立体几何--立体几何中的折叠问题 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何--立体几何中的折叠问题 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪.小明仿制“羡除”裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形中，，，在等腰梯形中，.将等腰梯形沿折起，使平面平面，则五面体中异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．在等腰梯形中，为中点，点为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，下列说法中正确的有（ ）
A．平面
B．点到平面的距离为
C．与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球表面积为
7．如图，在矩形中，，点为线段上的动点（含点，不含点），将沿折起，使点翻折至位置，且二面角为，点为线段上的动点，在四棱锥中，下列说法错误的是（ ）
A．存在点使得平面
B．存在点使得对于任意点都有直线和直线垂直
C．三棱锥的体积为定值
D．二面角的正切值的最小值为
8．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面平面
B．当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为
C．当二面角为时，点到平面的距离为
D．当时，直线与平面所成角的余弦值为
9．如图甲，边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点（如图乙），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面平面
C．平面与平面夹角的余弦值为
D．三棱锥的外接球半径是
三、填空题
10．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是 ．
11．已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为 .
12．已知函数的部分图像如下，将沿翻折至，使得二面角为.若，则
13．边长为的菱形，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积等于 .
14．在中，，设点为线段上一点（不含端点），将沿折起，得到四面体，则此四面体体积的最大值为 .
四、解答题
15．如图，在扇形中，，点在上，且．当时，．
(1)证明：为等边三角形；
(2)当时，沿将折起到位置，使得平面平面，连接．
①求三棱锥的体积；
②求二面角的余弦值．
16．如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
17．在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．
(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点（不含端点），能否与平面平行？说明理由；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）．
(1)若D为中点，求证：．
(2)若，
①求平面和平面所成角的正弦值；
②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值．
19．如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
(1)证明：MN∥平面A'BE；
(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D C D C D ACD BCD ACD ABD
1．D
过作，过作，将几何体转化为三棱柱和两个三棱锥的体积之和求解.
过作，垂足为，连接，由对称性可得，
又，平面，平面，
过作，垂足为，连接，则，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，即空间几何体为直三棱柱.
∵，，所以，，
同理求得，，则，
又，等腰三角形的面积为，
空间几何体拆分为三棱柱、三棱锥和三棱锥三个部分，
∴空间几何体的体积为.
故选：D.
2．C
因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是的中点，所以外接球的球心与中点的连线垂直面,再使用余弦定理列出方程，根据运动过程中角的范围，求出外接球半径的范围，得出答案.
如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接，
因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点，
则由球的性质可知，平面，
设外接球半径为,
是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,
,
在中勾股定理可知,
则在中利用余弦定理可得，
,，则，得，
所以的最小值为1，外接球体积最小值为.
故选：C.
3．D
根据外接球球心的性质确定球心的位置为过正三角形与的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球的半径即可.
设的中点为，正与正的中心分别为，，如图，
根据正三角形的性质有，分别在，上，平面，平面，
因为与都是边长为2的正三角形，则，又，
则是正三角形，
又，，，平面，
所以平面，所以在平面内，
故，易得，
故，
故，又，故球的半径，
故球的表面积为．
故选：D．
4．C
根据线线垂直证明线面垂线，进而证明面面垂直，结合三角形相似可得距离.
如图所示，
取中点，中点，连接，，，，
由是等边三角形，是等腰直角三角形，，
则，，，
又，，
，，平面，
所以平面，
所以平面平面，平面平面，平面平面，
又平面，且平面，平面平面，
所以，
又平面平面，且平面平面，平面平面，
所以，
则作出平面如图所示，
设，
则，
所以，
又，，
则，
由，
所以，，，
设过点作与，分别交于点，，
则即为两平面间距离，
，
故选：C.
5．D
过点作的垂线，垂足为，连接，，根据已知得出四边形为菱形，即可得出，再根据面面垂直的性质证明，即可根据线面垂直的判定得出平面，即可根据线面垂直的性质得出，即可得出答案.
过点作的垂线，垂足为，连接，，
四边形为等腰梯形，
,
四边形为等腰梯形，
,
,
四边形为菱形，
，
，平面平面，平面平面，平面ABEF，
平面，
平面，
,
平面，平面，,
平面，
平面，
，
异面直线与所成角的大小为.
故选：D.
6．ACD
对于A，等腰梯形中，根据边长可得，由此即可证平面；对于B，先证平面，再利用等体积法可求点到面的距离；对于C，由线面夹角的定义可知与平面所成角的正弦值为；对于D，根据题意球心在过外接圆圆心垂线的交点处，然后求出半径及表面积.
在等腰梯形中，为中点，
，且，四边形为平行四边形，
，且，又，所以为等边三角形，
即，所以四边形和四边形均为菱形，
，，，
，翻折后，
，，
又平面，，所以平面，故A正确；
对于B，平面平面，平面平面，，
平面，平面，，
，，，
则，即，，
设点到平面的距离为，
，解得，故B错误；
对于C，与平面所成角的正弦值为，故C正确；
对于D，根据题意为等边三角形，且平面平面，
设外接圆圆心，过分别作平面与平面的垂线，交点即为球心，连接，
，
，
所以三棱锥外接球表面积为，故D正确；
故选：ACD.
