广东省广州协和学校等三校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·广州期中）袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得取球的总情况数为，取到红球的情况数为4，
则取到红球的概率为：.
故答案为：B.
【分析】由题意可得取球的总情况数和取到红球的情况数，再利用古典概率公式，从而得出取到红球的概率.
2．（2025高二下·广州期中）已知是等差数列，且，，则首项等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，
得，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式建立方程组计算可得出等差数列的首项和公差的值.
3．（2025高二下·广州期中）已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则该物体在时的瞬间速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由，
得，
所以，
则该物体在时的瞬间速度为.
故答案为：B.
【分析】根据导数的物理意义对函数求导，再将代入得出该物体在时的瞬间速度.
4．（2025高二下·广州期中）已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，圆与抛物线都关于x轴对称，
则所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，
所以，
解得，则，得.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线方程得出准线方程，再联立直线方程和圆的方程结合韦达定理以及弦长公式，再根据已知条件得出p的值.
5．（2025高二下·广州期中）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．或4
【答案】C
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，
由题意，得：，
则
所以或.
因为是递增数列，
所以这种情况不满足题意；
则.
故答案为：C.
【分析】设等比数列公比为，由已知建立的方程组，再结合数列是递增数列，解得的值，再利用等比数列前n项和公式得出的值.
6．（2025高二下·广州期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由且知，四边形为平行四边形，
则，
因为平面，平面，所以平面；
由且知，四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，
则到平面的距离为平面到平面的距离，
所以，建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
则点到平面的距离为，
所以，平面到平面的距离为.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的结构特征得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而得出到平面的距离即为平面到平面的距离，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用数量积求点到平面的距离公式，从而得出点到平面的距离，进而得出平面到平面的距离.
7．（2025高二下·广州期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设椭圆的左焦点为，连接，
设，由对称性，可知，
由椭圆定义，得，
则，
因为，，所以，
在直角中，由，
则，解得，
在直角中，，
则，
把代入整理，得，
由，解得.
故答案为：C.
【分析】设，根据椭圆的对称性和椭圆的定义，从而可得，与m的关系式，在直角与直角中，分别利用勾股定理建立关于a与c的方程，再利用椭圆的离心率公式变形和椭圆离心率的取值范围，从而得出椭圆E的离心率的值.
8．（2025高二下·广州期中）已知正实数x，y满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，
则，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则；
设，
则，
令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则.
所以，当时，，
则，此时.
故答案为：D.
【分析】设、，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则得出x，y的值，进而得出的值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．（2025高二下·广州期中）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．和是函数的极值点
B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率大于零
【答案】C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，由图可得，
在附近，的符号发生了变化，则是的极值点，
注意到，但在附近，的符号没有发生变化，
则不是函数的极值点，故A错误；
对于B、C，由图可得当时，，则在上单调递增，
所以，不是函数的最小值点，故B错误、C正确；
对于D，由图可知，，则在处切线的斜率大于零，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由导函数图象与原函数关系，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，再利用比较法得出函数的最值点，再结合导数的几何意义求直线斜率的方法和导函数的图象，从而逐项判断找出真命题的选项.
