二项式定理求指定项（系数） 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考
文档属性
| 名称 | 二项式定理求指定项（系数） 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 735.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
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文档简介
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二项式定理求指定项（系数） 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．的展开式中的系数为( )
A． B． C． D．
2．的展开式中的系数为（ ）
A．252 B．162 C．126 D．36
3．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2025
5．若的展开式中的常数项为31，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．已知的展开式中的系数为0，则a的值为（ ）
A． B．160
C． D．960
7．已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知的展开式中第2项与第5项的系数相等，则偶数项的二项式系数和为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
9．若，则在的展开式中（ ）
A．x的系数有最小值 B．的系数有最小值
C．的系数有最小值 D．的系数有最小值
10．的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
二、多选题
11．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共8项 B．含项的系数为480
C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128
三、填空题
12．展开后的系数为 ．
13．的展开式中含的项的系数为 ；
14．的二项展开式中，常数项为 .
15．的展开式中的系数为 ．
16．若的展开式中的系数为28，则的值为 .
17．在展开式中，的系数为 ．
18．展开式中的第三项为 ．
四、解答题
19．已知数列为等差数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，且，求数列的前n项和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C C B A B A B
题号 11
答案 ACD
1．B
先写出展开式的通项公式，根据已知条件求得代入展开式即可求解.
的展开式的通项为,，
根据题意得，解得：，则含的项为，
故的展开式中的系数为.
故选：B.
2．B
方法1：先求得展开式中的项的系数，结合与多项式相乘，即可求得答案.
方法2：将变形为，求得展开式中的项的系数，结合与多项式相乘，即可求得答案.
方法1：的通项公式为，
分别令可得，，，
所以的展开式中含的项为，
∴的系数为．
方法2：由，
的通项公式为，
分别令可得项的系数分别为，
所以的展开式中含的项为
所以的系数为．
故选：B．
3．B
可先将变形为，然后根据二项式定理分别求出与的展开式通项，再通过分析两个展开式相乘得到的系数即可.
先将变形为，
根据二项式定理，的展开式的通项为（）.
同理，的展开式的通项为（）.
要得到，则有以下几种情况：
当中取项（此时），中取常数项（此时），则该项系数为.
当中取项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
当中取项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
当中取常数项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
将上述各项系数相加，可得的系数为.
的展开式中的系数为1560.
故选：B.
4．C
利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余3，由此能求出的值．
因为，
又
所以
所以a除以10的余数就等于除以10的余数，即为3，
而给定的五个数中，只有2023除以10后余数为3，所以.
故选：C.
5．C
根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案.
依题意，，所以，即．
故选：C.
6．B
根据二项式展开式的通项特征即可求解.
的展开式中的项为
的展开式中的项为
因此的展开式中的系数为，故，
故选：B
7．A
由，进而结合展开式中的通项列方程求解即可.
由，
而展开式中的通项为，
，
令，得；令，得，
则的展开式中项的系数为
，解得.
故选：A.
8．B
根据给定条件，求出，再利用二项式系数的性质求解.
依题意，，解得，
所以的展开式偶数项的二项式系数和为.
故选：B
9．A
分别求出展开式中、、、的系数即可得出结果.
的展开式的通项公式为，，
展开式中的系数为 ，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的系数有最小值，
展开式中的系数为，
当时，，该系数趋近于，但无最小值.
展开式中的系数为，
当时，该系数趋近于，无最小值.
展开式中的系数，为，
当时，该系数趋近于，无最小值.
综上，的系数有最小值.
故选：A.
10．B
根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.
要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取，
即这一项为.
故的系数为.
故选：B
11．ACD
利用二项式定理可判断A正确，根据展开式通项可判断B错误、C正确，根据所有项的二项式系数之和为可得D正确.
对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确；
对于B，设展开式中的第项为,
令，解得；
因此含项的系数为，所以B错误；
对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确；
对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确.
故选：ACD
12．
将展开后结合多项式的乘法可求的系数.
因为，
故展开后含的项为，
故系数为．
故答案为：.
13．
利用二项式定理的推导原理，即可求得.
因，
所以含的项为，
故含的项的系数为.
故答案为：
14．
根据二项式展开式的通项特征即可求解.
的通项为，
令，则，
故常数项为，
故答案为：
15．80
分第一个因式取1和两种情况进行讨论，可求展开式中的系数.
第一个因式取1，则的展开式应取，则对应项的系数为：；
第一个因式取，则的展开式应取常数项，则对应项的系数为：.
所以的展开式中的系数为：.
故答案为：80
16．
由二项式定理可得的展开式的通项公式，进而求得的系数，结合已知可求得的值.
的展开式通项公式.
所以含的项由两部分组成.
第一部分：与展开式中项的乘积.
第二部分：与展开式中项的乘积.
因此 解得.
故答案为：.
17．180
根据题意其展开式为，求的展开式中通项，令，即可求解.
，若满足题意可知其展开式为，
其的展开式中通项，令可得，
所以系数得180，
故答案为：180．
18．
根据二项式的通项公式：对于，其展开式的第项为，代入已知条件求解.
根据二项式的通项公式得：
故答案为：.
19．(1)
(2)
（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得，进而得到数列的通项公式；
（2）根据题意，利用二项展开式，求得，得到，结合乘公比错位相减法，即可求解.
