立体几何--组合体的内切 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何--组合体的内切 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为，若再往容器中放入一个半径为的实心铁球，则此时水面的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ）
A．0 B． C． D．
8．如图，球与圆锥相切，切点在圆锥PO的底面圆周上，圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，设球的体积为，圆锥PO的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、多选题
11．如图，棱长为2的正方体的内切球为球，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（ ）

A．对于任意点，平面
B．直线被球截得的弦长为
C．过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D．当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面的面积为
12．半径为3的球上相异三点，，构成边长为3的等边三角形，点为球上一动点，则当三棱锥的体积最大时（ ）
A．三棱锥的体积为
B．三棱锥的内切球半径为
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球半径为3
三、填空题
13．一个底面直径与高相等的封闭圆柱型容器（容器壁厚度忽略不计）内有半径相等的铁球，若同在圆柱的轴截面内且圆柱底面半径为，则小球的体积最大值为 ．
14．已知某圆锥的母线与底面所成角为，其内切球的表面积为，则该圆锥的外接球的体积为 .
15．已知半径为1的球内切于上、下底面半径分别为，的圆台，若，则圆台表面积的最小值为 .
16．如图，揽月阁是现今留存的反映我国古代文化的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台.现有一个揽月阁模型，下底面边长为，其内切球的体积为，则其外接球的表面积为 .
17．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .

18．已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为 .
四、解答题
19．如图，三棱锥中，平面，平面平面，，，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上试确定一点，使得平面，经过三棱锥内切球的球心，并求的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B C B B A A C
题号 11 12
答案 BC BCD
1．A
先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积.
设圆锥的内切球的半径为，则，所以.
又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，
圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积.
故选：A.
2．A
设底面圆半径，圆锥内切球半径为，利用弧长公式求出和高线的长，结合圆锥的轴截面面积列出方程，求解即得.
如图，设圆锥的底面圆半径，则，
解得 ，于是圆锥的高.
设该圆锥内切球的球心为点，由对称性可知点在高线上，
设该圆锥内切球半径为，
因圆锥的轴截面为等腰三角形，故其面积为，
解得 .
故选： A
3．C
判断出水面会完全淹没铁球，求出圆柱底面积和球的体积，从而得到放入一个半径为的实心铁球后，水面上升的高度，得到答案.
圆柱底面半径为2，底面积为，
放入铁球后，水面会上升，球的直径为，故水面会完全淹没铁球，
半径为的实心铁球体积为，
故放入一个半径为的实心铁球后，水面上升的高度为，
故此时水面的高度为，
故选：C
4．B
根据多面体的体积与内切球的半径之间的关系，求内切球半径，进而利用球的体积公式求球的体积.
因为三棱锥的体积：，其中为三棱锥的表面积，为其内切球的半径.
所以.
所以这个三棱锥内切球的体积为：（）.
故选：B
5．C
由条件得到该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，结合图象，根据等面积法，求得内切球的半径，即可求解.
如图为圆锥及圆锥内半径最大球的轴截面图，球心为，设球半径为，则，，
则，所以，
，由等面积法，
可得，
故选：C.
6．B
作出圆锥的轴截面，得到内切圆均切于各边的中点，从而得到交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆，求出上部分圆锥与圆锥的体积之比，即可得解.
如图，作出圆锥的轴截面，设的内切圆的圆心为，
切、、于、、，
因为为等边三角形，所以、、分别为、、的中点，
设与交于点，的边长为，则，，，
则圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆，
所在的平面将圆锥分成上下两部分，此时上部分圆锥的底面半径为，高为，
又圆锥的底面半径为，高为，
所以上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，
所以所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为.
故选：B
7．B
由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解.
因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为,
则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为.
连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形，
在中，，
由得，，整理得，.
设内切球的半径为，中，，，
所以，所以四棱锥表面积为，
由，即，
∴，则的长为.
故选：B.
8．A
根据题意，结合圆锥与球的体积公式代入计算，即可得到结果.
如图，设切点为，连接，则，
因为圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，
设，，则，
所以，
由可得，即，
所以，所以，
所以，
在直角中，，
即球的半径为，所以，
所以.
故选：A
9．A
由扇形弧长的计算，可得圆锥底面半径，画组合图形的轴截面，利用三角形内切圆以及勾股定理，最后利用球表面积公式，可得答案.
由题意可知，圆锥的母线，底面周长，所以圆锥的底面半径，
根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如下：