10．（2025高二下·广州期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，…称为正方形数．记三角形数构成数列，正方形数构成数列，且数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．1275既是三角形数，又是正方形数
【答案】A,B,C
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
所以，
利用累加法，得，
则，当n=1时也成立；
因为正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
所以，
利用累加法，得，
则，n=1时也成立.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，
又因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
利用裂项求和法，得：，故C正确；
对于D，令，解得，
令，
解得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用累加法求出数列的通项公式和数列的通项公式，再利用代入法和递推公式，则可判断选项A和选项B；利用裂项相消法判断选项C；分别令和，再利用有无正整数解，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高二下·广州期中）已知直棱柱的所有棱长均为2，，动点M满足（，），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，三棱锥的外接球的体积为
C．若直线DM与直线所成角为定值，则M点轨迹为圆的一部分
D．记点M到直线AC的距离为d，当时，则d的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；圆锥曲线的轨迹问题；球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，，，
所以，点在矩形内（包括边界），
又因为棱柱的棱长均为2，，
所以为等边三角形，则⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
又因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于选项B，当，时，，
则重合，
因为三棱锥的外接球为三棱锥的外接球，
又因为，所以的外心在点，
则球心在的中点处，
所以，三棱锥的外接球半径为，
则三棱锥的外接球的体积为，故B正确；
对于选项C，因为相交于点，相交于点，连接，
则⊥平面，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，，
则，
所以，
当时，，此时直线DM与直线所成角为直角，
当时，，
要想直线DM与直线所成角为定值，
则为定值，不妨设，
则，所以点M的轨迹为直线的一部分，不为圆的一部分，故C错误；
对于选项D，记点M到直线AC的距离为d，
当时，在线段上，
设，，
则，，，
所以，
则，
所以，点，，
则，，
所以，
则
，
则当时，取得最小值，最小值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用平面向量基本定理和等边三角形的结构特征得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，即⊥平面，再根据线面垂直的定义证出，判断出选项A；利用点重合，则三棱锥的外接球为三棱锥的外接球，且球心在的中点处，再利用勾股定理得出外接球半径，再根据球的体积公式，则判断出选项B；利用已知条件建立空间直角坐标系，设，，利用数量积求向量夹角公式，则表达出，再利用分类讨论的方法和直线的定义，则判断出选项C；当时，点在线段上，设，，再利用向量共线的坐标表示，从而得到点坐标与p的关系式，再利用点到直线距离的向量公式和二次函数求最值的方法，从而得出d的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·广州期中）函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为的定义域为，
所以，
令，得，
则的单调递减区间为.
故答案为：.
【分析】求出函数的定义域，导函数，解，可得单调递减区间.
13．（2025高二下·广州期中）根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，且语文和数学考试成绩互不影响，则语文和数学至少有一科及格的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得语文不及格概率为：，数学不及格概率为，
则语文与数学均不及格概率为，
所以，语文和数学至少有一科及格的概率为：.
故答案为：.
【分析】由题意结合对立事件求概率公式，从而可得语文与数学均不及格的概率，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式求得语文和数学至少有一科及格的概率.
14．（2025高二下·广州期中）任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数：则无限循环小数 （写成的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列，设数列，则数列的前n项和 ．
【答案】；
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：令，则，解得，
所以；
易知，
所以，
则，
所以
.
故答案为：；.
【分析】利用无限循环小数的性质建立方程，从而求解得出无限循环小数的值；利用题中数列的规律，先求出数列的通项公式，再利用得到数列的通项公式，最后由裂项相消法得出数列的前n项和.
四、解答题：本题共5小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·广州期中）已知函数在处取得极值．
（1）求的值；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求函数在上的最值．
【答案】（1）解：，在处取得极值，
，
解得：；
当，时，，
当时，；当时，，
在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，满足题意，
综上所述：，.
（2）解：由（1）得：，，
，，
在点处的切线方程为：，即.
（3）解：由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增；
，
因为，，
，
在上的最大值为，最小值为.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件和导数求极值点和极值的方法，从而构造方程组得出的值，再验证可得满足要求的a，b的值.
（2）由导数几何意义可得切线斜率，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（3）根据已知条件和函数单调性可得出函数在上的最值.
（1），在处取得极值，
，解得：；
当，时，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，满足题意；
综上所述：，.
（2）由（1）得：，，，，
在点处的切线方程为：，即.
（3）由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增；
，
又，，，
在上的最大值为，最小值为.
16．（2025高二下·广州期中）已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足．
（1）求与的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则；
由知，
，当时，由，得，
由，得，
当时，，
可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）解：由（1），得，
则，
，
两式相减得，
，
所以，
则恒成立，
所以恒成立，
设，
则，
当时，；当时，，
所以的最大值为，
则.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义以及等差数列的通项公式，可得，利用和等比数列的定义可得；
（2）利用（1）中结论得出数列的通项公式，再利用错位相减法求出，将已知条件转化为恒成立，设，判断出数列的单调性，从而得出数列的最大值可得出实数的取值范围.
