立体几何--立体几何中的最值问题 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考

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立体几何--立体几何中的最值问题 典型考点归纳
专项练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知某圆锥放置于半径为的球内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．2
3．已知一个圆锥的体积为，圆锥内有一圆柱，圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则该圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．将半径为的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，将该圆锥切割成一个球体，则该球体表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．点是底面上的动点，且，则最大值为
C．的中点到平面的距离为
D．与平面所成角的正弦值的取值范围为
7．如图，直四棱柱的底面是菱形，，点是棱的中点，若动点满足，点的轨迹截该四棱柱所得形状为，则（ ）

A． B．为梯形
C．的最小值为 D．的最小值为
8．已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，是底面圆周上异于，的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．当时，三棱锥的体积最大
C．直线与直线夹角的取值范围是
D．若二面角的大小为，则的面积为
9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）

A．
B．若为线段上的一个动点，则的最大值为3
C．点到直线的距离是
D．直线与平面所成角正弦值的最大值为
10．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（ ）
A．若，，则点到平面的距离为
B．存在使得四棱锥有外接球
C．若，则棱锥体积的最大值为
D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，
三、填空题
11．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .
12．已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为 .
13．在三棱锥中，平面VAC，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时， ．
14．三棱锥的体积为，且，，则三棱锥的外接球半径的最小值为 .
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，，，且与平面所成角的正切值为，
①当时，求三棱锥的体积；
②求的最大值.
16．如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)设，，点F在线段BD上，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值.
17．在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面内与球M表面上的动点，则称的最小值为平面与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱中，，，，，点在线段AD上，且，点在线段上．
(1)求直线CD与外接圆的“线圆距离”；
(2)求平面与三棱锥外接球的“面球距离”；
(3)当平面与三棱锥外接球的“面球距离”为零时，求的最大值．
18．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，．
(1)若点为线段的中点，证明：//平面；
(2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积.
19．已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示：
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B B B BD ABD ABD BD ACD
1．A
设，三棱锥外接球的半径为R，由外接球的表面积可求出R，结合二面角的大小可求出a，当时，点P到平面ABC的距离最大，即体积最大．
设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得，
设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为，
过点作平面APC的垂线，过点作平面ABC的垂线，两垂线交于点O，
即为三棱锥外接球的球心．
因为二面角的大小为，所以，
于是，，
，
因为，即，
解得，即，
因为，所以当时，点P到平面ABC的距离最大，
其最大距离为，
所以三棱锥体积的最大值等于.
故选：A.
2．A
设圆锥的高为，半径为，结合圆锥的外接球半径与其高、底面半径的几何关系及圆锥体积公式得，，利用导数研究其最值，即可得.
由题意，要使圆锥体积最大，则圆锥外接球为球，
设圆锥的高为，半径为，故，则，
由圆锥的体积为，且，
所以，故时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，最大.
故选：A
3．B
作出圆锥的轴截面，分别设圆锥和圆柱的底面圆半径为，设圆锥的高为，由题意判断圆柱的上底面与圆锥的侧面相接时，圆柱的体积最大，利用三角形相似求出圆柱的体积表示式，，通过对求导，判断的单调性，即可求得的最大值.
如图，作出圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为，高，
则，即（*），由题意，当圆柱的上底面与圆锥的侧面相接时，圆柱的体积最大.
设圆柱的底面圆半径，由图易得，则，
于是，即，则，
则圆柱的体积为，将（*）代入化简得：，
将对求导得：，则当时，，当时，，
即在时单调递增；在时单调递减.
故当时，取得最大值，为.
故选：B.
4．B
设圆柱的底面半径为，高为，由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，由此确定，，的关系，再求圆柱的侧面积表达式并利用基本不等式求其最值.
设圆柱的底面半径为，高为，
由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，此时圆柱的轴的中点为球的球心，
所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
所以，
由圆柱的侧面积公式可得，圆柱的侧面积，
所以，当且仅当时等号成立，
所以可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为.
故选：B.
5．B
设切出的球体的最大半径为，根据条件得出，计算可得，然后根据球体的表面积公式计算即可.
因为该圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，
所以该圆锥的底面半径和高均为2，设切出的球体的最大半径为，
能切割成的一个球体为圆锥的内切球，内切球的的大圆即为等腰直角三角形的内切圆，
则，得，此时该球体的表面积.
故选：B.
6．BD
根据向量线性关系计算判定A，以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，设的坐标，根据垂直关系列方程求出轨迹方程，计算判定B，证明为平面的法向量，根据点到平面的距离公式，判断C，应用线面角定义证明为直线与平面所成角，计算得出正弦值范围判定D.
对于A：当时，，
，
，A错误；
对于B： 以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
因为点是底面上的动点，故可设，，
所以，，
因为，所以，故，
所以点的轨迹为线段，的最大值为，B正确；
对于C：因为，
所以，，
所以，，
所以向量为平面的一个法向量，
取线段的中点，则，，
所以点到平面的距离，
所以的中点到平面的距离为，C错误；
对于D：因为平面，所以为直线与平面所成角，
所以与平面所成角的正弦值为，
又时，取最大值，此时与平面所成角的正弦值取最小值，
当时，取最小值，此时与平面所成角的正弦值取最大值，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确；
故选：BD.
7．ABD
根据题意，余弦定理及勾股定理即可分别求出，，进而即可判断A；依题意可确定点P的轨迹是过的中点且与垂直的平面，从而在直四棱柱上得出形状为，再根据梯形的判定即可判断B；根据即可判断C；先设点到平面的距离为，从而得到的最小值为，再根据等积法，进而求解即可判断D．
对于选项A，连接，，，

