第6章 实数 单元测试（含解析）-沪科版数学七年级下册

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第6章 实数 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）的平方根是（）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．
C．无理数都是无限小数 D．的平方根是
4．（本题3分）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．一个无理数
5．（本题3分）在下列实数中：，0，，，，π，，…（每两个4之间1的个数依次加1），无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（本题3分）的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）若，则x等于（ ）
A．3 B． C． D．
8．（本题3分）制作一个表面积为12的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（ ）
A． B． C．2 D．
9．（本题3分）已知三边不相等的三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足 那么这个三角形的最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）已知，，它们在数轴上的位置对应点A，B（如图），下列说法错误的是（ ）
A．A，B之间的整数有三个 B．
C． D．A，B之间最小的无理数是
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）的立方根是______．
12．（本题3分）比较大小：______．
13．（本题3分）若，则___________．
14．（本题3分）数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数_____．
15．（本题3分）已知某正数的两个不同平方根分别是和，则这个正数为__________．
16．（本题3分）如果，则，例如，则．根据规定，若，则_____．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）求下列各式的值
(1)
(2)
(3)
(4)
18．（本题8分）将下列各数填入相应的括号里：
（每两个1之间依次多一个0），．
负数集合：{___________…}；
分数集合：{___________…}；
非正整数集合：{___________…}；
无理数集合：{___________…}．
19．（本题8分）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根．
20．（本题8分）计算：
21．（本题8分）一个正方体的体积是，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的边长及其表面积．
22．（本题10分）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)求的值．
23．（本题10分）已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．求的平方根．
24．（本题12分）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
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《第6章 实数 单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A C A D B B D
1．D
【分析】根据平方根的意义，即可解答．本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
【详解】解：的平方根是，
故选：．
2．B
【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，原计算错误；
D. 无意义，原计算错误；
故选B．
3．C
【分析】本题考查立方根、平方根和无理数的基本概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据定义逐一判断：立方根只有一个实根；平方根运算结果非负；无理数是无限不循环小数；负数无实数平方根．
【详解】选项A：的立方根是3，不是，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：无理数是无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，符合题意；
选项D：负数没有实数平方根，不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了无理数的估算；由题意确定出m与n的值即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根、立方根，先化简，再结合无限不循环小数即为无理数，即可作答．
【详解】解：依题意，，
，，（每两个4之间1的个数依次加1），都是无理数，
∴无理数的个数是3个，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根.
直接计算 的算术平方根即可.
【详解】解：∵ ，
∴的算术平方根是.
故选：A.
7．D
【分析】此题主要考查了算术平方根的性质．直接利用算术平方根的性质得出x的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查正方体表面积公式和算术平方根的应用，关键是掌握表面积公式并正确求解方程．设正方体的棱长为a，根据正方体表面积公式列方程求解．
【详解】解：设正方体的棱长为a，
∵ 正方体的表面积为，且给定表面积为12，
∴，
∴，
∴ （取正值）．故棱长为，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查三角形三边关系，算术平方根和绝对值非负性等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
通过方程求出a和b的值，再根据三角形三边关系得到c的范围，结合c是最长边的条件，即可确定c的取值范围．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵最长边为c，
∴，
即这个三角形的最长边c的取值范围是．
故选：B
10．D
【分析】本题考查了实数的绝对值性质、平方比较法的应用、数轴上整数的识别及无理数的基本特征，解题的关键是通过平方运算比较无理数绝对值的大小，结合整数范围和无理数的无限性逐一验证选项．
先明确、，利用“若正数，则”推导、的取值范围；选项A通过确定和所在的整数区间，找出两点间的整数；选项B计算和，直接比较大小；选项C根据（正数）、（负数），结合正数大于负数判断；选项D依据无理数的无限性，说明A、B之间不存在最小无理数．
【详解】解：已知，．
A、因，且，故；
又，，故．
因此A、B之间的整数为，共三个，此选项符合题意；
B、因，，故，此选项符合题意；
C、（正数），（负数），正数大于负数，故，此选项符合题意；
D、A、B之间的无理数有无数个（如，满足），不存在最小的无理数，此选项不符合题意；
故选：D．
11．
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键．
【详解】解：因为表示的算术平方根，
所以 ，
所以的立方根是 ，即的立方根是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了无理数的大小估算，无理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先估算出，，即可得出答案．
【详解】解：,
，
，即，
，
故答案为：．
13．
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键．
14．/
【分析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上点的移动规律是解题的关键．
根据数轴上点的平移规律得到点对应的数即可．
【详解】解：∵点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点，
∴点表示的数为．
故答案为：．
15．64
【分析】本题考查平方根的定义，明确平方根是一对相反数是解决此题的关键； 先根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，进而可得m的值， 再由平方根的定义可得这个正数．
【详解】解：∵该正数的两个不同平方根分别是和，
∴，
解得：，
∴，
∴这个正数为．
故答案为：64．
16．2
【分析】本题主要考查新定义的问题及乘方运算可进行求解；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得，
∴；
故答案为2．
17．(1)15
(2)
(3)4
(4)
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，解题的关键是掌握求算术平方根和立方根的法则．
（1）利用求一个数的算术平方根法则求解即可；
（2）先求出的算术平方根，再取其相反数即可；
（3）利用求一个数的立方根法则求解即可；
（4）利用求一个数的立方根法则求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
18．； ；
； （每两个1之间依次多一个0
【分析】本题考查实数的分类，根据实数和有理数的分类方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：负数集合：{,...}；
分数集合：{，...}；
非正整数集合：{,...}；
无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．}
19．2
【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义，即可得到，然后即可求得a的值；同理可以得到，即可得到b的值，进而求得答案．
【详解】解：∵的平方根为，
∴，
∴，
∵的算术平方根为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的立方根是2．
20．
【分析】先根据乘方运算法则、绝对值的意义、算术平方根的定义和二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握乘方运算法则、绝对值的意义、算术平方根的定义和二次根式的性质，是解题的关键．
21．边长，表面积
【分析】根据题意知大正方体的体积为，则其边长为体积的立方根，可求得表面积．
【详解】解：正方体的体积为：，
即正方体的边长为：，
则正方体的表面积为：，
答：边长，体积．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算以及立方根的知识，掌握正方体的体积公式和表面积公式是解答本题的关键．
22．(1)11
(2)
【分析】（1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数相应的运算法则进行求解即可；
（2）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数相应的运算法则进行求解即可．
本题考查有理数的混合运算、新运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
23．±4
【分析】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、代数式求值．利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，再代入中，即可求解．
【详解】解：∵的立方根是，
∴，
解得，，
∵的算术平方根是3，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的整数部分为6，即，
因此，，，，
∴，
的平方根为．
24．(1)
(2)
(3)或，或，
【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：∵，即，
∴或1或
解得：或或
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴当时，
当时，；
当，．
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