立体几何--三垂线求二面角 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何--三垂线求二面角 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一 距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（ ）

A． B． C． D．
2．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ）
A． B． C． D．
3．正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，正脊与斜脊长度的比为，底面为矩形且长与宽之比为2∶1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，水平放置的正方形的边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ）
A．<< B．<< C．<< D．<<
9．已知正三棱锥底面边长为2，其内切球的表面积为，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．已知圆锥顶点为S，O为底面圆心，轴截面是边长为2的等边三角形，C为底面圆周上一点，且，则下面选项中正确的是（ ）
A．圆锥体积等于
B．圆锥的外接球与内切球的半径比为2:1
C．平面
D．二面角的正切值为
三、填空题
11．在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ．
12．在直三棱柱中，为的中点，平面平面．，且二面角的大小为，则的长为 ．
13．三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为 .
14．如图在四棱柱中，侧面为正方形，侧面为菱形，，、分别为棱及的中点，在侧面内（包括边界）找到一个点，使三棱锥与三棱锥的体积相等，则点P可以是 （答案不唯一），若二面角的大小为，当取最大值时，线段长度的取值范围是 ．
四、解答题
15．如图，M是正方体的棱AB的中点，求二面角的正切值.
16．如图，在三棱锥中，平面PBC，平面平面ABC．
(1)证明：；
(2)若，PC与平面PAB所成角的正切值为，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．
17．如图，在四棱锥中，底面，，，．
(1)若，求向量在向量上的投影向量的模；
(2)当，且时，求出四棱锥的外接球的表面积；
(3)若，且，求二面角的正切值．
18．如图，已知四棱台的体积为，底面为等腰梯形，，，，平面，且与相交于点E.
(1)证明：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
19．如图，在正四棱柱中，为上的点，.
(1)若，证明：；
(2)若平面，求二面角的正切值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C A C B A ABD
1．B
若平面平面，是的中点，连接，从而得到是平面与平面所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值.
若平面平面，则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角，
由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知，
若是的中点，连接，则，且平面，
由平面，则，都在平面内，
所以平面，则是平面与平面所成角的平面角，
其中，，则.

故选：B
2．A
利用二面角平面角可得为，再在中利用余弦定理可求得结果.
连接AC、BD相交于点O，连接SO，因四棱锥为正棱锥，
所以平面ABCD，取AB的中点E，连接SE、OE，
因为，所以，
所以即为平面ABCD与平面ATBS的夹角，即,
设，则，
所以，，
在中，由余弦定理，
故选：A．
3．D
先找到二面角的平面角的最大值，即最小，再求解出此角的余弦值．
取中点，设交于点，

四边形为等腰梯形，分别为的中点，
则有，，
，面，所以面，
当，有面，
面，得，，
则为二面角的平面角，
当不平行时，二面角小于，
由对称性可知当时，最大，
作，，点为棱中点，则，

