立体几何--球切问题 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何--球切问题 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48π B．36π C．24π D．12π
2．如图，三棱锥中，，，已知平面∥平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
4．四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ）
A．0 B． C． D．
5．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
8．正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体.如图，是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点为正八面体内切球球面上的任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，体积为56，则下列说法正确的是（ ）
A．该四棱台的高为3
B．该四棱台的侧棱长为
C．该四棱台的侧面积为
D．该四棱台不存在内切球
10．已知圆柱的高为2，为下底面圆的一条直径，为上底面圆上任意一点，球内切于圆柱，则（ ）
A．球的体积为 B．直线，为异面直线
C．直线与圆柱上底面所成的角为 D．平面截球所得截面面积最小值为
11．已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（ ）
A．
B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为
C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为
D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为
12．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
13．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球的体积为
B．平面被球截得的截面圆的面积为
C．存在点，使得平面
D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题
14．已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 .
15．已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为 ．
16．如图，已知球内切于圆台（即球与该圆台的上 下底面以及侧面均相切），且圆台的上 下底面半径，则球与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为 .

17．已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 .
四、解答题
18．如图，在 中， 现将 绕直角边AC 旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P 为圆锥的内切球O与CD 的切点，E为的中点.
(1)求点 P 到平面的距离;
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.
19．如图，正四棱台中，为的中点，．
(1)当时，
（i）求证：平面平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值．
(2)若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A B D C D A BCD ACD
题号 11 12 13
答案 ABD ABD ABD
1．A
根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径.
因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到
所以外接球半径，
∵，∴
因此圆锥外接球的表面积为48π.
故选：A.
2．A
根据题意得到内切球半径和三棱锥高的关系，然后利用等体积的思路列方程，解方程即可得到.
设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，，
取中点，连接，
因为，所以，，
因为，所以，
因为三棱锥的内切球同时与平面相切，且，
平面∥平面，所以，
由，
得，
，
，解得，
因为，所以，.
故选：A.
3．A
球心为正方体中心，，法一：连接相交于点，根据线面平行的判定定理得平面，则到平面的距离等于点到平面的距离，设为，利用求出，再由截面圆半径可得答案；法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由点到平面的距离的向量求法可得答案.
球心为正方体中心，半径，
法一：连接，相交于点，点为的中点，连接，
可得，因为平面，平面，
所以平面，在上，
则到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
，，
由平面、得：，
则截面圆半径，
所以截面面积；
法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
，令，则，
所以，
则到平面的距离，
截面圆半径，所以截面面积.
故选：A．
4．B
由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解.
因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为,
则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为.
连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形，
在中，，
由得，，整理得，.
设内切球的半径为，中，，，
所以，所以四棱锥表面积为，
由，即，
∴，则的长为.
故选：B.
5．D
由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解.
由题可知上下底正三角形的高分别为，
由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为，
则有即，
所以正三棱台的高为6.
故选：D.
6．C
根据含内切球的圆台轴截面中的几何性质求出上下底面半径与内切球半径的关系，再应用圆台、球体表面积求法求结果.
设上、下底面半径分别为、，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，

设内切球与梯形两腰分别切于点，知，
由题意知：母线与底面所成角为，则，可得，
即，得，则内切球的半径，
所以圆台表面积，球的表面积
所以.
故选：C
7．D
根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得.
设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，高为，内切球的半径为，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，，
由，整理得，而，解得，，
因此圆台的高，，
则圆台的体积，
内切球的体积，所以.
故选：D
8．A
先利用体积分割法求出正八面体的内切球的半径，取的中点，利用数量积的运算律得，利用圆的知识求出的最大值为，即可得解.
正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2，
则正八面体的表面积，
而正八面体可视为两个共底面的，
侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成，
正四棱锥的高，
则正八面体的体积，
设内切球半径为，则，解得，
取的中点.
设为正方形的中心也是内切球的球心，则，
因此的最大值为，
所以的最大值是.
故选：A.
9．BCD
根据棱台的体积公式可求高判断选项A；做辅助线构造直角梯形结合已知条件可求该直角梯形的腰线即四棱台的侧棱，判断选项B；进一步做辅助线构造直角梯形求侧面梯形的高进一步求侧面积来判断选项C；由正四棱台与球的对称性确定球心，求出球心到各个面的距离不是全部相等所以不存在内切球来判断选项D.
选项A：设正四棱台的高为，则，（台体的体积公式：，其中为台体的体积，为台体的高，分别为台体的上、下底面面积）
解得，故A错误．
选项B：如图，连接，设分别为的中点，
连接，因为正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，
所以，，则，故B正确．
选项C：取中点，过作的垂线，垂足为，则，所以该四棱台的侧面积为，故C正确．
选项D：如图，设为的中点，易知为的中点，连接，
作于，若该四棱台存在内切球，则，（点拨：注意正四棱台与球的对称性）
而，故该四棱台不存在内切球，故D正确．
故选：BCD
10．ACD
由球内切于圆柱得到球的半径可判断A；若点在平面截圆柱所得的截面内，得到直线，共面可判断B；直接求线面角可判断C；过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求解可判断D.
因为圆柱的高为2，且球内切于圆柱，
所以球的半径，
对于A，球的体积，故A正确；
对于B，设平面截圆柱所得截面为，
当点在截面内时，直线与直线共面，故B错误；
对于C，因为平面，所以即为直线与圆柱下底面所成的角，如图：
又，所以为等腰直角三角形，即，
因为圆柱的上下底面平行，所以直线与圆柱上底面所成的角为，故C正确；
对于D，设过点的圆柱的轴截面为，
过点在平面内作，垂足为，如图：
易知，，，
由勾股定理可得，
因为与相似，所以，
即，
设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
因为平面，当平面时，取最大值，即，
所以，
所以平面截得球的截面面积最小值为，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
对A，根据轴截面分析即可；对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C，应用二面角及点到平面距离计算即可；对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可
对A，圆台上、下底面半径分别为1，4，，
则半径为的球内切于圆台，所以，故A正确；
对B，由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为，则根据扇形弧长，所以，故B正确；
对C，过的截面与底面所成角为60°时，圆面，
所以，到截面距离为，故C错误；
对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为，直径为，
故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确；
故选：ABD
12．ABD
作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球的体积公式判断C，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断D.
作出圆锥的轴截面如下：

