以4a2>0。当b2-4ac≥0时，是一个非负数。
得x+=±，
化简、整理，得x=±，
因此，x=.
这就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b -4ac≥0）的求根公式.
03
新知探究
对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，当b2－4ac≥0时，它的根是，即
x1=,x2=.
这种解法叫作公式法。
03
新知探究
用配方法解一元二次方程的步骤：
①将方程化为一般形式： ；
②把二次项系数化为 ；
③把常数项移到方程右边，得 ；
④配方：在方程的两边分别加上一次项系数的一半的平方，
使方程左边成为完全平方式，得 ，
即_ ________________；
⑤求解：如果方程的右边是非负数，那么就用直接开平方法
解之；如果方程的右边是负数，那么原方程无实根.
03
新知探究
由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. 因此，解一元二次方程时，先将方程化为 ax2 +bx+c=0的一般形式，当 b2 - 4ac≥0 时，将 a，b，c 代入求根公式，就可以得出方程的实数根.
注意 使用公式法解一元二次方程的前提是：
1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
03
新知探究
例1、用公式法解下列方程。
(1)2x2+7x-4=0； (2)x2+3=2；
(1)解：a=2，b=7，c=-4，
b2－4ac =72－4×2×(-4)=81＞0.
代入求根公式，得x = ，
所以原方程的根是x1=，x2=-4.
03
新知探究
(2)解：将原方程化为一般形式，得
a=1，b=，c=3，
b2－4ac =()2－4×1×3=0.
代入求根公式，得x = ，
所以原方程的根是x1=x2=.
03
新知探究
例2、解方程：x2＋x－1＝0(精确到0.001)；
解 由题意，得a＝1，b＝1，c＝－1.
代入求根公式，得
x＝.
用计算器求得≈2.236 1.
所以原方程的根是x1≈0.618，x2≈－1.618.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.若用公式法解关于x的一元二次方程2x2＋3x－4＝0，其根为( )
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝
2.用公式法解方程x2＋2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是( )
A.1，2，3 B.1，－2，3
C.1，2，－3 D.1，－2，－3
C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.把方程(x＋3)(x－1)＝x(1－x)整理成ax2＋bx＋c＝0的形式是 ，b2－4ac的值是 .
2x2＋x－3＝0
25
4. 用求根公式解一元二次方程3x2＋bx＋c＝0（b，c为整数）时，已知方程的一个根x1＝ ，则方程的另一个根x2＝ .
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5. 规定： ＝ad－bc.例如， ＝1×4－2×（－3）＝10.若 ＝0，求x的值.
解：根据题意可得，（2x2－3）×1－6x＝0，
整理，得2x2－6x－3＝0，
∴b2－4ac＝（－6）2－4×2×（－3）＝60.
代入求根公式，得x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
05
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）
二定（系数值）
三求（求 b2 - 4ac 的值）
四判（方程根的情况）
五代（代求根公式计算）
务必将方程化为一般形式
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值.对于方程－4x2＋3＝5x，下列叙述正确的是（ B ）
A. a＝－4，b＝5，c＝3 B. a＝－4，b＝－5，c＝3
C. a＝4，b＝5，c＝3 D. a＝4，b＝－5，c＝－3
2.若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根
是m（m≠0），则b＋ ＝（ D ）
A. m B. －m
C. 2m D. －2m
B
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.已知关于x的方程kx2－x－ ＝0，若该方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 .
±1
4. 用公式法解一元二次方程时，一般要先计算b2－4ac的值.
用公式法解一元二次方程－2x2＋5x－6＝0时，b2－4ac的值为 ，则此方程根的情况是 .
－23
没有实数根
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.小明在解方程x2－5x＝1时出现了错误，他的解答过程如下：
解：∵a＝1，b＝－5，c＝1， （第一步）
∴b2－4ac＝（－5）2－4×1×1＝21， （第二步）
∴x＝ ， （第三步）
∴x1＝ ，x2＝ . （第四步）
（1）小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原
因是 ；
一
原方程没有化为一般形式
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）请写出此题正确的解答过程.