设分别为和的中心，则，，
又，解得，则棱台的高为，则有，
所以，
在中，由余弦定理得.
故选：D.
4．A
解法一：过点作交于点，连接，分别取线段、的中点、，
连接、、，由二面角的定义得出，由异面直线所成角的定义得出，结合余弦定理结合余弦函数单调性可得出、的大小关系；
解法二：分别取线段、的中点、，连接、、，过点在平面内作，垂足为点，由线面角的定义可知与平面所成的角即为二面角的平面角，再利用最小角的定义可得出、的大小关系.
解法一：过点作交于点，连接，分别取线段、的中点、，
连接、、，如下图所示：
因为四边形为正方形，则，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，，
在正四棱锥中，，，，
所以，所以，
因为，，，所以，故，
所以为等腰三角形，且为锐角，因为，故，
因为，为的中点，所以，
因为，，、分别为、的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，则，
因为，故，
因为，，，所以，则，
故为等腰三角形，且为锐角，由二面角的定义可知，
因为四棱锥的底面是正方形，即，
因为，所以，
由余弦定理可得，，
故，
因为余弦函数在上为减函数，故，故选：A.
解法二：分别取线段、的中点、，连接、、，如下图所示：
因为，为的中点，所以，
因为，，、分别为、的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，则，
因为，故，
故为等腰三角形，且为锐角，由二面角的定义可知，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
故与平面所成的角即为二面角的平面角，
则与之间的比较就可以看作与平面所成的线面角和直线与直线所成的角之间的比较，
由于在平面内，故由最小角定理得.
故选：A.
5．C
过点D作，垂足为G，连接，得出为平面与平面所成的锐二面角，知当最大时，最小即可求解．
如图，
平面平面，过点D作，垂足为G，连接，
则即为平面与平面所成的锐二面角，，
当最大时，最小，不妨设，
因为，
所以，
，
故选：C．
6．A
不妨设正脊，斜脊，底面矩形的长为，宽，做辅助线，根据对称性结合二面角可得，进而可得结果.
根据题意不妨设：正脊，斜脊，底面矩形的长为，宽，
设在底面的投影分别为，的中点分别为，
若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则四点共线，，
且，则，可知二面角的平面角为，
过作，垂足为，连接，
因为平面，平面，可得，
且，平面，可得平面，
又因为平面，可得，
则二面角的平面角为，
可知，则，
即，可得，
即，可得，
则，可得，
所以所求二面角的正切值为.
故选：A.
7．C
将正方形放于两个全等正方体的公共面上，根据旋转的情况结合正方体的结构特征，计算所求二面角.
由已知条件中的旋转，可将正方形放于两个全等正方体的公共面上，
正方形ABCD和正方形的位置如图所示，
连接，如图所示，
平面与平面平面所成的锐二面角可转化为平面与平面所成的锐二面角，
平面，平面，，
正方形中，，
平面，，平面，
同理平面，
平面与平面所成的锐二面角，等于直线AP与AN所成的角，
由为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为.
故选：C.
8．B
设为三角形中心，过作，，，得到，，，再以为原点建立直角坐标系，得到直线，直线，直线的方程，利用点到直线的距离，求得点O到直线的距离判断.
设为三角形中心，过作于，于，于，
由平面，得，平面，则平面，
又平面，于是是二面角的平面角，
因此，同理，，
以为原点建立直角坐标系，如图2，不妨设，则，
由，，得，，
则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
于是，，，，，
而，，为锐角，所以.
故选：B
9．A
先根据内切球的表面积求出内切球半径，再利用等体积法求出正三棱锥的高，最后找出二面角的平面角，进而求出其余弦值.
已知内切球表面积，则，解得.
设正棱锥的顶点在底面上的射影为，取中点，连接
.
因为正棱锥的性质，平面，，根据三垂线定理可得，所以就是二面角的平面角.
底面是边长为的正三角形，则.
设正棱锥的体积为，表面积为.
底面的面积.
侧面中，，，则侧面面积，
正棱锥的表面积.
根据等体积法，即
化简，即，.
两边平方：整理得到，即，解得（舍去）或.
在中，，，，所以.
二面角的余弦值为.
故选：A.
10．ABD
利用圆锥体积公式求体积判断A；圆锥的轴截面为，易知圆锥外接球和内切球的半径分别是外接圆和内切圆的半径，判断B；利用线面垂直的判断、性质推出矛盾判断C；取的中点，连接，，根据二面角的定义有二面角的平面角为，进而求其正切值判断D.
圆锥的底面半径，母线长，圆锥的高，
所以圆锥的体积，故A正确；
如图，圆锥的轴截面为，
圆锥外接球和内切球的半径分别是外接圆和内切圆的半径，
依次为，，
所以圆锥的外接球与内切球的半径比为2:1，故B正确；
若平面，平面，则，
又，且与交于点，所以平面，
又平面，则，显然不成立，故C错误；
取的中点，连接，，
因为，为的中点，则，
由垂径定理得，所以二面角的平面角为，
因为平面，平面，则，
在中，，则，
所以，即二面角的正切值为，故D正确.
故选：ABD
11．/
设的中点分别为，证得平面，得到，再由，证得平面，得到BD，得出为二面角的平面角，在直角中，即可求解．
设的中点分别为，连接，则,
因为BC，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为是直角三角形，且，所以，
所以且，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，则BD，所以为二面角的平面角，
在直角中，可得．
故答案为：.

12．1
找出二面角的平面角，后结合等腰三角形面积相等求解即可.
过点作于点， 平面平面交线为，
则平面,平面,则,直三棱柱中,
,,则平面.平面.则,
为的中点，则为等腰三角形.
设的长为，则容易知道．
．
过点作于点，连接则，
为二面角的平面角，．
且根据等腰三角形面积相等得，又，
所以，解得．即的长为1．
故答案为：1.

