立体几何-线面角与二面角的综合 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何-线面角与二面角的综合 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 在矩形 中， ， 现将 沿 折起 至 ， 使二面角 的平面角为锐角， 设直线 与 直线 所成的角为 ， 直线 与平面 所成的角为 与平面 所成的角为 ， 则（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（ ）

A．线段的长是点到平面的距离
B．线段的长是点到直线的距离
C．是二面角的一个平面角
D．是直线与平面所成角
4．如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．与平面所成角为60°
C．为等边三角形
D．二面角的平面角的正切值是
5．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则（ ）
A．圆锥的高为 B．圆锥的侧面积为
C．二面角的大小为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为
7．已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（ ）
A．平面与平面的夹角为
B．球的体积为
C．的最小值为
D．与平面所成角度数的最大值为
二、多选题
9．在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（ ）
A．正三棱台的高为
B．正三棱台的体积为
C．AD与平面ABC所成角的正切值为1
D．正三棱台的表面积为
10．如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．所成的角为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．二面角的余弦值为
11．已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ）
A．是钝角三角形
B．直线与平面所成角为定值
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的外接球的表面积为
12．在正方体中，下列说法正确的是 （ ）
A．异面直线与所成的角为
B．直线与底面所成的角为
C．直线与垂直
D．二面角 大小为
13．须弥座是一种古建筑的基座形式，又名“金刚座”，通常用于宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座部分，由多层不同形状的构件组成，具有很高的艺术价值.如图所示，某古建筑的须弥座最下层为正六棱台形状，该正六棱台的上底面边长为3，下底面边长为4，侧面积为，则（ ）

A．该正六棱台的高为
B．该正六棱台的侧面与下底面的夹角为
C．该正六棱台的侧棱与下底面所成角的正弦值为
D．该正六棱台的体积为
14．已知正四棱台 中，，侧棱与平面所成的角为，记该正四棱台的表面积为，体积为，则（ ）
A．
B．
C．二面角为
D．正四棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为
15．在矩形中，，，将沿折叠至，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的最大值为
B．存在点，使得
C．当时，二面角的大小为
D．当平面平面时，三棱锥的外接球被平面所截得到的截面图形的面积为
三、填空题
16．已知正三棱锥的侧面与底面所成二面角为 ，且，则侧棱和底面所成角的正切值为 .
17．如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论：
①当与重合时，五面体的体积为；
②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变；
③存在、，使得；
④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为 ．
四、解答题
18．如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置.
(1)证明：；
(2)若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，在三棱锥中，平面PBC，平面平面ABC．
(1)证明：；
(2)若，PC与平面PAB所成角的正切值为，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B C C A D BCD ACD
题号 11 12 13 14 15
答案 ABD ACD BCD ABD AD
1．B
【分析】设直线的交点为，过直线上异于点的一点作平面的垂线，设垂足为，过点作，垂足为，连接，由已知可得，，
根据平面与平面夹角定义可得由确定的平面与平面夹角为，解三角形求夹角大小.
【详解】设直线的交点为，过直线上异于点的一点作平面的垂线，设垂足为，过点作，垂足为，连接，如图：
因为，所以为直线在平面内的投影，
所以直线与平面所成角为，
由已知，，
因为，，
所以，又，，平面，
所以直线平面，又平面，
所以，即，
所以由确定的平面与平面夹角为,
在中，，
在中，，即，
在中，，即，
所以，
又，，
所以，所以，
又，所以，
所以由确定的平面与平面夹角的大小为.
故选：B.

2．B
【分析】本题考查动态立体几何中的线线角、线面角、二面角的大小比较问题， 可采用特殊位置排除法， 本题中因为 ， 所以 与平面 所成的角等于二面角 的平面角， 进而二面角与线面角可相互转换.
【详解】由最小角定理有 ，
因为 ， 所以 与平面 所成的角等于二面角 的平面角（锐角）， （后附证明①）
而 与平面 所成的角小于 （最小角定理）， 二面角 的平面角大于 （最大角定理），
所以 ，
由 及 ，可得点到平面的距离等于点到平面的距离，
则 与平面 所成的角等于与平面所成的角，
所以 二面角 .（最大角定理），
因，与①同理可得 与平面 所成的角等于二面角 的平面角（锐角），
则.
综上，.
附证明：① 如图，，，，下证：与所成的平面角为的平面角.