根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，也即为等腰的内切圆，
即，，，，
在中，，由，，则，
在中，，即，
可得，解得，
所以内切球的表面积.
故选：A.
10．C
若正八面体的棱长为2，根据正八面体的结构特征易得外接球半径，应用等体积法求得内切球半径，最后由面积比为即可得.
若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且，
由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为，
则正八面体的体积，所以，
所以外接球与内切球的表面积之比为.
故选：C
11．BC
令与重合，利用特殊位置举反例证明A，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得两直线所成角，从而求得到直线的距离，即可求得直线被球截得的弦长判断B，确定过直线的平面截球的所有截面圆中，半径最小的圆为以直线被球截得的弦长为为直径的圆，从而求得圆的面积判断C，确定当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用正弦定理的面积公式判断D.
对于A：因为在棱上移动，当与重合时，平面即平面，
因为在直线上，所以平面，所以与平面平面相交，A说法错误；
对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，
则，，，
设直线与直线的夹角为，则，
所以，
连接，过作直线的垂线，垂足为，
则在中由解得，
设直线被球截得弦长为，则，B说法正确；
对于C，过直线的平面截球所得的所有截面圆半径最小时，垂直与于过的平面，
此时圆的半径，圆的面积为，C说法正确；
对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积，D说法错误；
故选：BC
12．BCD
由正弦定理和勾股定理得到棱锥的高，再由体积公式可得A错误；由等体积法可得B正确；由棱锥的体积公式可得C正确；由题意可得D正确.
对于A，设的中心为，
由正弦定理可得，
由球的截面性质可得平面，
所以，
所以三棱锥的体积为，故A错误；
对于B，设三棱锥的内切球半径为，
由等体积法可得，解得，故B正确；
对于C，当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，
此时棱锥的高为，
所以三棱锥的体积为，故C正确；
对于D，三棱锥的外接球即为球，所以半径为3，故D正确.
故选：BCD
13．
根据小球体积最大可得三球的分布，再根据三球球心构成的等腰三角形结合圆柱底面半径可求小球半径，从而可得小球体积的最大值.
根据题意，如图三球与圆柱的轴截面，当球分别与圆柱上下底面及侧面相切，
且球、、C相互相切，此时球的体积最大，作出圆柱的轴截面图，连接，
过A作，垂足为，且与轴截面底面直径平行，设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，

根据题意可得：，
在三角形中，由，
即，
故球的体积最大为．
故答案为：．
14．
由题意可知，圆锥的轴截面PAB是一个顶角为的等腰三角形，设内切球球心为O，半径为，连接AO，由内切球的表面积可求出，在中求出，从而可求出，由圆锥的结构特征可知，其轴截面的外接圆的半径等于该圆锥外接球的半径，利用正弦定理可求出，进而可求出该圆锥的外接球的体积
如图，由题意可知，圆锥的轴截面PAB是一个顶角为的等腰三角形，
设内切球球心为O，半径为，连接AO，则，
由，得，即，
又，
在中，，所以，所以，
所以，
由圆锥的结构特征可知，其轴截面的外接圆的半径等于该圆锥外接球的半径，
则，则，
所以该圆堆的外接球的体积.
故答案为：
15．
由几何关系确定，再列出圆台的表面积公式，构造函数，利用导数求函数的最值.
作出圆台与内切球的轴截面如图，过作于点，易得，
，，
则，则，同理得，
则在中，，解得，
因为，所以，所以圆台的表面积，
设，
所以，所以，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以当且仅当时，取得最小值为.
故答案为：
16．
作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解.
正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得，
取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆，
则四边形是等腰梯形，，而，
，整理得，而，则，
设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则，
令分别为正四棱台上下底面的中心，则，，
，，
当球心在线段时，，解得，球的表面积为；
当球心在线段的延长线时，，无解，
所以所求外接球表面积是.
故答案为：
关键点点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.
17．
根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积.
如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为，
连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高，
∴，
∴小球的体积为：，
故答案为：.
18．
由条件根据球的表面积公式求出球的半径，作圆台的轴截面，结合条件解三角形求出圆台的上下底面半径和高，结合圆台体积公式求结论.
设圆台内切球的半径为，
由已知，所以，
作圆台的轴截面可得
由已知，，，
所以，
因为圆为等腰梯形的内切圆，所以，，，
所以，所以，又，
所以，
在中，，，，
所以，
因为，，，
所以，所以，又，
所以，
在中，，，，
所以，
所以圆台的底面圆的半径为，面积为，
底面圆的半径为，面积为，又圆台的高为，
所以圆台的体积，
故答案为：.
19．(1)
(2)点位于线段靠近点的三等分点处；2
（1）由线面垂直性质得，由面面垂直的性质可推证，再由线面垂直判定定理得平面，由此得三棱锥的高线，再由体积公式可求；
（2）建立空间直角坐标系，利用内切球心性质确定球的半径与球心坐标，再由四点共面，借助平面的法向量建立方程求解可得.
（1）平面，平面，
，，
在内过作，则异于，两点，
平面平面，且交线为，平面，
则平面，又平面，
，又，平面，
平面，设三棱锥的体积为，
故.
（2）由（1）平面，平面，则.
又平面，过点作平面的垂线，则.
如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
内切球与平面且与平面相切，设内切球半径为，
可设内切球球心为，又.
由，
所以有
解得，则，
设平面的法向量为，，
故，令，解得，
则为平面的一个法向量，
由内切球球心性质得球心到平面的距离等于半径，
由，
则，解得，或，
又，不合题意，故舍去，
所以，即球心.
设平面的一个法向量为，
又，，
故，令，解得，
则为平面的一个法向量.
若在线段上，则可设，，
若平面经过三棱锥内切球的球心，即四点共面，
则，故，解得，即，
故当点位于线段靠近点的三等分点处，
平面经过三棱锥内切球的球心，且.
关键点点睛：解决此题的关键法向量的两个重要应用，一是将内切球球心与平面相切的性质，转化为点面距等于半径求解；二是四点共面条件的转化，转化为平面的法向量.
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