立体几何--空间的角 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何--空间的角 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．如图，在长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．或4 B． C． D．
3．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
4．在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面 所成的角为
7．在三棱台中，平面，则下列说法正确的是（ ）
A． B．平面
C．三棱台的体积为 D．直线与所成角的余弦值为
8．如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形
B．平面EFM平面
C．直线ME与所成的角为
D．平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为
三、填空题
9．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
10．已知是正方体的棱的中点，过、、三点作平面与平面相交，交线为，则直线与所成角的余弦值为 .
11．已知正方体，点是中点，点为的中点，点为棱上一点，且满足平面，则直线与所成角的余弦值为 ．
四、解答题
12．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：
(1)的长；
(2)直线和所成角的余弦值.
13．如图，在三棱柱中，已知底面，为的中点，点在棱上，且为线段上的动点.

(1)证明：；
(2)若直线与所成角的余弦值为，求二面角的正弦值.
14．已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的正切值．
15．如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为棱的中点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求点到平面的距离．
16．已知两个非零向量、，在空间中任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作. 定义与的“向量积”为，它是一个向量，且与向量、都垂直，它的模，如图，在正四棱锥中， ，且 .
(1)若为侧棱上的点，且平面，求平面与平面的夹角的大小；
(2)若点是侧棱（不包含端点）上的一个动点，当直线与平面所成的角最大时，求的值.
17．如图，四棱锥中，，，，，．
(1)证明：；
(2)若平面平面，且四棱锥的高为，求平面与平面夹角的余弦值．
18．如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点.
(1)证明：；
(2)设点，，，均在球的球面上.
①证明：点O在平面内；
②求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．

(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C A C AC ABC BCD
1．D
建立空间直角坐标系利用空间向量求得，即可得结果.
如图，以为轴，建立空间直角坐标系，
设，由，则，
所以.
因为为的中点，所以，
所以，所以，
即异面直线与所成角的大小为.
故选：D
2．D
由题意与勾股定理建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，利用线线角向量公式，可得答案.
如图，在三棱锥中，，，所以．
因为平面，以为原点，，，为、、轴正方向建立空间直角坐标系．
可知，，．
因为，，所以，
所以，则．设，且，
则，可知，，
所以，
，．
因为异面直线与所成的角的余弦值为，
所以，
解得或（舍去）．所以．
故选：D.
3．C
如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
4．A
根据题意作出相应图形连接，交于点，连接，由四棱锥为正四棱锥，可得底面，从而可求得即点在以为圆心，1为半径的圆上，然后建立空间直角坐标系，再利用异面直线向量求法即可求解.
根据题意作图如图所示，连接，交于点，连接，

因为四棱锥为正四棱锥，可得底面．
由底面边长为，可得，所以，
在中，，，可得，
又由，在中，可得，
即点在以为圆心，1为半径的圆上，
所以当点为圆与的交点时，，两点间距离最小，最小值为．
以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，
则，，可得，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确.
故选：A.
5．C
首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
在长方体中，连接，

