二项式系数及其性质 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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二项式系数及其性质 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．的展开式中，所有无理项的系数之和为（ ）
A．1024 B．2160 C．3640 D．4401
2．若（）的展开式中x与项的系数相等，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．已知的展开式中的常数项为40，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第项 B．第n项
C．第项 D．第项
7．已知，均为正整数，若多项式展开式中含项的系数为0，则下列说法一定正确的是（ ）
A．是偶数 B．是奇数 C．是偶数 D．是奇数
8．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
10．已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（ ）
A．252 B．210 C．120 D．10
二、多选题
11．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第行的第个数为，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
12．已知二项式（且，，）的展开式中第项为15，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．当取最小值时，展开式的二项式系数的和为
C．当时，展开式中的常数项为
D．当时，展开式中没有项
三、填空题
14．已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ．
15．的展开式中常数项为70，则的值为 ．
16．已知多项式，则 .
17．已知，且，则n的最小值为 .
18．在的展开式中，若的系数为，则 ．
19．二项式，若，则 .
四、解答题
20．已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，
(1)求；
(2)求展开式的常数项；
(3)求展开式中系数最大的项．
21．若的展开式中偶数项系数和为，求的值．
22．在的展开式中，记的系数为，的系数为，其中．
(1)求的表达式；
(2)是否存在常数，使对，恒成立？证明你的结论．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B C C C C A B
题号 11 12 13
答案 ABC AB BCD
1．D
先求出展开式中所有项的系数和，再求出有理项的系数和，作差求解．
令，得展开式中所有项的系数和为，
通项为，
则有理项分别是第1项，第4项和第7项，
其系数和为，
则无理项的系数之和为．
故选：D
2．C
利用二项式定理列式求出值.
依题意，，，由展开式中x与项的系数相等，
得，因此，所以.
故选：C
3．B
利用二项式展开式中的指定项与前一个二项式乘积为常数项，即可得方程求解.
由的展开式中第三项为，第五项为，
则的展开式中的常数项为，
即，得或（舍去），所以．
故选：B．
4．B
根据组合数的性质可得，利用不等式两边夹逼的方法可得，即可利用三角函数的周期公式求解.
由题意可知，展开式的二项式系数为，
当时，取得最大值，展开式的系数为，
当满足，时，系数最大．
即即，解得．
又，时，系数的最大值为．
则，所以，其最小正周期为，
故选：B．
5．C
设，由赋值法可得.
设，
则，
，
因此，.
故选：C.
6．C
根据展开式的通项可知第项的系数为，结合二项式系数的性质分析最值即可.
因为的展开式的通项为，
可知第项的系数为，即为第项的二项式系数，
根据二项式系数的性质可知：的最大值为，
所以系数最大的项为第项.
故选：C.
7．C
写出的展开式通项公式，得到含项的系数为0得到方程，求出，故一定是偶数.
展开式的通项公式为，
故，，
所以含项的系数为，解得，
因为，均为正整数，故一定是偶数.
故选：C.
8．C
令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D.
对于A，令，得，即，故A错误；
对于B，展开式的通项公式为，
所以，故B错误；
对于C，令，得，
即，故C正确；
对于D，令，得，
即，
因为，
所以，
因为，
所以不成立，故D错误.
故选：C
9．A
赋值可得，结合导数及代入可得，进而求解即可.
设，
令，得，又，
令，则，
所以，
即.
故选：A．
10．B
根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可.
因为展开式的所有二项式系数之和为32，
所以，
所以的通项公式为
，
当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为，
故选：B
11．ABC
根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
根据题意，由“杨辉三角”可得，第行的第个数为，
对于A，根据，
则，故A错误；
对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，故B错误；
对于C，记第行的第个数为，则，
则，故C错误；
对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，
则两个数的比为，故D正确.
故选：ABC.
12．AB
利用二项展开式的通项公式可求的值，可判断A，B项；再利用排列数和组合数的运算性质判断C，D项.
由二项式定理可得：，
则得，解得：，故A,B项正确；
因，故C错误；
因，，故可得，即得D错误.
故选：AB.
13．BCD
根据条件得到展开式的通项，进而得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.
因为展开式的通项，
由题知，
对于选项A，因为，所以的最小值为，故选项A错误，
对于选项B，由选项A知当取最小值时，，所以二项式系数的和为，故选项B正确，
对于选项C，当时，，所以常数项为，故选项C正确，
对于选项D，令，得，不符合题意，所以当时，展开式中没有项，故选项D正确.
故选：BCD.
14．/0.015625
先求出二项式的展开式通项，利用常数项列式求得，然后赋值法求解系数和即可.
二项式的展开式通项，
令，得，故展开式中的常数项为，得（舍去负值），
则令得展开式中所有项的系数之和为．
故答案为：
15．1
根据二项展开式的通项特征，即可求解常数项得解.
展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中常数项为，又，所以．
故答案为：1.
16．18
结合赋值法，分别令和，可得和，再把两式相加，可求的值.
令，可得，
令，可得，
两式相加可得.
故答案为：18
17．9
令，得到，由通项公式得到，再由求解即可.
由题意可得，而由存在知，
设，则.
由知通项，
故，
故由知，
即，即，
解得，所以n的最小值是9.
故答案为：9
18．
利用二项式的展开式可求得，进而可得，裂项相消法可求值.
由二项式的展开式的通项公式可得第，
令，可得的系数为，
所以，
则，
则.
故答案为：.
19．
首先根据绝对值和的意义，采用赋值法求，再求.
二项式的通项为，
令，得，
所以，
中，是的系数，所以.
故答案为：
20．(1)
(2)
(3)
（1）结合题意建立方程，求解参数即可.
（2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可.
（3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可.
（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得.
（2）由已知得，
其展开式的通项为，令，解得，
则展开式的常数项为.
（3）由已知得展开式的通项为，
则第项的系数为，设第项的系数最大，
则，解得，
因为是整数，所以，
此时系数最大的项为.
21．
写出的展开式第项，从而求出偶数项系数和为：，列方程求解即可.
的展开式第项为,
故其偶数项系数和为：
由题意得，，
解得: ．
22．(1)；
(2)存在，证明见解析.
（1）应用多项式乘法原理及等比数列前n项和公式，即可得；
（2）法一：首先求得，，进而求通项公式，再应用数学归纳法判断证明；
法二：根据已知得，应用累加法、等比数列前n项和公式求通项公式；
法三：由多项式乘法得，结合等比数列前n项和公式化简，即可得.
（1）根据多项式乘法运算法则得，；
（2）法一：计算得，，代入，解得，．
下面用数学归纳法证明．
①当时，，结论成立．
②设时成立，即，
则时，．
由①②可得结论成立．
法二：根据多项式乘法运算法则，得．
所以．
所以．
又也满足上式，所以，．
故存在，符合题意.
法三：根据多项式乘法运算法则，得
．
所以存在，符合题意．
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