《学霸笔记 同步精讲》第一章 3.2 等比数列的前n项和（课件）北师大版数学选择性必修2

(共45张PPT)
3.2　等比数列的前n项和
第一章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握等比数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等比数列前n项和的性质.
3.能够应用等比数列的前n项和公式解决问题.
4.提升逻辑推理和数学运算能力.
自主预习 新知导学
一、等比数列前n项和公式
【问题思考】
1.在等比数列{an}中,已知首项a1=m,公比q=1,求前n项和Sn.
提示:Sn=nm.
2.若q≠1,试用a1和q表示Sn.
提示:设数列a1,a2,a3,…,an,…,它的前n项和Sn=a1+a2+…+an.写成公比q与首项a1的形式为Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
两边同乘公比q,得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,②
①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,
3.等比数列的前n项和公式
4.在等比数列{an}中,已知a1=3,q=2,则S6= .
答案:189
5.当q≠1时,等比数列{an}的前n项和Sn是关于n的函数,该函数的解析式有什么特点
二、等比数列前n项和的性质
【问题思考】
1.在等比数列{an}中,已知a1=1,q=2,试判断S2,S4-S2,S6-S4是否成等比数列
提示:成等比数列.
2.等比数列前n项和的性质:
设Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn, S2n-Sn , S3n-S2n ,…成等比数列(q≠-1).
3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,则S30=　　　　　.
解析:∵S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,
又S20-S10=20,∴S30-S20=40,
∴S30=40+30=70.
答案:70
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)已知等比数列{an}共2n项,其中奇数项的和为240,偶数项的和为120,则该等比数列的公比q=2.( × )
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1-1,则a=1.( × )
(3)若数列{an}为等比数列,且an>0,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列.( √ )
(4)若Sn为等比数列的前n项和,则S3,S6,S9成等比数列.( × )
(5)前n项和公式Sn= 对一切等比数列都成立.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
等比数列前n项和公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中,
(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;
(2)若a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5;
(3)若q=2,S4=1,求S8.
分析　利用等比数列的通项公式和前n项和公式,列出关于a1和q的方程(组)求解,注意整体思想的应用.
在等比数列{an}的前n项和公式中,共有a1,q,n,Sn四个量,已知其中三个量便可求出另外一个量,其中a1,q是最基本的元素.当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q列方程组求解.在解方程组时经常用到将两式相除以达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【变式训练1】 (1)在等比数列1,2,4,…中,第5项到第10项的和是　　　　　.
(1)解析:∵首项a1=1,公比q=2.
答案:1 008
(2)解:设{an}的公比为q.∵S6≠2S3,
∴q≠1.
探究二
等比数列前n项和的性质应用
【例2】 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=7,S6=91,则S4=(　　).
A.28 B.32
C.21 D.28或-21
(2)在等比数列{an}中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+…+a80=　　　　　.
解析:(1)∵数列{an}为等比数列,
∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列.
即7,S4-7,91-S4成等比数列,
∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,
∴S4=28.
(2)设M=a2+a4+a6…+a80,
N=a1+a3+a5+…+a79.
则 =q=3,即M=3N.
又M+N=S80=32,
∴ M=32,解得M=24,
即a2+a4+a6+…+a80=24.
答案:(1)A　(2)24
1.在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时,若项数为2n,则 =q(S奇≠0);若项数为2n+1,则 =q(S偶≠0).
2.若等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
【变式训练2】 (1)已知等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　　.
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=　　　　　.
答案:(1)2　(2)30
探究三
数列求和
分析　本题中的数列是由数列1,3,5,7,…与 ,…的各项对应相乘得到的,可用错位相减法求和.
对于一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn},求和时采用错位相减法,解题步骤为:
(1)令cn=anbn,写出Sn=c1+c2+…+cn;
(2)等式两边同乘等比数列的公比,得qSn=qc1+qc2+…+qcn;
(3)两式错位相减,转化成等比数列求和;
(4)两边同除以1-q,求出Sn,在此需对q是不是1进行讨论.
【变式训练3】 设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)∵bn=,∴bn=n×3n.
∴Sn=3+2×32+3×33+…+n×3n,③
∴3Sn=32+2×33+…+(n-1)3n+n×3n+1.④
③-④得,-2Sn=3+32+33+…+3n-n×3n+1=-n×3n+1
=(3n-1)-n×3n+1=-n×3n+1,∴Sn=-,
∴Sn=,n∈N+.
探究四
等比数列前n项和公式的实际应用
【例4】 某地本年度旅游业收入估计为400万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加 .
(1)求n年内旅游业的总收入;
(2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过8 000万元.(参考数据:
lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0)
1.解数列应用题的具体步骤.
(1)认真审题,理解题意,达到如下要求.
①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题,还是等比数列问题,还是递推数列问题,是求an,还是求Sn,特别要注意准确弄清项数为多少.
②弄清题目中主要的已知条件.
(2)抓住数量关系,联想所学的数学知识和数学方法,恰当地引入参数变量,并将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.
(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求的量联系起来,并根据题意列出数学关系式.
2.价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率等问题常归结为等比数列模型,即从实际背景中抽象出数学事实,归纳转化为数列问题去解决.
【变式训练4】 某市2021年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2022年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.
(1)该市在2026年应该投入多少辆电力型公交车
(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的
(参考数据:lg 657≈2.82,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
解:(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an},其中a1=128,q=1.5,则在2026年应该投入的电力型公交车为a5=a1·q4=128×1.54=648(辆).
(2)记Sn=a1+a2+…+an,
【思想方法】
分类讨论思想在数列求和中的应用
【典例】 已知数列{an}是等比数列,试判断该数列从第一项起依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列.
解:设bn=a(n-1)k+1+a(n-1)k+2+…+ank,且数列{an}的公比为q,则当q=1时,b1=b2=…=bn=ka1.
所以{bn}是公比为1的等比数列.
所以{bn}是公比为qk的等比数列.
当q=-1时,若k为偶数,则bk=0,此时{bn}不是等比数列;
若k为奇数,则{bn}是公比为-1的等比数列.
综上所述,当{an}的公比不为-1时,数列{bn}仍为等比数列;
当{an}的公比为-1时,若k为偶数,则{bn}不是等比数列,若k为奇数,则数列{bn}是公比为-1的等比数列.
分类讨论能使有关问题简单化,分类讨论时应注意标准统一,且分类不重不漏.一般来说,研究等比数列前n项和时应讨论公比q=1和q≠1两种情况.
【变式训练】 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为　　　　　.
解析:当q=1时,Sn+1=(n+1)a1,Sn=na1,Sn+2=(n+2)a1,不满足Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,
又2Sn=Sn+1+Sn+2,
∴2(1-qn)=1-qn+1+1-qn+2,
2qn=qn+1+qn+2,2=q+q2,
∴q=-2或q=1(舍去).
答案:-2
随堂练习
答案:B
2.若等比数列{an}的前n项和Sn=k×3n+1,则k的值为(　　).
A.全体实数 B.-1
C.1 D.3
解析:当n=1时,a1=S1=3k+1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=k·3n-k·3n-1=2k·3n-1.
令3k+1=2k,得k=-1.
答案:B
4.已知等比数列{an}有偶数项,其公比q为2,奇数项的和为10,则所有项的和为　　　　　.
解析:S=S奇+S偶=S奇+S奇·q=10+10×2=30.
答案:30
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且通项an=n×2n,求Sn.
解:　∵an=n×2n,
∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n.①
∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②
①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1
=(1-n)2n+1-2.
∴Sn=(n-1)2n+1+2.