解：（2）将方程化为一般形式，得x2－5x－1＝0.
∵a＝1，b＝－5，c＝－1，
∴b2－4ac＝（－5）2－4×1×（－1）＝29，
∴x＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
Thanks!
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17.2.2一元二次方程的解法教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 17
课题 17.2.2一元二次方程的解法 课时 1
教材分析 公式法解一元二次方程是初中代数的核心内容，衔接配方法与因式分解法。教材通过配方法推导求根公式，强调从特殊到一般的数学思想，体现公式法作为通用解法的优势。内容设计注重逻辑递进：先复习配方法步骤，再推导公式，最后应用判别式分析根的情况，为后续学习二次函数奠定基础。教材编排突出公式法的普适性，但需注意避免与直接开平方法重复，强化学生对系数符号的辨析能力。
学情分析 学生已掌握配方法和因式分解法，具备解简单一元二次方程的基础，但抽象思维仍待发展。八年级学生能通过合作探究理解公式推导，但对字母系数的方程易产生符号错误。学习难点在于判别式与根的关系理解，部分学生会混淆Δ>0、Δ=0、Δ<0的条件。教学中需利用生活实例激发兴趣，通过分层练习兼顾不同层次学生，强化运算习惯和分类讨论思想。
核心素养目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式，会用公式法解一元二次方程 2.会利用求根公式解简单系数的一元二次方程 3.通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高运算能力.
教学重点 理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式，会用公式法解一元二次方程
教学难点 会利用求根公式解简单系数的一元二次方程
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法？ ① 直接开平方法 ② 配方法 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固方程相关知识
二、引新 创设情境，引入课题 某学校准备修建一个面积为200 m2的矩形花圃，它的长比宽多10 m，设花圃的宽为x m，则长为(x＋10)m，根据矩形面积公式可得方程x(x＋10)＝200，即x2＋10x－200＝0.如何求解这个一元二次方程呢？ 学生思考问题 通过问题，自然引入课题
三、探究 合作探究，活动领悟 如何解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）. 因为a≠0，所以把方程的两边都除以a，得 移项，得x +x=. 配方，得x +x+() =-+() ， 则 . 将方程 两边开平方， 得x+=±， 化简、整理，得x=±， 因此，x=. 这就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b -4ac≥0）的求根公式. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，当b2－4ac≥0时，它的根是，即 x1=,x2=. 这种解法叫作公式法。 用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化为一般形式： ； ②把二次项系数化为 ； ③把常数项移到方程右边，得 ； ④配方：在方程的两边分别加上一次项系数的一半的平方， 使方程左边成为完全平方式，得 ， 即 ⑤求解：如果方程的右边是非负数，那么就用直接开平方法 解之；如果方程的右边是负数，那么原方程无实根. 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. 因此，解一元二次方程时，先将方程化为 ax2 +bx+c=0的一般形式，当 b2 - 4ac≥0 时，将 a，b，c 代入求根公式，就可以得出方程的实数根. 注意 使用公式法解一元二次方程的前提是： 1. 必须是一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)； 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，回答问题 引导学生从已有知识（配方法）出发，通过小组协作自主推导求根公式，实现从“会用”到“理解”的跨越。
