排列模型 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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排列模型 典型考点归纳 专项练
2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（ ）
A．243种 B．162种 C．72种 D．36种
2．一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
3．将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
4．将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变大.若将5填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ）
A．12 B．18 C．36 D．48
5．有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
6．中国古代中的“礼 乐 射 御 书 数”合称“六艺”.某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一次，讲座次序要求“礼”不排在第一也不排在最后，且“射”和“御”相邻，则不同的次序共有（ ）
A．288种 B．196种 C．96种 D．144种
7．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在第1位，且甲或乙在第4位的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．下列数中，与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
9．某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（ ）种不同的排法．
A．216 B．264 C．312 D．528
10．某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（ ）个人.
A． B． C． D．
11．某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
二、多选题
12．13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A～E，将这十三张牌随机排成一行，则下列说法正确的是（ ）
A．不同排列方式的种数不超过60亿种
B．五张字母牌互不相邻的概率为
C．在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为
D．对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，发生的概率为
13．下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 .
15．一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是 .
16．某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则 .
17．数字10在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10张，分别含有数字2至数字10，以及一张字母．为了计数的方便，两人约定字母代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一人所抽数字总和为10时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为 ．
四、解答题
18．有四个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，将这些小球随机排成一列.
(1)求标有数字2和4的小球不相邻的概率；
(2)一个排列中，若两个相邻小球上的数字之和为5，则称这两个小球为一组“友好球”.设表示排列中“友好球”的组数，求的分布列和数学期望.
19．（1）用1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的七位数，若1、3、5、7的顺序一定，则有多少个七位数符合条件？
（2）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有多少种（用数字作答）？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B C D A B D C
题号 11 12 13
答案 A BCD ACD
1．B
先安排甲乙有种方法，再安排其他三人，结合分步乘法计数原理即可得答案.
先安排甲、乙两人，有种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有（种）方法.
故选：B.
2．C
根据排列的意义结合排列数的计算，即可得答案.
由于4个数互不相同，故将这4个数全排列共有种排序方法，
而一个数阵有m行4列，要使任意两行的顺序都不相同，故m的值最大为24，
故选：C.
3．B
将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6，法一，利用间接法可求得总的方法数，法二，采用直接法求解，分甲、乙同组与不同组两种情况求解.
将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6
法一：用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法；
②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立，
注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由种选法，共有种选法.
而平均分组共有种方式，所以共有种选法.
法二：用直接法求解：
①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的；
②甲、乙不在同一组：那么1、2中至少有一位与乙一组，5、6中至少有一位与甲一组，
取该事件的反面，即：1、2均不与乙一组且5、6均不与甲一组，4人均分两组共有种分法，符合事件反面的只有356、124一种，所以共有=5种分法.
故选：B.
4．B
由题意可得9只能排在第三行第三列，1只能排在第一行第一列，2只能排第一行第二列或第二行第一列，8只能排第三行第二列或第二行第三列，再依次排剩余的数，即可得答案.
解：由题意可得9只能排在第三行第三列，1只能排在第一行第一列，
1 a b
c 5 d
e f 9
从而得2只能排在a,c处，
当c=2,e=3时，
1 a b
2 5 d
3 f 9
则a=4，且8只能排在f,d处，
当f=8时，只能是b=6,d=7；
当d=8时，则有b=6,f=7或b=7,f=6；
此时共3种排列法；
当c=2,e=4时，
1 a b
2 5 d
4 f 9
则a=3，且8只能排在f,d处，
当f=8时，只能是b=6,d=7；
当d=8时，则有b=6,f=7或b=7,f=6；
此时共3种排列法；
当c=2,e=6时，
1 a b
2 5 d
6 f 9
则a=3，b=4，且8只能排在f,d处，
当f=8时，只能是d=7；
当d=8时，只能是f=7，
此时共2种排列法；
当c=2,e=7时，
1 a b
2 5 d
7 f 9
则a=3，b=4，且8只能排在f,d处，
此时只能是f=8，d=6，
此时共1种排列法；
所以当c=2时，共有3+3+2+1=9种排法；
同理，当a=2时，也有9种排法；
故一共有9+9=18种排法.
故选：B.
5．C
本题可利用捆绑法，先将每对双胞胎看作一个整体，再对这些整体进行排列，即可得出结果.
将每对双胞胎孩子捆绑在一起，然后再排列，有种排法.
故选 ：C.
6．D
根据给定条件，“射”和“御”相邻用捆绑法，求出“礼”不排在第一也不排在最后的不同次序数，即可计算作答.
依题意，“礼”不排在第一也不排在最后，且“射”和“御”相邻的不同次序数为.
故选：D
7．A
根据给定条件，利用排列计数问题求出试验及所求概率的事件含有的基本事件数，进而求出古典概率.
甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有种不同方法，
其中丙不在第1位，且甲或乙在第4位的事件有种方法，
所以所求概率.
故选：A
8．B
利用排列数公式可逐项验证.
．对于选项A，．
对于选项B，．
对于选项C，．
对于选项D，．
故选：B．
9．D
根据给定条件，按小明和小刚坐在左、右分类，再利用排列、组合计数问题列式求解.
