立体几何--外接球形构造问题 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何--外接球形构造问题 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
4．在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面四边形中，与交于点，且，，，剪去，将沿翻折，沿翻折，使点与点重合于点，则翻折后的三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（ ）
A．2 B． C． D．4
8．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图甲，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．如图，在正四棱台中，，，与平面夹角的正弦值为，为上一点，则下列说法正确的是（该四棱台内切球不一定与所有的面都相切，以半径最大时且相切面数最多的球体为内切球）（ ）
A．该几何体的体积为
B．存在点，使得
C．该四棱台外接球与内切球的体积之比为
D．存在点，使得平面平面
13．如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（ ）
A．该水杯侧面积为 B．该水杯里牛奶的体积为
C．放入的椰果半径为 D．该水杯外接球的表面积为
三、填空题
14．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为 ．
15．四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
16．在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 .
四、解答题
17．如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．
(1)若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；
(2)若，，，求四面体外接球的表面积．
18．如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S.
(1)求证：；
(2)当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积；
(3)，若，设直线与平面所成角为，求的最大值.
19．如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求四面体外接球的体积；
(3)求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A A C C D A D
题号 11 12 13
答案 A AB BCD
1．D
设，求出三棱锥的体积，又三棱锥的外接球等价于棱长为的正方体的外接球，求出球的表面积，等于三棱锥的体积求出，根据点到平面的距离即为可得答案.
由三棱锥为正三棱锥，且其侧面均为直角三角形，
则其各侧面均为等腰直角三角形，设，
则，故该三棱锥的体积，
又该三棱锥的外接球等价于棱长为的正方体的外接球，
故外接球的半径，
则球的表面积，则有，
解得，
则点到平面的距离即为.
故选：D.
2．B
根据给定条件，将三棱锥补形成长方体，利用长方体与该三棱锥的相同的外接球求解.
设棱的中点分别为，连接，
构造长方体，则长方体外接球的表面积
即为三棱锥外接球的表面积．依题意，，
设长方体外接球的半径为R，则，
所以其外接球的表面积．
故选：B
3．C
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.
由，，平面，，
所以平面．
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，
由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记的外心为，由为边长为的等边三角形，可得．
又，故在中，，
即三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积．
故选：C
4．A
根据余弦定理和正弦定理可得外接圆半径，结合三棱锥的性质得外接球的半径，可解.
设外接圆半径为，
在中，由余弦定理，，
即，整理得，
所以，故
由正弦定理得，所以，
三棱锥的外接球的半径
三棱锥的外接球的表面积的最小值为.
故选：A．
5．A
将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解.
将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球，
设该外接球的球心为，半径为R，
正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长，
正方体的棱长为，
正方体外接球的半径满足，
解得，为棱BC的中点，
过点作其外接球的截面，
当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，
此时为截面圆心，球心到截面的距离，
由截面的性质可得截面半径，
故截面面积的最小值为．
故选：
6．C
根据给定条件，可得两两垂直，再补形成长方体，借助长方体求出球的表面积.
依题意，在三棱锥中，，
因此三棱锥可以补形成以为共点三条棱的长方体，
该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设球半径为，
则，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：C
7．C
把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此求得，即得，作，垂足为，连接，是二面角的平面角，，从而可得，即得，再由体积公式可得结论．
∵PA，PB，PC两两垂直，所以可以把三棱锥补成一个长方体，如图，是该长方体同一顶点处的三条棱，
长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，
由得，
所以，
作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，同理，
又，平面，所以平面，
而平面，所以，
所以是二面角的平面角，所以，
由得，而，
又，
所以，所以，
，
故选：C．
8．D
构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可.
根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为，
易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
则，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D.
9．A
将四棱锥补成正方体，计算正方体的外接球半径即可得到结果.
如图，将四棱锥补成正方体，正方体体对角线长为，
则四棱锥的外接球为正方体的外接球，外接球半径为，
所以四棱锥的外接球表面积为.
故选：A.
10．D
将三棱锥补成一个长方体，由三棱锥的外接球即为长方体的外接球求解.
解：由题意可得，，，且，，，
所以三棱锥可补成一个长方体，
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
如图所示：
设长方体的外接球的半径为R，可得，
所以外接球的体积为.
故选：D.
11．A
设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案．
设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为，
由题设底面的外接圆半径，则
所以正四面体的高为，
其体积为，
设正四面体内切球球心为，半径为，
解得：，所以，解得：，
将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，
此时即为能装下正四面体的最小正方体，
正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以，
体积为，设正四面体的外接球半径为，
则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为，
所以，所以外接球的体积为，
.
故选：A.
12．AB
对于A，根据正四棱台的性质可求高，从而可求体积；对于BD，利用向量法可求判断的存在性，对于C，就球与不同的面相切的情形讨论球的半径的范围或取值，从而可判断其正误.
对于A，连接、，分别过点、作平面的投影，
垂足分别为、，则.