四、变式 师生互动，变式深化 例1、用公式法解下列方程。 (1)2x2+7x-4=0； (2)x2+3=2； (1)解：a=2，b=7，c=-4， b2－4ac =72－4×2×(-4)=81＞0. 代入求根公式，得x = ， 所以原方程的根是x1=，x2=-4. (2)解：将原方程化为一般形式，得 a=1，b=，c=3， b2－4ac =()2－4×1×3=0. 代入求根公式，得x = ， 所以原方程的根是x1=x2=. 例2、解方程：x2＋x－1＝0(精确到0.001)； 解 由题意，得a＝1，b＝1，c＝－1. 代入求根公式，得 x＝. 用计算器求得≈2.236 1. 所以原方程的根是x1≈0.618，x2≈－1.618. 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.若用公式法解关于x的一元二次方程2x2＋3x－4＝0，其根为( ) A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 2.用公式法解方程x2＋2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是( ) A.1，2，3 B.1，－2，3 C.1，2，－3 D.1，－2，－3 3.把方程(x＋3)(x－1)＝x(1－x)整理成ax2＋bx＋c＝0的形式是 ，b2－4ac的值是 . 4. 用求根公式解一元二次方程3x2＋bx＋c＝0（b，c为整数）时，已知方程的一个根x1＝ ，则方程的另一个根x2＝ . 5. 规定： ＝ad－bc.例如， ＝1×4－2×（－3）＝10.若 ＝0，求x的值. 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.求根公式 2.公式法解一元二次方程的步骤 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值.对于方程－4x2＋3＝5x，下列叙述正确的是（ ） A. a＝－4，b＝5，c＝3 B. a＝－4，b＝－5，c＝3 C. a＝4，b＝5，c＝3 D. a＝4，b＝－5，c＝－3 2.若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根
是m（m≠0），则b＋ ＝（ ） A. m B. －m C. 2m D. －2m 3.已知关于x的方程kx2－x－ ＝0，若该方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为 . 4. 用公式法解一元二次方程时，一般要先计算b2－4ac的值. 用公式法解一元二次方程－2x2＋5x－6＝0时，b2－4ac的值为 ，则此方程根的情况是 。 5.小明在解方程x2－5x＝1时出现了错误，他的解答过程如下： 解：∵a＝1，b＝－5，c＝1， （第一步） ∴b2－4ac＝（－5）2－4×1×1＝21， （第二步） ∴x＝ ， （第三步） ∴x1＝ ，x2＝ . （第四步） （1）小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ； （2）请写出此题正确的解答过程.
教学反思 本节课以推导求根公式为主线，通过配方法自然过渡，学生能初步掌握公式应用。成功之处在于小组合作探究，如用判别式分析根的情况时，学生通过讨论深化了对Δ值的理解。不足之处包括：部分学生公式记忆不牢，导致代入错误；练习时间分配不足，影响变式题的巩固。改进方向是增加判别式与三角形综合应用的例题，强化符号化简训练，并利用课后分层作业提升计算准确性。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十七章
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解得 意义，经历估计方程解得过程. 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程, 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4.了解--元二次方程的根与系数的关系. 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，
内容分析 本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展.学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数做好铺垫，
学情分析 学生已具备平面直角坐标系的基础知识，能够用坐标表示点的位置。但对变量间关系的数学描述尚属初次系统学习，需通过大量生活实例帮助学生建立函数概念。学生抽象思维能力仍在发展中，教学应注重从具体到抽象的过程引导。
单元目标 （一）教学目标 1. 经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2.熟练掌握配方法解一元二次方程。 3.推导求根公式，并会根据判别式判断根的情况。 4.能够利用韦达定理解决根和系数相关问题。 5.掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； （二）教学重点、难点 重点： 1.一元二次方程的概念及一般形式； 2.配方法、公式法、因式分解法的解题步骤； 3.根的判别式的意义及应用； 4.列一元二次方程解决实际问题（尤其是增长率、面积、利润问题） 难点： 1.配方法的解题步骤； 2.求根公式的推导过程； 3.根的判别式与根的关系的灵活应用； 4.实际问题中等量关系的建立