按照1－7的序号对座位进行编号，左侧编号1－4，右侧编号5－7，
若小明和小刚坐在左侧，则安排情况为，共3种排法，
小明和小刚可互换位置，小强排在右侧有3种排法，剩下的4人有种排法，
因此小明和小刚坐在左侧时共有种排法；
若小明和小刚坐在右侧，则安排情况为，共2种排法，小明和小刚可互换位置，
小强只有一种排法，剩下的4人有种排法，因此小明和小刚坐在右侧时共有种排法，
所以不同的排法共有种情况.
故选：D
10．C
利用分步计数原理及排列，先求得选取个人中生肖均不相同概率，再求出，即可求解.
已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况，
若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率，
要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即，
由于，即随n随n的增大而减小，
，，故至少要选个人，
故选：C.
11．A
对甲的位置分三种情况讨论，依次分析丙丁的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．
根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：
①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个，
考虑两者顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列,安排在其他三个位置，
有种安排方法，则此时有种编排方法；
②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个，
考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列，
安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；
③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个，
考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列，
安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；
则符合题意要求的编排方法有种；
故选：A.
12．BCD
对于选项A，利用排列数公式计算13张牌的全排列数，再与60亿比较大小；对于选项B，利用插空法计算五张字母牌互补相邻的排列数，再根据古典概型概率公式计算概率；对于选项C，利用定序问题的排列方法计算标有8的卡牌左侧没有数字牌的排列数，再根据古典概型概率公式计算概率；对于选项D，分析“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”这一事件的含义，进而判断其概率.
对于选项A，13张大小质地完全相同的卡牌进行全排列，根据排列数公式可得，不同排列方式的种数为亿，所以选项A错误；
对于选项B，先排8张数字牌，有种排法，8张数字牌排好后形成9个空，从这9个空中选5个空排5张字母牌，有种排法.根据分步乘法计数原理，五张字母牌互补相邻的排法共有种.
而13张牌的全排列数为种，所以五张字母牌互不相邻的概率为，所以选项B正确；
对于选项C，先排8张数字牌，由于在标有8的卡牌左侧没有数字牌，所以标有8的数字牌只能在所有数字牌的最左侧，其余标有1-7的数字牌有种排列方式，再将剩余的五张字母牌依次插入，有种排列方式. 根据分步乘法计数原理，在标有8的卡牌左侧没有数字牌的方法共有种.
而13张牌的全排列数为种，在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为，所以选项C正确；
对于选项D，对于给定的整数，事件 为“在标有的数字牌左侧，没有标号比小的数字牌”，不妨将标有1到这个数字的牌进行全排列，这个数字牌的全排列方式有种，而满足事件的情况，等价于在这个数字牌的排列中，这个数字牌排在最左侧，此时其余个数字牌可以任意排列，其排列方式有种.
根据古典概型概率公式，事件的概率为，所以选项D正确.
故选：BCD.
13．ACD
根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案.
根据题意，依次分析选项:
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
14．
依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论.
根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，
且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12；
总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法；
其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况；
当甲抽取的数字为；；；时，
乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种；
当甲抽取的数字为时，
若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种；
所以符合题意的排列总数为种，
而基本事件的总数为
可得所求概率为.
故答案为：
关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论.
15．
先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.
标有数字的4只球排序共有种情况.
要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：
①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况.
②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，
其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为.
故答案为：.
16．/
利用插空法求出事件的排法，再使用捆绑法和插空法求出事件的排法，利用条件概率公式计算得到.
由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有种排法，将高一年级2人进行插空，有种排法，
所以事件 “高一年级2人不相邻”的排法有种排法.
将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有种排法，
排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排法，所以事件共有种排法.
所以，.
故答案为：.
17．
由题抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应共5个数字，讨论的情况、、、依次求出对应满足要求的抽取情况数，结合排列数及古典概型的概率求法求概率.
由题设，抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应共5个数字，
由甲取三次纸牌即获胜，则不可能为10，不可能为10，且，，
由题意，的情况有、、、，
对于其中任意情况甲抽取数字的方式均有种，乙在余下的7个数字中选2个数字，
当由组成，若时有6种，若时，即从中选有种，此时满足题设的情况有种，
当由组成，若时有6种，若时，即从中选有种，此时满足题设的情况有种，
当由组成，若时有6种，若时，即从、中选有种，此时满足题设的情况有种，
当由组成，若时有6种，若时，即从、中选有种，此时满足题设的情况有种，
综上，满足要求的的情况有种，
又的所有情况有种，
所以甲取三次纸牌即获胜的概率为.
故答案为：
18．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为.
（1）利用插空法可求得2和4不相邻的事件总数，根据古典概型概率公式可求得结果；
（2）确定所有可能的取值，结合排列组合知识可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；利用数学期望计算公式计算可得期望.
（1）记“2和4的小球不相邻”为事件,
则，
所以2和4的小球不相邻的概率为.
（2）的所有可能取值为.
，，
的分布列如下：
0 1 2
数学期望.
19．（1）210；（2）40
（1）定序问题，利用倍缩除序法可得；
（2）5个元素无约束条件的全排列有种排法，再消去A，B，C不符合的排列顺序即可求解．
（1）若1，3，5，7的排列顺序，有(种)排法，
所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的，
所以共有个符合条件的七位数；
（2）5个元素无约束条件的全排列有种排法，
由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A，
因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法有种.
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