作，垂足为点，连结，则即直线与所成的角，
因为，所以，且，，平面，
所以平面，平面，所以，故即二面角的平面角，
所以与所成的平面角为的平面角.
故选： B.
3．C
【分析】利用点到平面距离的定义可判断A选项；推导出，可判断B选项；利用二面角的定义可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为平面，所以，线段的长是点到平面的距离，A对；
对于B选项，因为平面，平面，所以，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，所以线段的长是点到直线的距离，B对；
对于C选项，因为，，
所以，是二面角的一个平面角，C错；
对于D选项，因为平面，所以，是直线与平面所成角，D对.
故选：C.
4．B
【分析】连接,交点为,证明平面，由线面垂直的性质即可判断A，证明平面，即得与平面所成角即，即可判断B，通过边长计算可判断C，取的中点，连接，证明为二面角的平面角，计算即可判断D.
【详解】
如图，在左图中，连接,交点为,则易得.
对于A，翻折后图中，,
因平面，故得平面，
又平面,故得，即A正确；
对于B，因二面角是直二面角，平面平面, ,
则平面,则与平面所成角即,
因,则，故B错误；
对于C，设正方形的边长为2，则,则,
即为等边三角形，故C正确；
对于D，如图，取的中点，连接，由B项，已得平面，
因平面，则，又，,则，
因平面，故平面,
因平面,则,即为二面角的平面角.
设正方形的边长为2，则, ，
故二面角的平面角的正切值是，即D正确.
故选：B.
5．C
【分析】做出图象，设底面边长为，求出侧棱长和高，从而求出斜高，再求出二面角的余弦值.
【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面，
即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角，
设底面边长为，则，
因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，所以，
则，即，所以，
所以，
所以，
所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为.
故选：C．
6．C
【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的侧面积公式可判断B选项；利用二面角的定义，找到二面角的平面角，再解三角形求解可得C选项；根据展开前后图形联系，利用扇形的弧长公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则，
所以与圆锥底面所成的角为，
又，所以的面积为，解得，即母线长，
所以该圆锥的高为，故A错误；
对于B选项，该圆锥的底面半径为，
母线长， 故该圆锥的侧面积为，故B错误；
对于C选项，取的中点，连接，
因为，为的中点，则，由垂径定理可得，
所以二面角的平面角为，
因为平面，平面，则，
因为，，则为等腰直角三角形，
则，所以，
所以，，
因为，故，即二面角的大小为，故C正确.
对于D选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为，
底面圆周长为，则，故D错误.
故选：C.
7．A
【分析】把直线和平面放置在锥体中，然后利用异面直角夹角定义，结合三余弦定理及余弦函数的单调性得，根据二面角平面角的定义，结合最大角定理及正弦函数单调性得，即可得解.
【详解】如图，设斜线为直线，平面为平面，且，
由图可知，当恰为时，此时与的夹角为；
当为时，，
由于，知，
故由在上单调递减得，知.综上可知；
由于，故是二面角所成角，即，，
由于，则，
故由在上单调递增得，即，可知.
故选：A
8．D
【分析】利用几何法求二面角可判断；根据外接球的性质，及球的体积公式计算可判断；利用面面垂直的判定定理及性质定理结合题意计算可判断；利用几何法求线面角可判断.
【详解】
对于：取中点为，连接，则，
所以平面与平面的夹角为，
因为，所以，，
又高为，所以，
所以，即平面与平面的夹角为.故错误；
对于：，所以点到各个顶点的距离都为，
所以点即为正四棱台的外接球的球心，
所以球的半径为，所以球的体积为，故错误；
对于：易得平面，且平面，
所以平面平面，
连接，交于点，连接，则四边形为菱形，
所以，，又平面，
平面平面，
所以平面，连接，
因为平面，所以，
所以，所以，
当且仅当点与重合时等号成立，故错误；
对于：因为平面，垂足为，
平面，所以为直线到平面的距离，
所以点到平面的距离为，
设直线与平面所成角为，则，
因为，所以，
当且仅当点与重合时等号成立，
所以与平面所成角度数的最大值为，故正确.
故选：
9．BCD
【分析】将正棱台补全为一个正棱锥，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱与底面夹角正切值，根据比例关系求表面积.
【详解】将正棱台补全为一个正棱锥，如下图示，
其中分别为上下底面的中心，为的中点，
易知，则为等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角，
所以，且，
则，，，
根据棱台上下底面相似，知，即，
故，A错；
由，，
所以，B对；
由图知：为与平面所成角，则，C对；
因为的面积为，的面积为，
所以正三棱台的表面积为，故D正确；
故选：BCD.
