排列组合的综合问题 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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排列组合的综合问题 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（ ）种分配方案
A．90 B．120 C．150 D．240
2．在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
3．个车位分别停放了、、、、、，辆不同的车，现将所有车开出后再按、、、、、的次序停入这个车位，则在车停入了车原来的位置的条件下，停放结束后恰有辆车停在原来位置上的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．将5个大小相同，颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，恰好有2个空盒的放法共有（ ）
A．1500种 B．1800种 C．2340种 D．2400种
5．某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（ ）
A．624 B．528 C．312 D．264
6．2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（ ）
A．1800 B．16800 C．14280 D．25200
7．中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．84 D．116
9．子贡曰：“夫子温 良 恭 俭 让以得之”，“温 良 恭 俭 让”指五种品德：温和 善良 恭敬 节俭 谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ）
A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种
10．已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（ ）
A．15 B．19 C．21 D．23
二、多选题
11．某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（　　）
A．每人都只安排到一个社区的不同方法数为625
B．每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480
C．每人都只安排到一个社区，如果社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150
D．每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案的种数是126
12．甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行，旗手需要掌握擎旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为 ．
14．从0，1，2，…，9这10个数字中任选2个不同的数字组成个位数字比十位数字小的两位数，所有这些两位数组成一组数据，则这组数据的第80百分位数是 .
15．某学校在校庆晚会期间连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的宣传广告，要求最后播放的必须是宣传广告，且2个宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有 种.
16．唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
四、解答题
17．结合排列组合，解决下列问题．
(1)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(2)将4封标有序号的信放到四个标有的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
18．从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动．
(1)共有多少种不同的选择方法
(2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法
(3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法
19．请列出式子并计算出答案
(1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种
(2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种
(3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A D B B B D C
题号 11 12
答案 CD ACD
1．B
先选名学生分配给甲，再将剩余人分成两组分配给乙、丙，由分步乘法计数原理可得.
第一步，从六名学生中选名，分配给甲指导，有种不同的方法，
第二步，将剩余名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有种不同的方法，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有种.
故选：B.
2．B
先安排乙、丙、丁三名同学，再用插空法排甲最后可计算所有排法.
先排乙、丙、丁三名同学共有种排法；
再从三人所产生的四个空中选两个空给甲，有种方法；
所以共有种安排方法.
故选：B
3．C
假设、、、、、原来的车位的编号分别为、、、、、，、、、、，辆车停放的方法数为，结合列举法求出车停入了车原来的位置所包含的基本事件数，结合古典概型的概率公式可求出所求事假的概率.
假设、、、、、原来的车位的编号分别为、、、、、，
依题意，车停入了车原来的位置的事件为样本空间，
、、、、，辆车停放的方法数为，
从、、、中任取一辆车停在原来位置上有种方法，不妨假设停在原处，
若停在处，则、、三阶错位，有种方法，
若不停在处，则等价于四阶错位，有种方法，
则停放结束后恰有辆车停在原来位置上的事件含有基本事件数为，
所以停放结束后恰有辆车停在原来位置上的概率为.
故选：C.
4．A
先将5个小球分成三份有3，1，1，和1，2，2两种情况，按照分步计数原理分别有和分组方法（注意部分平均分组导致重复的情况），分组后再从编号不同的5个盒子选3个盒子按照不同的顺序分别放入有种排列方法，两式相乘即可得解.
依题意，可以先将5个大小相同，颜色不同的小球分成三份，
有，3，1，1，和1，2，2两种情况，
于是恰好有2个空盒的放法有（种），
故选：A．
5．D
利用分类计数原理，结合排列思想即可求解.
如果2节数学课排在上午，则数学课的安排情况为，，，共3种排法，
此时体育课排在下午，有3种排法，剩下的4节课有种排法，
所以数学课排在上午共有种排法.
如果2节数学课排在下午，则数学课的安排情况为，，共2种排法，
此时体育课排在下午，有1种排法，剩下的4节课有种排法，
所以数学课排在下午共有种排法.
综上，不同的排法种数为，
故选：D.
6．B
先分组后分配，分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式，再结合排列组合数计算即可.
分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式．
若是3，1，1，1，1，则有种；
若是2，2，1，1，1，则有种．
所以共有种.
故选：B．
7．B
根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果.
讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有种不同的安排方法，
其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种，
节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故所求概率为.
故选：B
8．B
分选取的数字只有一个1和有两个1两种情况讨论，即可得解.
若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种；
若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种.
故共有种不同的设置方法.
故选：B.
9．D
将字相同的卡片看成—组，从5组中选出—组，再从剩下4组，选出2组，在各取一张，得到4张卡片，全排列即可.
先把字相同的卡片看成—组，
第一步：从这5组中选出—组，
第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选—张卡片，
第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学，
所以不同的分配方案有种.