（1）因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
由知，当时，由得，
由得，
当时，，
可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1），
，
，
两式相减得
，
所以，
则即恒成立，
即恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
所以的最大值为，
所以.
17．（2025高二下·广州期中）如图，在三棱锥中，，．是线段上的点．
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为，所以，
由，得，所以，
又因为，所以，
则，
因为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
当点为的中点时，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以，
则当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：设，
因为，其中，
所以，可得，
则点，
因为平面，则点，
所以，
则
当且仅当时，即当时，等号成立，
则当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值，
由（2）知平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
所以，
则当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证出直线平面，再利用面面垂直的判定定理证出平面平面ABC
（2）点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式可计算得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）设，，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，利用三棱锥的体积公式，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值并得到的值，再结合（2）数量积求二面角的公式计算可得.
（1）取的中点，连接，
因为，则，
由，得，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
当点为的中点时，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以，
故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设，因为，其中，
所以，，可得，即点，
因为平面，则点，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值.
由（2）知平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
所以，
所以三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面夹角的余弦值为.
18．（2025高二下·广州期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数的定义域为，
又因为，
则当时，恒成立，
所以在上单调递减；
当时，得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为在上单调递增，
所以有两个零点等价于在上有两个零点，
由（1）可知，若，则在上至多存在一个零点，不符合题意；
若，欲使在上有两个零点，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
因为，
则由零点存在性定理，可知在上存在一个零点；
令，则，
由得，；由得，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
则当时，
，
由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
则当时，在上有两个零点，存在两个零点，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域和导函数，分、两种情况，再利用导数的正负判断函数的单调性即得.
（2）利用已知条件，将问题转化为在上有两个零点，再结合（1）的单调性可得a的取值范围，利用和当时，结合零点存在性定理分析可得.
（1）函数的定义域为，
又，
则当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因在上单调递增，
则有两个零点等价于在上有两个零点，
由（1）可知，若，则在上至多存在一个零点，不符合题意；
若，欲使在上有两个零点，
则，
令，则，则在上单调递增，
又因，则，
因，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点；
令，则，
则得，；得，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
则当时，
，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
则当时，在上有两个零点，存在两个零点，
则实数的取值范围为.
19．（2025高二下·广州期中）已知椭圆的右焦点为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为直线与x轴的交点，点B为直线上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q；
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②设经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，得：，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：①设，
过B作C的切线方程为，与联立，
消去，得：，
则，
整理得：，
设直线BP和直线BQ的斜率分别为，
则是方程的两根，所以，
因为直线BF斜率为，
所以直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列.
②因为经过B，P，Q三点，，所以，
则，
所以，
则因为是方程的两根，所以，
代入上式得：，
解得：，所以，则，
所以，存在点B，使得，此时.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的右焦点坐标和椭圆离心率公式，从而求出的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）①过B作C的切线方程为，与联立，结合，从而得出直线BP，BQ的斜率是关于的方程的两根，利用韦达定理得到，再根据直线BF斜率为和等差中项公式，从而证出直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列.
②利用经过B，P，Q三点，，则，利用数量积求向量夹角公式得到关于的方程，再将用韦达定理换成关于的方程，解方程得出t的值，进而得出BM的长.
（1）由题：，
所以椭圆C的方程为.
（2）①设，过B作C的切线方程为，与联立，消去得：
，
故，
整理得：，
设直线BP，BQ的斜率分别为，则是方程的两根，
所以，而直线BF斜率为，
故直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②经过B，P，Q三点，，故，
，
，
又是方程的两根，所以，
代入上式得：，解得：，所以，
故
所以存在点B，使得，此时.
