立体几何--组合体的外接 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何--组合体的外接 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正三棱柱所有的顶点都在球的球面上，记球的体积为，正三棱柱的体积为，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
4．在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个沙漏模型正好放进一个棱长为2的正方体中，使得沙漏底面与正方体底面位于同一平面内，且其底面所在的圆是正方体底面的内切圆，则该沙漏的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．空间中有一正方体， 将点依次连接， 得到体积为 的三棱锥 ，则正方体的体积为（ ）
A． B．24 C． D．
7．如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
10．在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知棱长为4的正方体，球O是该正方体的内切球，E，F，P分别是棱，，的中点，M是正方形的中心，则（ ）
A．球O与该正方体的表面积之比为
B．直线与所成的角的正切值为
C．直线被球O截得的线段的长度为
D．球O的球面与平面的交线长为
三、填空题
12．如图，在长方体中，分别在棱上，且，则以为直径的球的表面积 ，该球与侧面的交线长为 ．
13．正三棱柱中，，若其六个顶点均在半径为的球面上，则此三棱柱的侧面积为 ．
14．已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为 ．
15．若圆锥内半径最大的球的表面积为，则圆锥的侧面积的最小值为 ．
16．已知在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上 下底面及母线均相切.过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球O的交线长为 .
17．已知正方体的棱长为，以为球心，为半径的球面与该正方体不含顶点的三个面的交线总长度为，则 .
四、解答题
18．如图，已知一个组合体由一个圆锥与一个圆柱构成（圆锥底面与圆柱上底面重合.平面为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.
(1)求这个组合体的体积
(2)设为半圆弧的中点，求到面的距离.
19．如图，某组合体是由正方体与正四棱锥组成，且．
(1)若该组合体的表面积为，求其体积；
(2)证明：平面
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D A D C C B D
题号 11
答案 ACD
1．A
由题意知圆台下底面为球的大圆，其圆心即为球心。根据球的截面性质可求出球心到上底面的距离，该距离即为圆台的高，再根据圆台的体积公式计算即可.
因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心，
下图为圆台外接球的轴截面，如图所示，
设球心为，圆台上底面圆心为，上底面半径为，
圆台下底面半径和球的半径为，圆台的高.
则由球的截面性质可知，
所以圆台的体积为.
故选：A
2．D
设出底面棱长和高，表示出，换元，利用导数求解新函数的最值，进而可得答案.
设正三棱柱的底面棱长为，高为，则；
由正三棱柱的性质可知球心位于上下底面中心连线的中点处，设半径为，
则，
所以,
.
令，则，代入上式可得.
令，则
，其中；
令得，当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以的最小值为，所以的最小值为.
故选：D
3．C
由外接球的体积公式可得其半径，然后作出圆锥及其外接球的轴截面，由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到底面圆的半径，再由圆锥的表面积公式代入计算，即可得到结果.
圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为，则外接球体积为，则，
即，
设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则，
由，解得，
则此圆锥的表面积为.
故选：C
4．D
将三棱锥补成长方体并建立空间直角坐标系，设、外接球半径为R，求出各点及球心坐标，分析截面圆的面积差从而求出h、R，代入球的表面积公式即可得解.
设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R，
以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
，
过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为，
最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为.
因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，
所以，解得，
则，外接球表面积为：.
故选：D
5．A
根据题意代入圆锥体积即可.
由题得沙漏的体积.
故选：A
6．D
利用正方体和锥体的体积公式即可求解.
由题意可得，三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥体积，
即
设正方体的边长为，则有，
所以正方体体积为，
故选：D.
7．C
根据条件可得出，即可求出体积.
连接，因为线段的中点，，则，
又为线段的中点，，，则，
则，
则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为.
故选：C
8．C