根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
6．AC
对于A，B，利用向量法，设出正方体棱长，建立空间直角坐标系，求出两直线对应的向量，根据向量的夹角公式求出向量夹角，再根据异面直线所成角与向量夹角的关系得到结果. 对于C，D，先求出平面的法向量，再根据直线的方向向量与法向量的夹角，结合直线与平面所成角和它们夹角的关系求出结果.
设正方体棱长为，以为原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系. 则，，，.
所以，.
设直线与所成的角为，根据向量的夹角公式.
先计算，，.
则，因为异面直线所成角的范围是，所以直线与所成的角为.故A正确.
由前面建立的坐标系可知，，，.
所以，.
设直线与所成的角为，根据向量的夹角公式.
先计算，，.
则，因为异面直线所成角的范围是，所以直线与所成的角不是. 故B错误.
由前面建立的坐标系可知，，，，.
所以.
设平面的法向量为，因为，.
由，即，令，则，，所以.
设直线与平面所成的角为，则.
先计算，，.
则，所以直线与平面所成的角为.故C正确.
由前面建立的坐标系可知，. 所以.
平面的法向量为.
设直线与平面所成的角为，则.
先计算，，.
则，所以直线与平面所成的角不是.故D错误.
故选：AC.
7．ABC
利用线面垂直性质定理可得A正确，根据棱长与勾股定理并利用线面垂直判定定理可得B正确，再由台体体积公式计算可得C正确，建立空间直角坐标系根据异面直线夹角的向量求法可得D错误.
对于A，由平面，又平面，所以，
又可得，
又，且平面，
因此平面，平面，
所以，即A正确；
对于B，由可知在四边形中，可知，
又易知，满足，因此；
结合A中，且，且平面，
所以平面，即B正确；
对于C，易知三棱台的上底面面积为，
下底面面积为，高为，
因此三棱台的体积为，即C正确；
对于D，根据平面可知两两垂直，
以所在直线分别为轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由三棱台性质可知，且，
可得，所以；
易知
可知直线与所成角的余弦值为，即D错误.
故选：ABC
8．BCD
分别取，，的中点为，，，连接各中点，求出平面EFM截该正方体所得的截面为正六边形判断A；利用面面平行的判定定理证明判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线线角和面面夹角，即可判断CD.
对于A，分别取，，的中点为，，，连接各中点，如下图所示：
易知，，，
即可知，，，，，在同一平面内，
所以平面EFM截该正方体所得截面即为六边形，即A错误；
对于B，因为点，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为点，分别为，的中点，所以，
又，所以，平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面，
所以平面平面，即平面EFM平面，故B正确；
对于C，建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
不妨取正方体的棱长为2，
则，，，，，
所以，，
所以直线ME与所成的角的余弦值为，
所以直线ME与所成的角为，故C正确；
对于D，由选项C可知，，，
设平面EFM的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面EFM的一个法向量为，
易知平面ABCD的一个法向量为，设平面EFM与平面ABCD的夹角为，
则，
即平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为，故D正确．
故选：BCD
9．
先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.
因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，
因此圆锥的侧面积为．
【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．
10．
由面面平行的性质与异面直线所成的角的求法求解即可
因为过三点的平面与平面相交于，
平面与平面相交于，平面与平面平行，
所以,
又，故
所以直线与所成的角就是直线与所成的角，
也即是（或补角）
又易知为等边三角形，
所以直线与所成角的余弦值为，
故答案为：
11．
通过取中点法，根据正方形的性质、平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理、勾股定理、余弦定理进行求解即可.
设分别是的中点，连接 ，
显然有且，
因为四边形是正方形，点为的中点，所以 且，
因为四边形是正方形，点是中点，所以且 ，
因此且，所以四边形是平行四边形，
因此有，而平面， 平面，
所以平面，因此两点重合，
因此直线与所成角为或其补角 ，
设正方体的棱长为4，
由勾股定理可知：，
，显然，
，
在中，
，
故答案为：
关键点睛：根据取中点法结合三角形中位线定理、正方形的性质、线面平行的判定定理得到异面直线所成的角是解题的关键.
12．(1)
(2)
（1）先设，，，得出，利用向量数量积的运算律计算即得；
（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.
（1）如图，连接，设，，，
依题意，
而，
，
所以.
（2）连接，，
所以
，
又，，
所以，
故直线和所成角的余弦值为.
13．(1)证明见解析
(2)
（1）根据条件证明平面，再由线面垂直的性质得到；
（2）由（2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，将二面角的问题转化为向量夹角问题求解．
（1）证明：在三棱柱中，底面，
所以三棱柱是直三棱柱，则，
因为，所以，
又因为，为的中点，
所以，又，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
易知，则，
因为，
所以，则，
即，又，平面，
所以平面，
所以；
（2）由（1）取的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：