1 / 1广东省广州协和学校等三校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·广州期中）袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·广州期中）已知是等差数列，且，，则首项等于（ ）
A．0 B． C． D．
3．（2025高二下·广州期中）已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则该物体在时的瞬间速度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·广州期中）已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．（2025高二下·广州期中）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．或4
6．（2025高二下·广州期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·广州期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·广州期中）已知正实数x，y满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．（2025高二下·广州期中）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．和是函数的极值点
B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率大于零
10．（2025高二下·广州期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，…称为正方形数．记三角形数构成数列，正方形数构成数列，且数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．1275既是三角形数，又是正方形数
11．（2025高二下·广州期中）已知直棱柱的所有棱长均为2，，动点M满足（，），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，时，三棱锥的外接球的体积为
C．若直线DM与直线所成角为定值，则M点轨迹为圆的一部分
D．记点M到直线AC的距离为d，当时，则d的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·广州期中）函数的单调递减区间是 ．
13．（2025高二下·广州期中）根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，且语文和数学考试成绩互不影响，则语文和数学至少有一科及格的概率为 ．
14．（2025高二下·广州期中）任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数：则无限循环小数 （写成的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列，设数列，则数列的前n项和 ．
四、解答题：本题共5小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·广州期中）已知函数在处取得极值．
（1）求的值；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求函数在上的最值．
16．（2025高二下·广州期中）已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足．
（1）求与的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围．
17．（2025高二下·广州期中）如图，在三棱锥中，，．是线段上的点．
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面，为垂足，当三棱锥体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（2025高二下·广州期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若有两个零点，求实数的取值范围．
19．（2025高二下·广州期中）已知椭圆的右焦点为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为直线与x轴的交点，点B为直线上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q；
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②设经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得取球的总情况数为，取到红球的情况数为4，
则取到红球的概率为：.
故答案为：B.
【分析】由题意可得取球的总情况数和取到红球的情况数，再利用古典概率公式，从而得出取到红球的概率.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，
得，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式建立方程组计算可得出等差数列的首项和公差的值.
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由，
得，
所以，
则该物体在时的瞬间速度为.
故答案为：B.
【分析】根据导数的物理意义对函数求导，再将代入得出该物体在时的瞬间速度.
4．【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，圆与抛物线都关于x轴对称，
则所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，
所以，
解得，则，得.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线方程得出准线方程，再联立直线方程和圆的方程结合韦达定理以及弦长公式，再根据已知条件得出p的值.
5．【答案】C
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，
由题意，得：，
则
所以或.
因为是递增数列，
所以这种情况不满足题意；
则.
故答案为：C.
【分析】设等比数列公比为，由已知建立的方程组，再结合数列是递增数列，解得的值，再利用等比数列前n项和公式得出的值.
6．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由且知，四边形为平行四边形，
则，
因为平面，平面，所以平面；
由且知，四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，
则到平面的距离为平面到平面的距离，
所以，建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
则点到平面的距离为，
所以，平面到平面的距离为.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的结构特征得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而得出到平面的距离即为平面到平面的距离，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用数量积求点到平面的距离公式，从而得出点到平面的距离，进而得出平面到平面的距离.
7．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设椭圆的左焦点为，连接，
设，由对称性，可知，
由椭圆定义，得，
则，
因为，，所以，
在直角中，由，
则，解得，
在直角中，，
则，
把代入整理，得，
由，解得.
故答案为：C.
【分析】设，根据椭圆的对称性和椭圆的定义，从而可得，与m的关系式，在直角与直角中，分别利用勾股定理建立关于a与c的方程，再利用椭圆的离心率公式变形和椭圆离心率的取值范围，从而得出椭圆E的离心率的值.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，
则，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则；
设，
则，
令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则.
所以，当时，，
则，此时.
故答案为：D.
【分析】设、，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则得出x，y的值，进而得出的值.