由直四棱柱的底面是菱形，，
则是等边三角形，即，所以，
又点是棱的中点，则，
所以由余弦定理得，
且，
在直四棱柱中，平面，
又平面，则，所以，
所以，故A正确；
对于选项B，如图，连接，，
因为动点P满足，所以点P的轨迹是过的中点且与垂直的平面，
又在直四棱柱中，，则是正方形，
所以过的中点且与垂直，
如图，分别取和的中点为和，连接，，，
在中，由，，，
则，
所以，即，即，
又平面，且平面，则，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以，
又和的中点分别为E和F，则，所以，
由，且，，平面，
所以平面，即点P的轨迹截该四棱柱所得形状是四边形，
又分别取和的中点为和，连接，，
则，，但与不平行，所以与也不平行，
所以为梯形，故B正确；

对于选项C，因为，所以，
连接，由，则，
所以，当P为与平面的交点时取“=”，故C错误；

对于选项D，设点到平面的距离为，则的最小值为，
连接，，，，，
结合选项A有，，，，
则，
所以是等边三角形，即，则，
结合选项B有，又，则，，
所以，即是直角三角形，所以，
又，即，
即，解得，
所以的最小值为，故D正确．

故选：ABD．
8．ABD
A选项，利用圆锥的侧面积公式可判断A；B选项，的面积最大时，三棱锥的体积最大；C选项，设点关于圆心的对称点为，得到 为所求角，在 中用表示出，结合的取值范围可判断；D选项，取的中点，得，利用勾股定理计算出与的长度，可得的面积.
对于A，由已知可得，，
所以，
则圆锥的侧面积，A正确.
对于B，当时，，此时的面积最大，即三棱锥的体积最大，故B正确.
对于C，设点关于圆心的对称点为，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即，
在等腰三角形中，
所以，则，C错误.
对于D，可知和都是等腰三角形，取的中点，连接，，可知，，
则是二面角的平面角，，可以求得，
所以，，，
故的面积为，D正确.
故选：ABD.
9．BD
由向量的线性运算代入计算，即可判断A，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断BCD
对于A项，因为
，
所以，故A项错误；
对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，
设点，使，，
则，故，则
，
因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故B项正确；
对于C项，又，则，，
故得：，，
则点到直线的距离为：，故C项错误；
对于D项，设平面的一个法向量为，
所以，取，所以
由，则，
设为与平面所成的角，
则，
又，当且仅当时，取等号
知，D项正确.
故选：BD
10．ACD
对于A，由线面平行将点到平面的距离转化成点到平面的距离即可求解，对于B,通过四边形没有外接圆即可判断，对于C，确定的长度，结合体积公式及基本不等式即可判断,对于D，补全长方体即可判断.
，，易知平面ABC,平面，
易知面
故点到平面的距离为即为点到平面的距离，
因为，所以，所以，
所以为二面角的平面角，
又为平面内两条相交直线，
所以平面，
所以平面，又在平面内，
所以平面平面，
所以到平面ABC的距离即为到，
A选项：，，即，三角形等边三角形，
可得：到的距离为，故A正确；
B选项：由于直角梯形不可能共圆，所以四棱锥无外接球，所以B错误；
C选项：由题意可知，，，
,
，
由基本不等式可知：，
当且仅当，即时取得最大值，
所以,
所以当，时，体积取到最大值，故正确；
D选项：由题意可知，，，
，也即两两垂直，
可以依次构造长方体，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为r，
则，，
所以时，取得最小值，此时，所以D正确．
