组合模型 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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组合模型 典型考点归纳 专项练
2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有（ ）
A．240种 B．360种 C．390种 D．420种
2．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（ ）个．
A．36 B．48 C．64 D．81
4．已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．现有编号为的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“>”,则（ ）
A． B． C． D．
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第行的第个数为，则
8．设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．144 B．184 C．232 D．252
9．某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．72 B．54 C．48 D．36
二、多选题
10．下列是组合问题的是（ ）
A．10人相互通一次电话，共通多少次电话？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
11．下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合.
三、填空题
12．某高校的一名教授为了完成一个实验课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数共有 ．（用数字作答）
13．某校安排5位老师值班3天，要求每人需要值班1天或2天，且每天有2人值班，则不同的值班方案有 种.
14．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率为 ．
15．若，则的值为
16．若袋子中有大小且形状完全相同的黑球个，白球个，现从中随机抽取3个球，表示抽到2个黑球1个白球的概率，则取得最大值时 ．
四、解答题
17．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数．
(1)平均分成三堆；
(2)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(3)平均分给甲、乙、丙三人；
(4)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
(5)一人得1本，一人得2本，一人得3本．
18．有4名学生报名参加数、理、化这3科竞赛，则：
(1)每人限报1科，有几种不同的报名方法？
(2)每人至少报1科，有几种不同的报名方法？
(3)每人可以三科均不报，也可报多科（包括全报），有几种不同的报名方法？
19．（1）求的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B A C D C D ABC
题号 11
答案 BCD
1．C
解法一：先分组，再分配，先算总的情况，再用捆绑法算李老师和唐老师在同一学校督导的情况即可求解；
解法二：分类讨论，分别计算李老师和唐老师不在同一学校督导的情况即可求解.
依题意，分组情况可能为（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）．
解法一：总的情况数为，
其中李老师和唐老师在同一学校督导的情况数为，
故李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有390种．
解法二：若派遣的人数情况为（1，1，4），则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有种；
若派遣的人数情况为（1，2，3），则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有种；
若派遣的人数情况为（2，2，2），则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有种；
故李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有390种．
故选：C.
2．C
根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可.
总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即种，
符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶，即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次，
选择出现2次的种类：种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类，剩余2个位置分别给另外两种：种，总符合条件的情况数：种，
因此，总概率为.
故选：C．
3．D
利用子集的意义分类讨论可求得集合对的个数.
因为，，
当时，又，故，
当集合中有一个元素时，又，这样的集合对有，
当集合中有两个元素时，又，这样的集合对有，
当集合中有三个元素时，又，这样的集合对有，
当集合中有四个元素时，又，这样的集合对有，
所以集合对共有.
故选：D.
4．B
根据题意，得到原数据的中位数为5，要使得新数据与原数据中位数相同，可分为两类：两数中不含5和两数中含5，求得不同的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
数据0，9，7，4，5，从小到大排列为0，4，5，7，9，可得其中位数为5，
从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据有种选法，
要使得新数据与原数据中位数相同，则可分为两类：
若两数中不含5，不同的选法有种；
若两数中含5，则不同的选法有种，
所以共有种不同的选法，所以概率为
故选：B.
5．A
根据给定条件，利用排列、组合计数问题求出试验及所求概率的事件含有的基本事件数，再求出古典概率.
把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球的试验的基本事件总数为，
恰好有2个小球与盒子的编号相同的事件含有的基本事件数为，
所以恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为.
故选：A
6．C
根据题意可以分析出，抛掷两次总的基本事件有36个，随后进行列举分析.
抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件；
当x=2时，y=1满足；当x=3时，y=1，2，6满足；当x=4时，y=1，2，3，5，6满足；
当x=5时，y=1，2，6满足；当x=6时，y=1满足.
总共有13种满足题意，所以P(A)=.
故选：C.
7．D
根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD.
对于A，
，
A正确；
对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确；
对于C，第行所有数字的平方和，
第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，
而，
又展开式中项的系数为，
因此，C正确；
对于D，因为，所以，D不正确.
故选：D
8．C
分的值为1,2,3进行讨论，结合组合数的性质计算即可得.
若，
则中有5个为0，1个为1或，
此时共有种不同元素；
若，
则中有4个为0，2个为1或，
此时共有种不同元素；
若，
则中有3个为0，3个为1或，
此时共有种；
即共有种不同元素，
即集合中满足的元素的个数为232.
故选：C.
9．D
根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解.
将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法.
故选：D.
10．ABC
根据受不受顺序影响判断每个选项是排列问题还是组合问题即可.
对于选项A，甲与乙打电话和乙与甲打电话是同一事件，即不受顺序影响，是组合问题；
对于选项B，两个队只打一场比赛，不受顺序影响，是组合问题；
对于选项C，三个人入选的顺序不影响结果，是组合问题；
对于选项D，同样的三个人如果每个人任职的科目不同对最后结果是有影响的，即顺序会影响最后结果，是排列问题，不是组合问题.