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数17.1 一元二次方程117.2 一元二次方程的解法317.3一元二次方程根的判别式117.4一元二次方程根与系数的关系117.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1一元二次方程 1. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程； 2. 会将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a?=0），并能确定 a,b,c 的值； 3. 能根据实际问题列出一元二次方程。1. 能准确判断一个方程是否为一元二次方程； 2. 能正确将方程化为一般形式并确定系数； 3. 能结合实际情境建立一元二次方程模型。任务一：情境导入，初步接触一元二次方程；任务二：通过例题练习，识别一元二次方程并化为一般形式；任务三：解决简单的实际问题，列出一元二次方程。17.2.1一元二次方程的解法 (第一课时)1.理解配方法的原理，掌握配方的关键步骤； 2.能熟练运用配方法求解一元二次方程1.能准确完成配方步骤，将方程转化为完全平方形式； 2.能规范运用配方法求解一元二次方程，计算结果正确； 任务一：复习导入 任务二：探究新知，理解配方法的步骤 任务三：例题精讲，运用配方法解方程。 17.2.2一元二次方程的解法(第二课时)1.掌握一元二次方程的求根公式 x= 2.能熟练运用公式法求解一元二次方程； 3.能根据方程的特点，灵活选择直接开平方法、配方法或公式法进行求解。1.能准确套用求根公式，计算结果正确； 2.能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 3.能对比不同解法的优缺点，形成解题策略。任务一：引入课题。 任务二：探究新知，推导求根公式. 任务三：例题精讲，运用公式解方程。 17.2.3一元二次方程的解法(第三课时)1.理解因式分解法的依据，掌握 “若 ab=0，则 a=0或b=0”； 2.会用提公因式法、公式法对一元二次方程因式分解； 3.能正确、规范地用因式分解法解一元二次方程。1.能准确套用因式分解法，计算结果正确； 2能根据方程的结构特点，选择最简便的解法； 任务一：复习巩固 任务二：探究新知，提公因式法解一元二次方程 任务三：公式法（平方差、完全平方）因式分解解方程 任务四：例题讲解17.3一元二次方程根的判别式 1.理解根的判别式 Δ=b2 4ac的定义； 2.掌握Δ与根的关系： Δ>0有两个不相等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根； 3.能根据 Δ的符号判断根的情况，或逆向求参数范围。1.能准确计算任意一元二次方程的判别式 Δ； 2.可快速根据 Δ 符号判断根的个数； 3.能解决含参数的判别式问题，确定参数取值范围。任务一：复习巩固 任务二：基础计算，求 Δ 并判断根的情况； 任务三：逆向推导题，已知根的情况求参数； 任务四：综合小题，结合判别式分析方程根的特点。 17.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握韦达定理：若一元二次方程的两根为 则； 2.能利用韦达定理求两根之和、两根之积，或相关代数式的值 3.理解韦达定理的适用条件（Δ≥0）。1.能准确套用韦达定理计算 2.可熟练进行代数式变形，利用韦达定理求值； 3.能注意判别式条件，避免解题疏漏任务一：复习巩固 任务二：探究新知，推导韦达定理 任务三：例题讲解17.5.1一元二次方程的应用(第一课时)1.理解增长率、下降率的意义，掌握连续两次增长（降低）的数量关系。 2能根据题意列出一元二次方程： a(1+x)2=b 3.会解方程、检验根的合理性，舍去不符合实际的1.能准确区分基数、增长后量、增长率，正确写出增长模型。 2.能独立列出增长率问题的一元二次方程，不出现等量关系错误。 3.能正确解方程，并根据实际意义舍去负增长率 / 大于 1 的不合理解。 4.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究增长率问题的解法 任务三：例题讲解17.5.2一元二次方程的应用（第二课时）1.能根据面积公式、周长关系、折叠性质列出一元二次方程 2. 能根据题意正确列出分式方程，并熟练求解、检验 3. 体会分式方程在生活中的广泛应用，培养严谨验算的习惯1.能独立列出一元二次方程，不出现等量关系错误。 2.能正确解方程，并根据实际意义舍去不合理的解。 3.能完整书写解题步骤：设、列、解、验、答。任务一：复习巩固 任务二：探究新知，探究几何图形的应用题的解法 任务三：探究含分式方程的应用题的解法 任务四：例题讲解
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