而，，
由正四棱台的性质可得，且为正四棱台的高，
而，，
故，故A正确.
对于BD，
以底面中心为原点，以平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴，
以过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，则，，
故，
若存在点，使得，则， 故，故B正确.
又，而
设平面的法向量为，则，
取，
设平面的法向量为，则，
取，，
故不垂直，故平面、平面不垂直，故D错误.
对于C，连接，则外接球的半径即为外接圆的半径，
因为与平面夹角的正弦值为且该夹角为锐角，故其余弦值为，
由余弦定理得，
由正弦定理得.
若内切球与平面、平面、平面相切，
则该内切球的直径不超过正四棱台的高，
同理若内切球与平面、平面、平面相切，
则该内切球的直径也不超过正四棱台的高，
同理若内切球与平面、平面、平面相切，
则该内切球的直径也不超过正四棱台的高，
若球与平面、平面相切，
取球心为上下底面中心连线的中点，
而，取的中点为，的中点为，连接，，，
由正四棱台可得，，，，
而平面，故平面，
而平面，故平面平面，
过作，因为平面平面，平面，
故平面.
又，而，
故，故，
故当球与平面、平面相切，球不与侧面相切，
故此时与上下底面相切的球即为内切球，
故体积之比，故C错误.
故选：AB.
13．BCD
根据圆台的侧面积公式即可求解A，根据圆台的体积公式即可求解B，结合球的体积即可求解C,利用勾股定理求解半径，即可根据表面积公式求解D.
由题意可知圆台的上底面圆半径为，下底面圆半径，圆台的高，
设圆台的母线为，则，
故圆台的侧面积为，故A错误，
牛奶面所在的圆的半径为，
故水杯中牛奶的体积为，故B正确，
水杯的体积为,
故37个小球的体积为，
设小球的半径为，进而,解得，故C正确，
设水杯的外接球的球心到上底面的距离为,则，解得，
故外接球的半径为，故其表面积为，故D正确，
故选：BCD
14．
利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再应用体积公式计算求解.
如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，
则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥 的外接球的半径为，
三棱锥 的外接球的表面积为，，，
，，解得，
.
故答案为：.
15．
由题意可作图，将符合题意的四面体放在正四棱柱中，利用分割法，根据四棱柱与三棱锥的体积公式，可得空一的答案；根据正四棱柱的外接球，结合球的表面公式，可得空二的答案.
不妨设四面体为，，，，
可将四面体放置在长方体中，如图所示:

设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，，，
则四面体的体积，
该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则，
所以球的表面积为.
故答案为：；.
16．
由条件，三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，所以将三棱锥补成正方体，正方体的外接球即为三棱锥的外接球，进而求得半径即可求解.
由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，
将三棱锥补成正方体，棱长为1，
则该正方体的外接球的直径为，
即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为，
则球O的表面积为.
故答案为：.
17．(1)，
(2)
（1）依题意可得为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，即可求出其表面积，利用割补法求出其体积；
（2）依题意长方体的外接球即为此四面体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的表面积．
（1）若四面体各棱长均为，
则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，
所以，
；
（2）由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，
所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，
设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，
则，解得，
设长方体外接球的半径为，则，则，
所以外接球的表面积为．
18．(1)证明见详解
(2)
(3)
（1）由题可知，根据线面垂直的判定即可证明平面，继而得到；
（2）根据题意可得两两垂直，三棱锥可放入以为边的长方体中，长方体体对角线就是其外接球直径，求出体对角线长即可得到外接圆面积；
（3）利用等体积法可得点到平面的距离为，根据线面角的定义可得，再利用函数的单调性求最值即可.
（1）在正方形ABCD中,,
所以翻折后，又平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）在正方形ABCD中，，翻折后，
又，所以两两垂直，
三棱锥可放入以为边的长方体中，
所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为
，
即外接球半径，表面积
三棱锥SDEF的外接球的表面积.
（3）设，设点到平面的距离为，
则，
，，
则，
，
又由（1）知平面，所以，
，解得，
又直线与平面所成角为，
所以，
又因为，当，即时取等，
所以在单调递减，即，
则，
所以的最大值为.
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
(1)利用勾股定理证明一个线线垂直，再利用一个已知的垂直关系，即可证明线面垂直；
(2)利用线面垂直可得线线垂直，再证明平面，从而可得直角四面体，利用补形法求外接球半径，即可求出体积；
(3)利用换底面建立空间直角坐标系，把所求的线段长设为参数，结合已知数据表示各点坐标，通过法向量夹角余弦值的绝对值为，建立相等关系求解即可.
（1）由，，，可得：，
则由勾股定理得：，又，，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
则四面体满足平面，，
因此这个四面体可以放在一个长方体里，
所以外接球的直径就是该长方体的体对角线，
因为，所以外接球的半径，
即该外接球的体积，
（3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
由于平面，，，,
设，则，
即，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为二面角的大小为，
所以，解得
故
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