则，，，
设，
所以，
因为直线与所成角的余弦值为，
所以，解得，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
易知是平面的一个法向量，
则，
所以二面角的正弦值为．
14．(1)证明见解析
(2)．
（1）根据题意可证平面，继而得到平面平面；
（2）解法1：过作，过作，再说明为平面与平面的夹角，然后求其正切值即可；解法2：以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求夹角的余弦值，再求正切值.
（1）因底面是菱形，，是中点，所以，
又，则．已知平面，平面，所以．
因为平面，且，所以平面．
因为平面，平面平面．
（2）解法1：在等腰直角中，过作，
则是中点，．
又，所以平面，
又因为平面，所以，
过作，连接，
由于，平面，所以平面，
又平面，故，所以为平面与平面的夹角，
由（1）知，在中，，
故，
因为平面，平面，所以，
则．
解法2：因为平面，所以两两垂直．
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系
则，∴，
由（1）易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则不妨取，得，
设平面与平面的夹角为，则，
故正切值为．
15．(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
（1）根据已知得是等边三角形，取的中点，连接，进而得，再由线面、面面平行的判定定理证明平面平面，再由线面平行的性质证明结论；
（2）（i）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，进而得，求直线与平面的方向向量和法向量，应用向量法求线面角及已知列方程求出参数值；（ii）应用点面距离的向量求法求点面距离.
（1）因为，所以，
因为为的中点，则，所以是等边三角形，
取的中点，连接，则，
又为棱的中点，且，即，则．
因为平面平面平面平面，
所以平面，平面，
又平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）（ⅰ）因为，所以．
所以，因为，所以，
又平面，所以平面，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
则，
设，则，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，则．
设直线与平面所成的角为，所以，
整理得，解得（舍），所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，则，
所以点到平面的距离为．
16．(1)；
(2).
（1）连接，，设和相交于点，取的中点，连接，，，
根据空间向量，可得是平面的法向量，是平面的法向量，且与的夹角大小等于平面与平面的夹角，根据几何关系即可求解；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，直线与平面所成的角为，利用向量法求线面角，可将表示为关于的函数，再结合配方法，求解即可.
（1）连接，，设和相交于点，取的中点，连接，，，
因为，所以与的夹角即为与的夹角，即，
故 ，所以，
所以，，
又是平面的法向量，是平面的法向量，
故平面与平面的夹角大小等于的大小，
，故，
所以平面与平面的夹角大小为；
（2）由（1）及题可知，两两互相垂直，
故以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为点是侧棱（不包含端点）上的一个动点，所以可设，
设，则，可得 ，
则，因为点在侧棱上，所以平面的法向量
就是平面的法向量，设平面的法向量为，
易得，，
因为，且，所以，
令，解得，，即，
设直线与平面所成的角为，则
，
当且仅当时取等号，即.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）取中点O，连接，证明平面即可；
（2）以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求解．
（1）如图，取中点O，连接．
由，且O为中点，则．
由于，且，，
则四边形为正方形，也即．
由于，，平面，且，
故平面．
又平面，故．
（2）由题意可得平面平面，且为交线，
故平面，则为四棱锥的高，故．
以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，．
故，，．
设平面的法向量，平面的法向量．
则，即，令，解得；
，即，令，解得．
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)见解析
(2)①见解析；②
（1）利用面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直；
（2）①首先根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用坐标法求点的坐标，即可证明；
②求平面的法向量，利用坐标法求线面角的正弦值.
（1）因为平面平面，且平面平面，
且是等腰直角三角形，，点是的中点，
所以，所以平面，且平面，
所以；
（2）①因为是等边三角形，且点是的中点，
所以，
如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，，
设，
由条件可知，，
所以，
解得：，即，
所以点在平面内；
②，，，
设平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)．
（1）先证平面，根据线面垂直的定义得证线线垂直.
（2）先根据四棱锥的体积求四棱锥的高，进而求得，从而建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用空间向量法即可求两个平面夹角的正弦值.
（1）如图所示，取的中点，连接，

因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，则，
因为，所以，
又为等边三角形，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，
所以．
（2）设四棱锥的高为，
由题设，得，则，
由题设知，所以底面，
因为底面，所以，
故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，所以；
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，所以，
所以，
设平面与平面的夹角为，则，所以，
即平面与平面的夹角正弦值为．
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