故选：ACD
11．
中，因为，
所以.
由余弦定理可得
，
所以.
设，则，.
在中，由余弦定理可得
.
故.
在中，，.
由余弦定理可得，
所以.
过作直线的垂线，垂足为.设
则，
即，
解得.
而的面积.
设与平面所成角为，则点到平面的距离.
故四面体的体积
.
设，因为，所以.
则.
（1）当时，有，
故.
此时，
.
，因为，
所以，函数在上单调递减，故.
（2）当时，有，
故.
此时，
.
由（1）可知，函数在单调递减，故.
综上，四面体的体积的最大值为.
12．
取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可.
取线段的中点，连接，
因，，，
则由勾股定理可知，，，则，
则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为
因，则由勾股定理可知，，
因为的中点，则，
设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为，
则，
欲使截面面积最小，即最小，则要求最大，
当垂直截面时，最大，最大值为，
则的最小值为，则截面面积的最小值为.
故答案为：
13．
通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案.
根据题意，在平面内，过点作，交于点；
在平面内，过点作，交于点；
在平面内，过点作，交于点，连接，如图所示，
因为，则，设其相似比为，即，
则；
又因为，，，
由余弦定理得，，则，
即.
又平面，，平面，所以，.
又，则，.
因为，则，则，
因为，所以，即，
同理可得，即，
因为，，则，
故四边形为平行四边形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四边形为截面图形；
又平面，平面，则，
又，所以.
故平行四边形为矩形，则，
所以当时，有最大值，则，
在中，.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：先作平行线作出题中的截面，再证明四边形为符合题意的截面图形，结合线面平行以及线面垂直说明四边形为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，利用二次函数求出最值得解.
14．/
根据体积公式可得三棱锥的高，利用正余弦定理可得外接圆的半径，进而根据勾股定理列方程，即可求解.
过点作平面于点，
取的外心为，三棱锥的外接球球心为，
连接，过作交于，
故平面,则，进而可得四边形为矩形，
由余弦定理可得,
由正弦定理可得，
又解得，
设,外接球的半径为，
则，故，
因此，故，
所以,即，
故半径的最小值为，
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)①；②
（1）利用三角形中位线性质证明，从而证明平面；
（2）①找出与平面所成的角，通过其正切值求出线段长度，进而用体积公式求解；②建立空间直角坐标系，通过条件求出与的关系，进而通过基本不等式求出最大值.
（1）因为，分别是线段，的中点，所以线段是的中位线，故.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）①当时，即.
由上题可知，线段是的中位线，所以.
因为平面，且平面，所以，.
在直角中，，，故，又因为是中点，所以.
在直角中，，，所以.
在直角中，，，所以，又因为是中点，所以.
在中，，，故，所以为直角三角形，其中.
故，而， 平面，
故平面，
所以线段为线段在平面上的投影，则与平面所成的角为.
因此，，解得.
故的面积为，三棱锥的体积为.
②过点做平面，垂足为.
以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系.