7．BCD
对于A选项,在线段截取，利用线段关系证，在面作，由面面平行判定得面面，再根据面面平行性质得面；对于B选项，假设结论成立，可得平面，可得，结合，则面，但一个直线不能同时垂直两个相交平面，所以该选项错误；对于C选项，过作面垂线，过作，连得二面角平面角，设，用等面积法求，算不是定值，即可判断C选项；对于D选项，先求，作，由相似得，进而得出二面角正切表达式，根据取值求最小值，确定该选项错误.
在线段上截取，由，
可得四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面.
在面内过点作，平面，平面，
则平面，又，则平面平面，
又平面，平面，故A正确；
若对于任意点都有直线和直线垂直，平面，
则平面，又平面，，
又，且，平面，
平面，显然不可能同时垂直于两个相交平面，故B错误；
过作面于点，过作于点，连接，
由面，平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则为二面角的平面角，，
设，则，
当时，重合，不合题意，则.
在中，由等面积法可知，
，
不是定值，故C错误；
在矩形中，，
过点作于，
易得，，
设二面角的大小为，则，
当时，取最小值，但是，则二面角的正切值的最小值不可能取到，故D错误.
故选：BCD.
8．ACD
A利用证明面面垂直的判定定理证明两个平面垂直，BD利用空间向量的方法求异面直线所成的角和线面角，C利用三棱锥转换底和高，通过体积相等求点到面的距离.
对于选项A：翻折前，是菱形，，为的中点，沿对角线折起后，如图（1），，，，平面，平面，平面平面，则A选项正确；

对于选项B：平面平面，平面平面，，平面，平面，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图（2），
菱形的边长为2，，，为的中点，，，，，，，，，，，设异面直线与所成的角为，则，则B选项错误；
对于选项C：如图（1），，，是二面角的平面角，二面角为，，，，，设点到平面的距离为，，，，，则C选项正确；
对于选项D：如图（3），

取中点，取中点，连，是等边三角形，，，，平面，平面，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，过作交于，，，，，
平面，平面，，又，
平面，过作，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，设为平面的法向量，，，取，则，，，，设直线与平面所成的角为，，，则直线与平面所成的角余弦值为，
则D选项正确.
故选：ACD.
9．ABD
根据折叠前后的性质，根据线线垂直推出平面，进而可得，判断选项A；根据面面垂直判定定理判定选项B；建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，，可得求出二面角的余弦值判断选项C；根据互相垂直，三棱锥的外接球等价于以为棱的长方体的外接球，长方体的对角线即为外接球的直径，判断选项D.
折叠前：，，；
折叠后：，，三点重合于点，故，，，
又，分别是，的中点，边长为2，故，.
选项A：因为，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，故A对.
选项B：因为，，平面，
所以平面；又平面，故平面平面，故B对.
选项C：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则
，，.
，，设平面的法向量为，则
，令，得.
平面是平面，其法向量为.
所以二面角的余弦值：，故C错.
选项D：因为，，，所以三棱锥的外接球等价于以为棱的长方体的外接球.
长方体的对角线长，
故外接球半径，故D对.
故选：ABD.
10．
方法一：通过建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量公式结合函数的性质即可求出．
［方法一］：异面直线所成角的向量公式
设直线与所成角为，设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折过程中，始终与垂直，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为，
所以＝，所以时，取最大值．
故答案为：．
［方法二］：几何法
由翻折过程可以看出D'在以H为圆心，DH为半径的圆上运动，设E是圆H与平面ABC的交点， 易知E在CB上，且CE=1．设直线AC与BD'所成角为，则，，
设点在平面上的投影为，，因此．
［方法三］：考虑纯几何运算
由折叠过程可知，在以为圆心，为半径的圆上运动，且垂直圆所在的平面，如图,作于，则，与所成角即为，且，,要使最大只需最小，
在中，为定值，即只要最短,
，因此．
［方法四］：【最优解】利用三余弦定理
前面过程同方法三, 与所成角即为，
是点在平面上的投影，可知：
观察得当与点重合时，和同时达到最小，
和同时取最大，此时有最大值，
最后我们不难发现，其实在翻折过程中，，那么，即当与重合时有最大值.
【整体点评】方法一：利用建系求异面直线所成角，是通性通法，易操作，但此题运算较复杂；
方法二：利用几何性质求异面直线所成角，计算简单，需要较好的空间想象能力；
方法三：利用几何法找到异面直线所成角的平面角，计算简单，需要较好的空间想象能力；
方法四：利用三余弦定理分析最简单，但是三余弦定理不是教材要求必需掌握的内容．
11．
作出，的外心，根据线面垂直得到二面角的平面角，再通过余弦的定义和二倍角的余弦公式即可求出.
如图，设O为四面体ABCD外接球的球心，半径为R，
令，分别为正和正的外心，
则，，平面ABD，平面CBD.
则，于是平面，
平面交BD点于E，连接，，则，
因此为二面角的平面角.
设其大小为，，，，.
连接，则，，
.

故答案为：.