13．
先利用，可计算得到底面面积，当恰好为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，此时两两互相垂直，取的中点,连接利用二面角的平面角的定义算出二面角的正切值.
依题意可得三棱锥体积为
因为所以当面时，即时三棱锥体积最大，此时两两互相垂直.
取的中点为，连接
因为所以
又因为所以，所以为二面角的平面角，又因为
所以二面角的正切值为
故答案为:.
14． 的中点，（答案不唯一，点在与的中点的连线段上即可）
取棱及的中点、，连接、，、，，即可证明平面平面，即可得到点在线段上，过点作交于点，在平面内过点作，即可得到为二面角为平面角，易知，即可求出的最大值，此时，，即为正方形，从而求出,即可求出线段长度的取值范围.
取棱及的中点、，连接、，、，，
因为、分别为棱及的中点，
所以，，则，
又且，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
又，平面，所以平面 平面，
又点在侧面内（包括边界），且三棱锥与三棱锥的体积相等，
当点在线段上时，点到平面的距离与点到平面的距离相等，
此时三棱锥与三棱锥的体积相等，
所以点在线段上，即点在与的中点的连线段上.
过点作交于点，在平面内过点作，
因为侧面为正方形，所以，
所以为二面角为平面角，
又二面角的大小为，所以，易知，
又侧面为菱形，，所以，所以，
所以当取最大值时，，即为正方形，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
又，
所以，所以，即为直角三角形且，
所以当点在线段上运动时，
即线段长度的取值范围为.
故答案为：的中点，（答案不唯一，点在与的中点的连线段上即可），．
15．
根据二面角的平面角的概念，做出对应的二面角的平面角，根据勾股定理求出边长计算结果即可.
作交CM的延长线于H，连结.
∵平面，AH是在平面内的射影，∴，
∴为二面角的平面角.
设正方体的棱长为1.
∵M是AB的中点，且，则在直角中， ，， .
， ，
∴二面角的正切值.
16．(1)证明见解析；
(2).
（1）过点P作，垂足为O，由面面垂直、线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判定、性质证明结论；
（2）由（1）知PC与平面PAB所成角等于，根据已知求出相关线段的长度，法一：构建合适的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，应用向量法求夹角余弦值，进而求正弦值；法二：过点O作，垂足为D，连接PD，根据定义得到二面角的平面角为，进而求其正弦值.
（1）过点P作，垂足为O，
因为平面平面ABC，平面平面平面，
所以平面ABC，平面ABC，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
又平面PAB，所以平面PAB．
因为平面PAB，所以．
（2）由平面PAB，则PC与平面PAB所成角等于，
，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
因为，由（1）知，
∴，，
法一：如图，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面APC的一个法向量为，则，
令，则，做，
易知平面ABC的一个法向量为．
．
设平面PAC与平面ABC夹角为，则，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
法二：过点O作，垂足为D，连接PD，
因为，所以平面POD，
由平面POD，所以，所以二面角的平面角为，
因为平面PBC，平面PBC，则，
所以，
因为平面ABC，在直角三角形POD中，，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
17．(1)
(2)
(3)
（1）证明出平面，可得出，结合，可知向量在向量上的投影向量的模为，求解即可（或者利用是和的夹角，求出其余弦值，即可得出向量和上的投影向量的模为）；
（2）过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知即为二面角的平面角，求出、的长，即可求出的正切值，即为所求.
（1）因为平面，而平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，而平面，所以．
因为，所以，根据平面知识可知，
结合平面，可知平面，
因为平面，所以，
故在向量上的投影向量的模即为向量的模长，
（或者利用是和的夹角，
因为平面，平面，所以，
则，同理可得，
又因为，所以，
故向量和上的投影向量的模为．）
（2）当，且时，由（1）可知，且，
则四边形是矩形，
可将四棱锥补成一个长、宽、高分别为、、的长方体，
体对角线长度为，
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，
所以四棱锥有外接球，且该外接球半径为，表面积为.
（3）如图所示，过点在平面内作，垂足为点，
过点在平面内作，垂足为点，连接．
因为平面，平面，所以平面平面，
而平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，、平面，所以平面，
因为平面，故，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
因为，，，则，
在中由等面积法可得，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，故为等腰直角三角形，且，
因为，故为等腰直角三角形，所以，
故，因此二面角的正切值为.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）利用余弦定理可求得的值，可求得的长，结合勾股定理可得出，由平面可得出，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立；
（2）利用台体体积公式求出的长，取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，结合二面角的定义可知即为平面与平面的夹角，计算出、的长，即可求出的余弦值，即为所求.
（1）在等腰梯形中，，由等腰梯形的几何性质可知，
所以，，
因为，
由余弦定理可得，
即，可得，
故，所以，故，
又因为平面，平面，故，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）设，由（1）可知，且，
故，则，
所以，
，
易知梯形梯形，且相似比为，
故，
由题可知棱台的体积为，解得.
取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，如下图所示：
因为，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
故即为平面与平面的夹角.
由等腰梯形的几何性质可知，，
因为，所以，
因为，故，
因为，所以，故，，
所以，
因为平面，平面，所以，
故，所以，
又因为，故，
因为平面，平面，所以，
则，
所以.
因此，平面与平面的夹角的余弦值为.
19．(1)证明见解析
(2)2
（1）根据已知，结合线面垂直判定定理证明平面，然后由线面垂直性质可证；
（2）通过证明平面平面，判断，然后作出二面角的平面角，根据定义求解可得.
（1）连接，在正四棱柱中，平面
因为平面，所以.
因为，又因为，，平面
所以平面.因为平面，所以
因为，，，平面
所以平面.因为平面，所以.
（2）因为，平面，面
所以平面.
因为，，平面
所以平面平面
记四边形，的对角线交点分别为，.
因为平面平面，平面平面
平面平面，所以.
设与交于，则为的中点，为的中点，所以.
作于，于，
则平面，.
所以为二面角的平面角.
由，，得，
所以，即二面角的正切值为2.
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