故选：D
10．C
利用分类列举法，即可求解.
第一种情况，5个小球只包含1种颜色，有3种情况；
第二种情况，5个小球包含2种颜色，两种颜色的球的个数组合为或，
所以包含2种颜色的取法种数有；
第三种情况，5个小球包含3种颜色，3种颜色的球的个数组合为或，
所以包含3种颜色的取法种数有.
所以共有种方法.
故选：C
11．CD
根据题意，利用排列数与组合数的计算公式，结合分类、分步计数原理，逐项分析计算，即可求解.
对于A中，若每人都只安排到一个社区，
由分步计数原理，可得不同方法数为种，所以A错误；
对于B中，若每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，
先将5名老师分为4组，有种，则不同的安排方法数为种，所以B错误；
对于C中，每人都只安排到一个社区，如果社区不安排，其余三个社区至少安排一人，
先将5名老师分成3组，人数可为或，
若人数为时，则有种不同的安排方法；
若人数为时，则有种不同的安排方法，
由分类计数原理得，共有种不同的安排方法，所以C正确；
对于D中，每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去社区，
若社区安排两人，则有种不同的安排方法；
若社区只安排一人，则有种不同的安排方法，
由分类计数原理得，共有种不同的安排方法，所以D正确.
故选：CD.
12．ACD
将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行异或求和，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态.
将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，
再进行异或求和，
若初始条件是全零，则乙有必胜策略，
反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态.
A项：，非全零，甲胜：从第2盒中拿2个，故A符合题意；
B项：，全零，乙胜，故B不符合题意；
C项：，非全零，甲胜：拿走第三盒，故C符合题意；
D项：，非全零，甲胜：从第1盒中拿2个，故D符合题意；
故选：ACD
13．48
先由甲乙一人担任旗手，再其余全排即可；
先甲乙选一人担任旗手，再将其余全排，
可得不同的安排方法种数为种，
故答案为：48.
14．
方法一：利用分类加法原理求出符合题意的两位数，然后根据百分位数的概念求解即可.
方法二：利用组合数求出符合题意的两位数，然后根据百分位数的概念求解即可.
方法一：因为十位数字分别是时，对应的符合要求的数的个数分别为，
所以十位数字是1时，个位数字只能是0；十位数字是2时，个位数字可以是0或1；
十位数字是3时，个位数字可以是0或1或2；……；依次类推，
十位数字是9时，个位数字可以是；
所以满足条件的两位数共有（个）.
将这45个数从小到大排成一列，因为，且，
则第36个数据为87，第37个数据为90，
所以这组数据的第80百分位数是.
方法二：从这10个数字中任选2个不同的数字，
然后将小的数字排在个位，大的数字排在十位即可，有种不同的方法.
将这45个数从小到大排成一列，因为，且，
则第36个数据为87，第37个数据为90，
所以这组数据的第80百分位数是.
故答案为：
15．192
先考虑最后位置必为宣传广告，再考虑4个商业广告的顺序，最后另一宣传广告插入4个商业广告之间，即可求解.
先考虑最后位置必为宣传广告，有种，
再考虑4个商业广告的顺序，有种，
另一宣传广告插入4个商业广告之间，有种，
故共有种.
故答案为：192.
16．
根据题意，分两种情况讨论，第一种情况是来自江西的三位散文家中选出两人，第二种情况是来自江西的三位散文家中选出三人，然后再结合插空法即可得到结果.
由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，
则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；
若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，
则有种情况；
故不同的排课方法共有种情况.
故答案为：.
17．(1)1800
(2)8
（1）从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法，进而可得；
（2）以组的序号相同分析，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择，进而可得.
（1）先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法．
故共有种放法；
（2）若组的序号相同，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择，同理可知其它序号相同时各有2种选择，
故共有种放法．
18．(1)
(2)
(3)
（1）利用组合进行计数，可求结果；
（2）先计算出选出的三人都是男生、都是女生的选法数，然后利用选法总数减去都是男生、都是女生的选法数可求结果；
（3）根据分步乘法计数原理，结合组合数和排列数的计算，可求解出结果.
（1）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动，
其方法数为种；
（2）若选的三人都是男生，有种选法，
若选的三人都是女生，有种选法，
所以既有男生又有女生的选法有种；
（3）根据题意，分步进行分析：
①从名男志愿者和名女志愿者中选出男女，选择方法数共有种，
②安排选出的人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，有种情况，
故不同选派方法数为种．
19．(1)81
(2)294
(3)90
（1）根据分步乘法计数原理判断；
（2）分选中甲与不选中甲两类求解判断；
（3）根据定序消去法判断.
（1）根据分步乘法计数原理，有种；
（2）①选的3人中无甲：种；
②选的3人中有甲：种，
总计种；
（3）由定序问题消序法得共有种.
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