（1）解：设等差数列的公差为，
因为，则，解得，
所以．
（2）解：由，
则，所以，
所以，
则，
两式相减，得
，
所以．
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二项式定理求指定项（系数） 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．的展开式中的系数为( )
A． B． C． D．
2．的展开式中的系数为（ ）
A．252 B．162 C．126 D．36
3．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2025
5．若的展开式中的常数项为31，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．已知的展开式中的系数为0，则a的值为（ ）
A． B．160
C． D．960
7．已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知的展开式中第2项与第5项的系数相等，则偶数项的二项式系数和为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
9．若，则在的展开式中（ ）
A．x的系数有最小值 B．的系数有最小值
C．的系数有最小值 D．的系数有最小值
10．的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
二、多选题
11．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共8项 B．含项的系数为480
C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128
三、填空题
12．展开后的系数为 ．
13．的展开式中含的项的系数为 ；
14．的二项展开式中，常数项为 .
15．的展开式中的系数为 ．
16．若的展开式中的系数为28，则的值为 .
17．在展开式中，的系数为 ．
18．展开式中的第三项为 ．
四、解答题
19．已知数列为等差数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，且，求数列的前n项和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C C B A B A B
题号 11
答案 ACD
1．B
先写出展开式的通项公式，根据已知条件求得代入展开式即可求解.
的展开式的通项为,，
根据题意得，解得：，则含的项为，
故的展开式中的系数为.
故选：B.
2．B
方法1：先求得展开式中的项的系数，结合与多项式相乘，即可求得答案.
方法2：将变形为，求得展开式中的项的系数，结合与多项式相乘，即可求得答案.
方法1：的通项公式为，
分别令可得，，，
所以的展开式中含的项为，
∴的系数为．
方法2：由，
的通项公式为，
分别令可得项的系数分别为，
所以的展开式中含的项为
所以的系数为．
故选：B．
3．B
可先将变形为，然后根据二项式定理分别求出与的展开式通项，再通过分析两个展开式相乘得到的系数即可.
先将变形为，
根据二项式定理，的展开式的通项为（）.
同理，的展开式的通项为（）.
要得到，则有以下几种情况：
当中取项（此时），中取常数项（此时），则该项系数为.
当中取项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
当中取项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
当中取常数项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
将上述各项系数相加，可得的系数为.
的展开式中的系数为1560.
故选：B.
4．C
利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余3，由此能求出的值．
因为，
又
所以
所以a除以10的余数就等于除以10的余数，即为3，
而给定的五个数中，只有2023除以10后余数为3，所以.
故选：C.
5．C
根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案.
依题意，，所以，即．
故选：C.
6．B
根据二项式展开式的通项特征即可求解.
的展开式中的项为
的展开式中的项为
因此的展开式中的系数为，故，
故选：B
7．A
由，进而结合展开式中的通项列方程求解即可.
由，
而展开式中的通项为，
，
令，得；令，得，
则的展开式中项的系数为
，解得.
故选：A.
8．B
根据给定条件，求出，再利用二项式系数的性质求解.
依题意，，解得，
所以的展开式偶数项的二项式系数和为.
故选：B
9．A
分别求出展开式中、、、的系数即可得出结果.
的展开式的通项公式为，，
展开式中的系数为 ，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的系数有最小值，
展开式中的系数为，
当时，，该系数趋近于，但无最小值.
展开式中的系数为，
当时，该系数趋近于，无最小值.
展开式中的系数，为，
当时，该系数趋近于，无最小值.
综上，的系数有最小值.
故选：A.
10．B
根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.
要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取，
即这一项为.
故的系数为.
故选：B
11．ACD
利用二项式定理可判断A正确，根据展开式通项可判断B错误、C正确，根据所有项的二项式系数之和为可得D正确.
对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确；
对于B，设展开式中的第项为,
令，解得；
因此含项的系数为，所以B错误；
对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确；
对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确.
故选：ACD
12．
将展开后结合多项式的乘法可求的系数.
因为，
故展开后含的项为，
故系数为．
故答案为：.
13．
利用二项式定理的推导原理，即可求得.
因，
所以含的项为，
故含的项的系数为.
故答案为：
14．
根据二项式展开式的通项特征即可求解.
的通项为，
令，则，
故常数项为，
故答案为：
15．80
分第一个因式取1和两种情况进行讨论，可求展开式中的系数.
第一个因式取1，则的展开式应取，则对应项的系数为：；
第一个因式取，则的展开式应取常数项，则对应项的系数为：.
所以的展开式中的系数为：.
故答案为：80
16．
由二项式定理可得的展开式的通项公式，进而求得的系数，结合已知可求得的值.
的展开式通项公式.
所以含的项由两部分组成.
第一部分：与展开式中项的乘积.
第二部分：与展开式中项的乘积.
因此 解得.
故答案为：.
17．180
根据题意其展开式为，求的展开式中通项，令，即可求解.
，若满足题意可知其展开式为，
其的展开式中通项，令可得，
所以系数得180，
故答案为：180．
18．
根据二项式的通项公式：对于，其展开式的第项为，代入已知条件求解.
根据二项式的通项公式得：
故答案为：.
19．(1)
(2)
（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得，进而得到数列的通项公式；
（2）根据题意，利用二项展开式，求得，得到，结合乘公比错位相减法，即可求解.
（1）解：设等差数列的公差为，
因为，则，解得，
所以．
（2）解：由，
则，所以，
所以，
则，
两式相减，得
，
所以．
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