如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和锥体的体积．
9．B
分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
10．D
根据计算可得，求出外接圆半径，再结合勾股定理可求出外接球的半径.
设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为，
因为侧棱与底面所成的角为， 即，
在中，，，，
，，
正四棱锥体积为：,
因为，所以，
在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为，
设，根据球心到顶点距离相等可得，，
即，解得，所以，
所以.
故选：D
11．ACD
对A，根据正方体和球的表面积公式，计算判断；对B，取的中点，连接，，可得就是直线与所成角，求解；对C，连接，，取的中点，得到，求得，结合圆的弦长公式，可判定C正确；对D，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到平面恰好过球的球心，可求解判定.
对于A，因为球是正方体的内切球，所以球的半径，
正方体的表面积为，球的表面积为，
所以球与正方体的表面积之比为，故A正确；
对于B，因为是正方形的中心，所以，取的中点，
连接，，则，则就是直线与所成角，
平面，平面，又平面，
，，，则，
所以直线与所成角的正切值为，故B错误；
对于C，连接，，取的中点，连接，可得，
在中，，
又，可得，
所以直线被球截得的线段的长度为.故C正确；
对于D，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，得，
，
所以点到平面的距离为，
所以平面恰好过球的球心，
所以球的球面与平面的交线长为.故D正确.
故选：ACD.
12．
先确定球心位置，再结合题意得到球的半径，再求解球的半径解决第一空，先确定交线的轨迹，作出图形，再利用图形的几何性质求解第二空即可.
由题意可知以为直径的球的球心是长方体的中心，
则点到平面的距离，
由题中数据可得，
则球的半径．
如图，设在平面的投影为，则为正方形的中心，
设点在球与正方形的交线上，则，
故以为直径的球与正方形的交线是以为圆心，
为半径的圆在正方形内的曲线．
设圆与的一个交点为，作，垂足为，
则，所以，
所以以为直径的球与侧面的交线长为．
故答案为：；
关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定交线的轨迹并作出图形，然后利用图形的性质得到所要求的轨迹长度即可．
13．36
结合已知条件，利用正三棱柱外接球的性质和勾股定理求出棱长，进而计算三棱柱的侧面积.
如图，设为正三棱柱外接球的球心，为底面的中心，
连接，，，则平面，即正三棱柱外接球的半径.
设，则，由对称性可知，
在中，，即，得，故，
所以正三棱柱的侧面积．
故答案为：36.
14．
先利用正弦定理求得正三棱台上下底面所在圆面的半径，设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则，进而求出正三棱台的高，然后根据列方程求解球的半径，代入球的表面积公式即可得解．
如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则，
所以，．
设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，
则．
设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得，
所以或，
即或，
解得，所以三棱台的外接球的表面积为．

故答案为：
15．
作出图形，设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，内切球半径为R，利用的面积建立等式，得出关系式，表示出，利用基本不等式进行求解即可．
设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，内切球半径为R，轴截面为，

则，因为圆锥内半径最大的球的表面积为，
所以，解得，
所以的内切圆半径也为．
，
即，
化简，得，
由，得，所以圆锥的侧面积，
令，则，
当且仅当，
即时，等号成立，
所以圆锥的侧面积的最小值为，
故答案为：．
16．
【解析】先根据球与圆柱的上 下底面及母线均相切，可得四边形为正方形，由，求出球的半径 r;由题意分析出平面与球O的交线为一个圆，利用垂径定理，计算出圆的半径，求出周长即可.
设球的半径为r，则，而，∴ .
作于H,
∵⊥底面,∴⊥ AB
∵P为圆柱底面圆弧的中点，∴AP=BP
又为AB中点，∴⊥AB
又,∴
∴，
又且,∴
∵，，
∴
∴
∴
平面与球O的交线为一个圆，其半径
圆周长为.
故答案为：
（1）多面体的外接球（内切球）问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法；
（2）一个平面与球相交，所得的截面为一个圆.
17．1
根据正方体体对角线和面对角线的长度判断球面与正方体的交点位置，由球的截面性质求出截面圆的半径，利用弧长公式求解可得.
由，，有，
可知球仅与正方形，，表面相交，且交线长都相等.
设点在球与正方形的表面的交线上，
有，有，
可得点在以为圆心，为半径的圆上，
设该圆与正方形的交点分别为、（点在上，点在上）.
又由，可得，同理可得.
又由，可得，
所以每个表面上的圆弧所对的圆心角均为，则每个圆弧的长度为，
可得球面与该正方体表面的交线的长度为，
由已知，所以.
故答案为：.
18．(1)；
(2).
（1）利用圆锥、圆柱体积公式计算即可.
（2）先根据线面垂直的判定与性质可得的高为，再利用等体积法，根据求解即可.
（1）依题意，圆锥的底面圆半径为4，而其高为3，则圆锥的体积，
圆柱的底面圆半径为4，高为5，则圆柱的体积，
所以这个组合体的体积为.
（2）连接，由为半圆弧的中点，得，，
而平面，平面，则，，平面，
于是平面，显然圆锥与圆柱有共同的旋转轴，即点在平面内，
因此三棱锥的高为，且，
设到平面的距离为，由，得，
即，从而，
故到平面的距离为.
19．(1)
(2)证明见解析
（1）连接、交于点，连接，可知平面，设，则，取的中点，连接，计算出、，利用棱柱和锥体的表面积公式可求得的值，再利用锥体和柱体的体积公式可求得结果；
（2）利用线面平行的判断定理，即可证明.
（1）连接、交于点，连接，由正棱锥的性质可知平面，
设，则，，，
取的中点，连接，则，且，
所以，几何体的表面积为，
可得，
所以，该几何体的体积为.
（2）证明：因为，且，
所以四边形是平行四边形，
则，平面，平面，
所以平面
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