因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，故A正确；
又，所以，
设球心为（即为的重心），所以，，
即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故B正确；
设圆锥的体积为，则，
内切球的体积为，则，所以，故C错误；
设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上），
设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则，
过点作交于点，则，所以，
即，解得，
所以平面截内切球截面圆的半径，
所以截面圆的面积为，故D正确；
故选：ABD
13．ABD
根据内切球半径计算表面积判断A；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可判断C，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断B，确定当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用面积公式求面积判断D.
对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，
内切球的球面体积为 ，A正确；
对于C，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，
设点，其中，
，，，
设平面法向量为，
则，
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
若存在点，使平面，
只需，因为不成立，所以C错误；
对于B，设平面法向量为，，
则，
令，则，，
所以为平面的法向量，
又因为，
设到平面的距离为，则，
设平面被球截得的截面圆的半径为，
，
所以平面被球截得的截面圆的面积为，B选项正确；
对于D，当为中点时，
过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积，D正确；
故选：ABD.
14．
设，结合条件可求，根据三棱柱有内切球求出此三棱柱的内切球半径，再求外接球的半径，结合球的表面积公式求结论.
设，因为，
所以，
设的内切圆的半径为，则，
即，解得，
因为三棱柱有内切球，
所以，
因为，，
所以直三棱柱的外接球的直径就是以为棱的长方体的对角线，其长为，
所以三棱锥的内切球的表面积为，
三棱锥的外接球的表面积为，
所以三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为.
故答案为：.
15．/
利用圆台的性质求得上底面的关径与内切球的半径的关系，进而求得圆台的体积，求得圆锥的高与内切球的半径的关系，求得圆锥的体积，可求体积比.
设圆台的高为，上底面半径为，圆台的轴截面是等腰梯形，则两腰长之和是两底长之和，
由圆台的内切球半径也均为，则，
则，则，解得，
则圆台的体积为，
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆即为圆锥的内切球的大圆，
设等腰三角形底边上的高为，则腰长为，
则，解得，
则圆锥的体积为，
所以.
故答案为：.
16．
作出该几何体的轴截面，利用平面几何知识，分别计算出切痕所在平面圆的半径和上下两个圆台的高和，即可代入圆台体积公式计算即得.

如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，
设圆与梯形的腰相切于点，与上 下底分别切于点，
圆台上 下底面的半径为.则.
，于是，在直角梯形中，易得
，则，
设与交于点，则，
，
.
故圆台体积为，
圆台体积为，
故切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为.
故答案为：.
17．
根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最小值.
由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
∴点到平面的距离为，
∴圆的半径为，
由得，，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：.
18．(1)
(2)
（1）由题中几何条件，得出是中点，再建立空间直角坐标系，分别求出和平面的一个法向量，最后应用点到平面距离公式计算求解；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再利用空间向量求出面面角，从而可求解．
（1）球是圆锥的内切球，，
为底面圆的直径，
又因为，所以是等边三角形，
，是中点，
以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，得；
设点 P 到平面的距离为，
，
点 P 到平面的距离为.
（2）因为，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，得，
设平面与平面所成夹角为
，
平面与平面所成夹角的余弦值为.
19．(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)
(1)（i）连接交于，则平面．证得平面，从而得，再证得，则平面，进而得证；
（ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面的法向量，即可求直线与平面所成角的正弦值；
(2) 设球为正四棱台的内切球，根据轴截面图形可求出正四棱台的高为，从而利用台体体积公式求出答案．
（1）（i）证明：连接交于，连接，交于点，连接，
则平面．
∵平面，∴．
在正方形中，，且平面，
∴平面．
∵平面，∴．
∵，∴．
连接，∵且，∴四边形为平行四边形．
∴．
连接，∵为的中点，∴．
∵平面，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
（ii）由题意，两两互相垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
连接，则，∴，
∴．
∴，
．
设平面的法向量为，则，
取，则，∴．
设直线与平面所成的角为，
∴．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
（2）取的中点，
连接，则．
由题意，设球为正四棱台的内切球，
则为的中点，且球与平面的切点在上，如图，
可证，，
∴．∴．
过作，垂足为，则，
∴，∴，
∴，
∴正四棱台的体积为．
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