10．ACD
【分析】对A：通过证明//，即可由线线平行证明线面平行；对B：通过证明面，即可求得的夹角为；对C：记，根据B中所证面，从而求得线面角为，再结合几何关系，即可求得线面角；
对D：先求二面角，结合二面角平面角的定义，再根据其与互补，即可求得结果.
【详解】对A：在△中，因为分别为的中点，故//，
又面面，故//面，故A正确；
对B：因为△为等腰直角三角形，又为中点，故可得；
又//，故；
又面面，故；
又面，故面；
又面，故，故直线所成的角为，故B错误；
对C：记，连接，如下所示：
由B可知，面，故即为所求直线与平面的夹角；
在△中，；
因为面面，故，
则，；
在△中，因为面，面，故，
则△为直角三角形，
故，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；
对D：连接，如下所示：
由图可知，二面角的平面角和的平面角互补，故先求二面角；
由B可知，面，又面，故，
则即为二面角的平面角；
在直角三角形中，，
故，故二面角的余弦值为，
则二面角的余弦值为，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】根据题意可得固定平面，求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得，即A正确，利用线面角定义作出其平面角可得B正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可判断C错误，求得三棱锥的外接球的球心位置和半径即可求得D正确.
【详解】如下图所示：
易知，由可得；
固定平面，由二面角的大小为可知为一个与平面夹角为的平面与的交点（在的右侧），
如图中过平面的虚线形成的劣弧所示：
取的中点为，作平面，则有，
又易知，
如下图所示：
在劣弧上运动，
对于A，易知，因此可得是钝角三角形，即A正确；
对于B，设直线与平面所成的角为，
则，为定值，即B正确；
对于C，作，
易知三棱锥的体积的最大值为
，即C错误；
对于D，设三棱锥的外接球的球心为，如下图：
由于是的外心，则平面，因此三点共线，
设，
在中由勾股定理可得，解得；
因此三棱锥的外接球的表面积为，即D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面，再根据二面角大小求得线段长度得出点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可.
12．ACD
【分析】应用线线平行得出异面直线所成角判定A，应用线面角定义计算判断B，先证明线面垂直得出线线垂直判断C，根据二面角定义计算判断D.
【详解】对于A，连接，
因为，所以是平行四边形，则
是异面直线与 所成的角，
，是等边三角形，
异面直线 与所成的角为，故A正确；
对于B，底面，直线 与底面所成的角为，
，故B错误；
对于C，连接，
平面，
平面，平面，，故C正确；
对于D，平面，是二面角 的平面角，
二面角 大小为 ，故D正确.
故选：ACD.

13．BCD
【分析】先求出侧面梯形的高进而求解正六棱台的高判断A，利用正棱台的特征及二面角的概念在直角梯形中求解判断B，根据线面角的概念在直角梯形中求解判断C，根据棱台的体积公式求解判断D.
【详解】如图，分别是上,下底面中心，分别是棱中点，

对于A，由已知可得每个侧面等腰梯形的面积为，
所以梯形的高为，
由此可得该正六棱台的高为，错误；
对于B，由正棱台的性质及二面角的概念可知，侧面与下底面的夹角为，
因为在直角梯形中，，，所以，
易知为锐角，所以，正确；
对于C，由正棱台的性质及二面角的概念可知，侧棱与下底面所成角为，
在直角梯形中，，得，
所以，正确；
对于D，该棱台上底面面积，下底面面积，
故棱台的体积为，正确.
故选：BCD
14．ABD
【分析】设正方形、正方形的中心分别为，；设边，的中点分别为，，证明四边形为等腰梯形，过作，证明平面，，由此可得，，，再求正四棱台的表面积为，体积为，判断AB，证明是二面角的平面角，解三角形求其大小，判断C，确定球心位置及球的半径，结合球的表面积公式求外接球的表面积，判断D.