9．【答案】C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，由图可得，
在附近，的符号发生了变化，则是的极值点，
注意到，但在附近，的符号没有发生变化，
则不是函数的极值点，故A错误；
对于B、C，由图可得当时，，则在上单调递增，
所以，不是函数的最小值点，故B错误、C正确；
对于D，由图可知，，则在处切线的斜率大于零，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由导函数图象与原函数关系，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，再利用比较法得出函数的最值点，再结合导数的几何意义求直线斜率的方法和导函数的图象，从而逐项判断找出真命题的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
所以，
利用累加法，得，
则，当n=1时也成立；
因为正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
所以，
利用累加法，得，
则，n=1时也成立.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，
又因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
利用裂项求和法，得：，故C正确；
对于D，令，解得，
令，
解得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用累加法求出数列的通项公式和数列的通项公式，再利用代入法和递推公式，则可判断选项A和选项B；利用裂项相消法判断选项C；分别令和，再利用有无正整数解，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；圆锥曲线的轨迹问题；球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，，，
所以，点在矩形内（包括边界），
又因为棱柱的棱长均为2，，
所以为等边三角形，则⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
又因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于选项B，当，时，，
则重合，
因为三棱锥的外接球为三棱锥的外接球，
又因为，所以的外心在点，
则球心在的中点处，
所以，三棱锥的外接球半径为，
则三棱锥的外接球的体积为，故B正确；
对于选项C，因为相交于点，相交于点，连接，
则⊥平面，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，，
则，
所以，
当时，，此时直线DM与直线所成角为直角，
当时，，
要想直线DM与直线所成角为定值，
则为定值，不妨设，
则，所以点M的轨迹为直线的一部分，不为圆的一部分，故C错误；
对于选项D，记点M到直线AC的距离为d，
当时，在线段上，
设，，
则，，，
所以，
则，
所以，点，，
则，，
所以，
则
，
则当时，取得最小值，最小值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用平面向量基本定理和等边三角形的结构特征得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，即⊥平面，再根据线面垂直的定义证出，判断出选项A；利用点重合，则三棱锥的外接球为三棱锥的外接球，且球心在的中点处，再利用勾股定理得出外接球半径，再根据球的体积公式，则判断出选项B；利用已知条件建立空间直角坐标系，设，，利用数量积求向量夹角公式，则表达出，再利用分类讨论的方法和直线的定义，则判断出选项C；当时，点在线段上，设，，再利用向量共线的坐标表示，从而得到点坐标与p的关系式，再利用点到直线距离的向量公式和二次函数求最值的方法，从而得出d的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为的定义域为，
所以，
令，得，
则的单调递减区间为.
故答案为：.
【分析】求出函数的定义域，导函数，解，可得单调递减区间.
13．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得语文不及格概率为：，数学不及格概率为，
则语文与数学均不及格概率为，
所以，语文和数学至少有一科及格的概率为：.
故答案为：.
【分析】由题意结合对立事件求概率公式，从而可得语文与数学均不及格的概率，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式求得语文和数学至少有一科及格的概率.
14．【答案】；
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：令，则，解得，
所以；
易知，
所以，
则，
所以
.
故答案为：；.
【分析】利用无限循环小数的性质建立方程，从而求解得出无限循环小数的值；利用题中数列的规律，先求出数列的通项公式，再利用得到数列的通项公式，最后由裂项相消法得出数列的前n项和.
15．【答案】（1）解：，在处取得极值，
，
解得：；
当，时，，
当时，；当时，，
在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，满足题意，
综上所述：，.
（2）解：由（1）得：，，
，，
在点处的切线方程为：，即.
（3）解：由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增；
，
因为，，
，
在上的最大值为，最小值为.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件和导数求极值点和极值的方法，从而构造方程组得出的值，再验证可得满足要求的a，b的值.
（2）由导数几何意义可得切线斜率，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（3）根据已知条件和函数单调性可得出函数在上的最值.
（1），在处取得极值，
，解得：；
当，时，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，满足题意；
综上所述：，.
（2）由（1）得：，，，，
在点处的切线方程为：，即.