故选：ABC
11．BCD
抓住组合问题的核心是 “只选不排”（不考虑选取元素的顺序），排列问题则 “既选又排”（需考虑元素顺序），依次分析选项即可.
选项A，组成三位数时，数字顺序会影响结果（如 123 和 321 是不同的数），属于排列问题；
选项 B，选 5 人组成篮球队，只需确定人员，无需考虑队员的顺序，属于组合问题；
选项 C，抽样调查只需确定 2 人，无需考虑这 2 人的顺序，属于组合问题；
选项 D，集合中的元素具有无序性，选 2 个数组成集合不考虑顺序，属于组合问题；
故选：BCD
12．36
根据分组分配的解题思路，可得答案.
将4名研究生助理分成3组，再将3个组分配到3个实验室有种方法．
故答案为：.
13．180
根据题意，先确定总值班人次，确定恰有1人值班两天，再对剩余4人，分配情况讨论即可求解.
总值班人次为，每人需要值班1天或2天，
因此唯一可能的分配是其中1人值班2天，另外4人各值班1天，
先从5人中选出值班两天的1人，有种，
假设选出的1人为甲，需要值班2天，另外4人各值班1天，
第一步，先确定甲值班哪两天：，
第二步，从另外4人中，确定两人值班剩下的那一天，，
第三步，剩下两人分别和甲组合值班，，
所以不同的值班方案有，
故答案为：180
14．
现将三人分成两组，再将两组人分配到两个场馆，根据分步乘法计数原理即可求出总的分法；再求出小李与小明分到一个场馆的分法数量，最后利用概率计算公式即可求解．
将小李、小张、小明分为两组，一组一人，另外一组两人，共种分法，
再将两组人分配到A，B两个场馆，共种分法，
根据分步乘法计数原理可知，共种分法；
小李和小明分到一个场馆的分法有种；
故小李与小明分到一个场馆的概率为．
故答案为：．
15．69
根据组合数的性质及参数范围得出参数m，再计算组合数即可.
因为，所以或，解得或,
因为，所以,可得,
所以.
故答案为：69.
16．
根据题意表示出，进而利用导函数研究最值即可.
由题意，，，
，
设函数，则，
令，即，解得，，
易知，，
因此，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
又，且，，，则，
因此，当时，有最大值，此时取最大值；
故答案为：
17．(1)15
(2)60
(3)90
(4)60
(5)360
（1）是平均分组问题，是无序的，要将直接分组后的结果除以组数的全排列数；
（2）是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可；
（3）是平均分配问题，将（1）中的平均分组数再乘以组数的全排列数；
（4）是确定了方案的非平均分配问题，（2）中的非平均分组数即是本小题的非平均分配数；
（5）是无确定方案的非平均分配问题，将（2）中的非平均分组数乘以组数的全排列数，即为非平均分配数．
（1）将6本书平均分成三堆，不需要考虑顺序．
故有，
将6本书平均分成三堆共有15种不同的分法.
（2）由于三堆书的本数各不相同，所以直接分组后，不会出现相同的分法．
故有．
所以6本书分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本共有60种不同的分法．
（3）先将书平均分成三堆，再分给甲、乙、丙三人，
故有．
所以6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人共有90种不同的分法
（4）实际上和（2）的问题是等价的.
故有．
所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法．
（5）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以．
故有．
所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法.
18．(1)81种
(2)2401种
(3)4096种
（1）利用乘法分步原理求解即可.
（2）先把选报科目分为7堆，然后再利用乘法分步原理求解即可.
（3）解法1：把选报科目分8堆，然后利用乘法分步原理求解即可.
解法2：分别从“数学”、“物理”、“化学”角度求解它们的报名人数的情况，然后根据乘法分步原理求解即可.
（1）每人均有3种选择，共有种，
故每人限报1科，有81种不同的报名方法．
（2）把科目分为7堆：数，理，化，数理，理化，化数，数理化.
每人均有7种选择，共有种.
故每人至少报1科，有2401种不同的报名方法.
（3）解法1：在（2）的基础上，加上“可以不选”这种情况，每人均有8种选择，故有（种）．
解法2：对“数学”来说，报名人数有0，1，2，3，4这五种情况，
分别对应种数为，，，，，可得.
同理，对“物理”来说有．
对“化学”来说有．
综上所述，可得，故不同的报名方法有4096种．
19．（1）0（2）详见解析
试题分析：（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的 ，而且可由（1）归纳出的 ；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式中含项的系数，再利用错位相减求和得含项的系数 ，从而达到化简求证的目的.
试题解析：解：（1）
（2）当时，结论显然成立，当时
又因为
所以
因此
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