【详解】如图，设正方形、正方形的中心分别为，；
设边，的中点分别为，，
连接，，，，，，；
因为相交，所以四点共面，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，又，，，
所以四边形为等腰梯形，
过作，则，又平面，
所以平面，故侧棱与平面所成的角为，
由已知，
在中，，，
所以，，，
因为，，，
又平面，平面，所以，
所以四边形为直角梯形，过作，
则为直角三角形，为直角，，，
所以，
对于A，可得，
所以，故A正确；
对于B，由于，
得，故B正确；
对于C，由于，，所以是二面角的平面角，
在中，，故C错误；
对于D，设，又，，，
若点在平面的上方，则，，与矛盾，
所以，由得，，解得，
故点在该正四棱台的外部，即球的半径为，
所以，故D正确，
故选：ABD．
15．AD
【分析】A项，当平面平面时，求解即可；B项，通过假设成立，给出矛盾即可；C项，作垂直于，垂直于，由进行两边平方求解；D项，求出截面圆的半径进行求解．
【详解】对于A，设点到平面的距离为,记直线与平面所成角为,
得,
要使直线与平面所成角取得最大,则取最大,
即当平面平面时，取最大,此时,
得，而，得，故A正确；
对于B，若假设存在点，使得，
而，平面，
得平面，平面，
得，而，显然得不到，故假设不成立，
故不存在满足题意的点，B错误；
对于C，作垂直于，垂直于，
如图所示：
则，，
∴，
设二面角的大小为，
则
，
得，而，得，C错误；
对于D，当平面平面时，，
由余弦定理，，
得，
∴，
设为的中点，易知为三棱锥的外接球球心，半径为1，
由等体积法可知，到平面的距离为，
∴截面面积为，D正确．
故选:AD．
16．
【分析】设的中心为，连接、并延长交于点，连接，即可得到为侧面与底面所成二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，再由及锐角三角函数计算可得.
【详解】如图，设的中心为，连接、并延长交于点，连接，
因为为正三棱锥，所以平面，为的中点，，
又，所以，又，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，
即，又平面，所以为侧棱与底面所成的角，
所以，即侧棱和底面所成角的正切值为.
故答案为：
17．①②④
【分析】利用锥体和柱体的体积公式可判断①；利用线面角的定义可判断②；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断③；取点为的中点，利用空间向量法可判断④.
【详解】对于①，当与重合时，
，①对；
对于②，过点作分别交、于点、，连接、，
过点作分别交、于点、，连接、，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，，则，且，故平面，
因为平面，平面，则，
又因为，，、平面，故平面，
故，同理可得，
所以，为定值，②对；
对于③，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、，设点，则，
则，，
所以，，
故不存在、，使得，③错；
对于④，不妨取点，则点，则、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
故底面与平面夹角的余弦值为，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
所以，，
即底面与平面所成夹角的余弦值为，
同理可知，底面与平面所成夹角的余弦值为，
此时，点为棱的中点，则平面平面，
则底面与平面夹角的余弦值为，④对.
故答案为：①②④.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，由题设求证和即可由线面垂直判定定理求证平面，进而得证；
（2）由题设结合（1）建立适当的空间直角坐标系，接着由题设和二面角定义依次求出所需点和向量坐标，进而求出平面的一个法向量，再由线面角的向量法公式计算即可求解.
【详解】（1）连接交于点，连接，
由题可得，且，所以为的中点，
在中，，所以，同理，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）由（1）可以点为坐标原点，以，方向和垂直于平面向上的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题可知为等腰梯形，且，可得，
由（1）可知，为二面角二面角的平面角，
所以，从而，
因为，所以点到平面的距离为，
则有，，，，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
则有，令，则，
设直线与平面所成角为，
则有，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）过点P作，垂足为O，由面面垂直、线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判定、性质证明结论；
（2）由（1）知PC与平面PAB所成角等于，根据已知求出相关线段的长度，法一：构建合适的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，应用向量法求夹角余弦值，进而求正弦值；法二：过点O作，垂足为D，连接PD，根据定义得到二面角的平面角为，进而求其正弦值.
【详解】（1）过点P作，垂足为O，
因为平面平面ABC，平面平面平面，
所以平面ABC，平面ABC，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
又平面PAB，所以平面PAB．
因为平面PAB，所以．
（2）由平面PAB，则PC与平面PAB所成角等于，
，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以，
因为，由（1）知，
∴，，
法一：如图，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面APC的一个法向量为，则，
令，则，做，
易知平面ABC的一个法向量为．
．
设平面PAC与平面ABC夹角为，则，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
法二：过点O作，垂足为D，连接PD，
因为，所以平面POD，
由平面POD，所以，所以二面角的平面角为，
因为平面PBC，平面PBC，则，
所以，
因为平面ABC，在直角三角形POD中，，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值为．
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