（3）由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增；
，
又，，，
在上的最大值为，最小值为.
16．【答案】（1）解：因为，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则；
由知，
，当时，由，得，
由，得，
当时，，
可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）解：由（1），得，
则，
，
两式相减得，
，
所以，
则恒成立，
所以恒成立，
设，
则，
当时，；当时，，
所以的最大值为，
则.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义以及等差数列的通项公式，可得，利用和等比数列的定义可得；
（2）利用（1）中结论得出数列的通项公式，再利用错位相减法求出，将已知条件转化为恒成立，设，判断出数列的单调性，从而得出数列的最大值可得出实数的取值范围.
（1）因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
由知，当时，由得，
由得，
当时，，
可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1），
，
，
两式相减得
，
所以，
则即恒成立，
即恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
所以的最大值为，
所以.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为，所以，
由，得，所以，
又因为，所以，
则，
因为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
当点为的中点时，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以，
则当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：设，
因为，其中，
所以，可得，
则点，
因为平面，则点，
所以，
则
当且仅当时，即当时，等号成立，
则当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值，
由（2）知平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
所以，
则当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证出直线平面，再利用面面垂直的判定定理证出平面平面ABC
（2）点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式可计算得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）设，，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，利用三棱锥的体积公式，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值并得到的值，再结合（2）数量积求二面角的公式计算可得.
（1）取的中点，连接，
因为，则，
由，得，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
当点为的中点时，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以，
故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设，因为，其中，
所以，，可得，即点，
因为平面，则点，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值.
由（2）知平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
所以，
所以三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：因为函数的定义域为，
又因为，
则当时，恒成立，
所以在上单调递减；
当时，得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为在上单调递增，
所以有两个零点等价于在上有两个零点，
由（1）可知，若，则在上至多存在一个零点，不符合题意；
若，欲使在上有两个零点，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又因为，所以，
因为，
则由零点存在性定理，可知在上存在一个零点；
令，则，
由得，；由得，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
则当时，
，
由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
则当时，在上有两个零点，存在两个零点，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域和导函数，分、两种情况，再利用导数的正负判断函数的单调性即得.
（2）利用已知条件，将问题转化为在上有两个零点，再结合（1）的单调性可得a的取值范围，利用和当时，结合零点存在性定理分析可得.
（1）函数的定义域为，
又，
则当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因在上单调递增，
则有两个零点等价于在上有两个零点，
由（1）可知，若，则在上至多存在一个零点，不符合题意；
若，欲使在上有两个零点，
则，
令，则，则在上单调递增，
又因，则，
因，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点；
令，则，
则得，；得，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
则当时，
，
则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，
则当时，在上有两个零点，存在两个零点，
则实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：由题意，得：，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：①设，
过B作C的切线方程为，与联立，
消去，得：，
则，
整理得：，
设直线BP和直线BQ的斜率分别为，
则是方程的两根，所以，
因为直线BF斜率为，
所以直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列.
②因为经过B，P，Q三点，，所以，
则，
所以，
则因为是方程的两根，所以，
代入上式得：，
解得：，所以，则，
所以，存在点B，使得，此时.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的右焦点坐标和椭圆离心率公式，从而求出的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）①过B作C的切线方程为，与联立，结合，从而得出直线BP，BQ的斜率是关于的方程的两根，利用韦达定理得到，再根据直线BF斜率为和等差中项公式，从而证出直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列.
②利用经过B，P，Q三点，，则，利用数量积求向量夹角公式得到关于的方程，再将用韦达定理换成关于的方程，解方程得出t的值，进而得出BM的长.
（1）由题：，
所以椭圆C的方程为.
（2）①设，过B作C的切线方程为，与联立，消去得：
，
故，
整理得：，
设直线BP，BQ的斜率分别为，则是方程的两根，
所以，而直线BF斜率为，
故直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②经过B，P，Q三点，，故，
，
，
又是方程的两根，所以，
代入上式得：，解得：，所以，
故
所以存在点B，使得，此时.
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