12．/
利用可求得；作出二面角的平面角，结合余弦定理和勾股定理可求得点坐标，由此可得的最小正周期，进而得到.
，又，；
记点为，翻折后，连接，
，，即为二面角的平面角，，
，，
轴，，，又，平面，
平面，又平面，，
，，
由图可知，的最小正周期，
又因为,
.
故答案为：.
13．
画出图形，找出二面角的平面角，然后找到球心位置，根据勾股定理求出半径，进而由球的表面积公式求出外接球表面积.
根据题意，画出如图所示的三棱锥,

取的中点，连接、，由题易知、都为等边三角形，
,
二面角 的平面角为 ，
设 和 的外接圆圆分别为 ，
设外接球球心为O, 则 平面 且平面.
易证 ，所以
，
，
，
外接球半径
外接球的表面积为 .
故答案为：.
14．/
通过分析可得当平面平面时四面体体积最大，结合三角形面积公式、函数求最值的方法来求解.
已知，
因为，根据勾股定理逆定理可知，
如图，作，垂足分别为，
当平面平面时四面体体积最大，此时，为四面体的高，
设（在线段上，），因为，
所以，则，即，所以，
而，
易得，则，则，
又的面积，
所以四面体的体积为，
记函数，，
则，
所以时，单调递减，时，
单调递增，，所以.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)①；②
（1）先在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，即可证明.
（2）①利用面面垂直的性质定理得线面垂直，确定三棱锥的高，利用三棱锥体积公式求解即可；
②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面法向量，利用向量法求解即可.
（1）由题意，当时，，所以，
在中，由余弦定理得，
即，即，解得，
在中，由余弦定理得，解得，所以，
所以为等边三角形.
（2）①当时，，所以，所以，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即为三棱锥的高，
所以；
②由①知，，，两两互相垂直，
故以为坐标原点，为轴，为轴，为z轴，建立如图坐标系．
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
，令得，，所以．
又平面ABD的法向量．
设二面角为，又由图可知二面角的平面角为锐二面角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值；
（1）在图1的中，，
所以，，且，，
因为，所以，，则，，
在中，，，，则，
在图2的中，，，，
满足，所以，
因为，，，、平面，
所以平面.
（2）因为平面，，
以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，，，
设平面一个的法向量，则，
取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面与平面所成角为，
则，
因此，平面与平面所成角的余弦值为.
17．(1)证明见解析；
(2)不可能，理由见解析；
(3)
（1）根据余弦定理和勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）假设平面，推导出错误结论平面平面，即可说明不可能与平面平行；
（3）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.
（1）连接，因为，为的中点， 是等边三角形，
则，
则在中，因为，，
所以．
在中，因为，所以，
同理可得，
又，，
故平面．
（2）不可能与平面平行，理由如下：
假设平面，
又因为平面平面．
所以平面．
因为平面平面，
从而有平面平面，这显然不成立，
所以不可能与平面平行．
（3）设为的中点，则．
因为平面平面，
所以平面平面．
又平面平面平面，所以平面．
以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，
过点且平行于的直线向上方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
因为，
所以，
取，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则．
18．(1)证明见解析
(2)①；②.
（1）由D为中点，得到，根据线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）①在由，得到得到长，由余弦定理求得，得到所以为等腰三角形，且，再由，证得平面，得到，过点作，证得，得到为平面和平面所成的平面角，在直角中，求得，即可得到答案；
②以为原点，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心为，求得球心的坐标为，半径为，再由为的中点，得到，当与过点的截面垂直时，此时截得面积最小，结合圆的面积公式，即可求解.
（1）证明：如图（1）所示，在等腰中，
因为，且D为中点，可得，即，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：①在等腰中，，，可得，
因为，可得，即，
在中，由余弦定理得，所以，
所以为等腰三角形，所以，
所以，即，
又因为平面和平面所成的二面角为，即平面平面，
因为平面，且平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
如图所示，过点作，因为，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为平面和平面所成角的平面角，
在直角中，可得，
在直角中，可得，所以，
所以平面和平面所成角的正弦值为
②以为原点，以分别为轴，轴，以在平面内，过点垂直的所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图(3)所示，
则，
设三棱锥的外接球的球心为，
则球心在底面上的投影为的外心，其坐标为，
球心在上的投影点为直角的外心，即的中点，坐标为，
所以球心的坐标为，半径为，
又由为的中点，可得,则，
当与过点的截面垂直时，此时截得的小圆的半径最小，其面积最小，
设所截小圆的半径为，则，
所以过E作平面截三棱锥的外接球，截面面积的最小值.
19．(1)证明见解析
(2)
（1）利用中位线定理在平面中找到和直线平行的直线，利用直线和平面平行的判定定理即可证明.
（2）建立空间直角坐标系，根据已知条件利用等体积法，进而求出各个点的坐标，再利用平面的法向量计算平面的夹角的正切值.
（1）取的中点，的中点，由题意知，，
直角梯形中，四边形为正方形，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
平面，不在面内，
平面.
（2）连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，面，
平面，
，
，，
，为等边三角形，
则，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
，令
，令，
设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角，
，
平面与平面的夹角的正切值为.
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