则，，，，，.
故，，直线的方向向量.
设平面的法向量.故，即，所以.
取.
设直线与平面的夹角为，故，易得.
而.
两边同时平方得，，交叉相乘得.
移项合并得.化简得，进而有.
由基本不等式得，，当且仅当时，即时等号成立.
所以.
故的最大值为.
16．(1)证明见解析
(2)（i），（ii）
（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解.
（1）由于，
故，则，
由于E为AC的中点，所以，
因为平面，
故平面，又平面，
故平面平面.
（2）（i）因为，
所以为边长为2的等边三角形，则，
，
，
又平面，
故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
令，则，
平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
（ii）设则，
所以，
则，
当且仅当时取到等号，故的最大值为
17．(1)
(2)
(3)
（1）建立空间直角坐标系，求出外接圆的圆心为的中点，即，求出外接圆方程和直线CD的方程，利用点到直线距离公式得到圆心到直线CD的距离，得到答案；
（2）三棱锥外接球的球心为，半径为，求出平面的一个法向量，求出球心到平面的距离，得到“面球距离”为；
（3）设，则，求出平面的一个法向量，得到点到平面的距离为，根据“面球距离”为零，得到，得到不等式，计算出的最大值是.
（1）以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
，
在平面上，外接圆的圆心为的中点，即，
且，
故外接圆方程为：，
直线CD的方程为，即，
圆心到直线CD的距离为，
所以“线圆距离”是．
（2）外接圆的圆心为，又，
故三棱锥外接球的球心为，半径为，
设平面的一个法向量为，
则，
解得，令，则，故，
故到平面的距离为，
故“面球距离”为；
（3），设，则，
，，，
记平面的一个法向量为，
则，即，取，
所以点到平面的距离为，
当球与平面相切或相交时，即“面球距离”为零，
所以，即，
令，代入得，
即，得，故，
或者直接化简得，
从而，所以的最大值是．
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）构造线线平行，可证线面平行.
（2）建立空间直角坐标系，根据直线与底面所成角的正弦值最大，确定点位置，再求三棱锥的体积.
（1）取中点，连接，.如图：
因为为中点，所以且.
又且，
所以且.
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以且.
由，，，所以四边形为正方形，
所以，.
因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
在平面内作直线的垂线，
则平面，有，.
以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系.
因为，所以平面，
因为平面，所以.
由，，可得.
由余弦定理，,
所以.
所以，，.
所以，.
设，
.
底面的一个法向量为.
设直线与底面所成的角为，
则.
当时，；
当时，.
所以当时，取得最大值.
此时，.
所以到平面的距离为，
又，
所以此时三棱锥的体积为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）相似可得，，结合勾股定理逆定理得到，以及折叠后，，即可证明;（2）证明点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，运用等体积法即可求解；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PBC法向量，再用向量夹角余弦值公式求解即可.
（1）直角梯形中，
由相似可得，
因为，，可得，，
故可得，，
由，则由勾股定理逆定理得，，即，
，
翻折后可得，，，
又因为，在平面内，
故平面
（2）因为点为边的中点，
所以，又，
所以，
因为平面，所以平面平面，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为为定值，
当h最大时，三棱锥的体积最大，
而，则，
当h=1时，.
（3）由（2）得，当三棱锥的体积最大时，
点P到平面ABC的距离为，即平面．
故，，
又因为，
故，，两两垂直．
故可以为原点，
直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由题可得，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
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