《学霸笔记 同步精讲》第一章 4 数列在日常经济生活中的应用（课件）北师大版数学选择性必修2

(共29张PPT)
§4　数列在日常经济生活中的应用
第一章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能够根据实际问题建立等差数列或等比数列模型.
2.掌握单利、复利的概念,掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用.
3.提升数学建模和数学运算能力.
自主预习 新知导学
一、等差数列模型
【问题思考】
1.银行存款的计息方式有单利和复利两种,哪种方式的存款符合等差数列模型
提示:单利.
2.单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为利息=本金×利率×存期.
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(以下简称本利和),则有S=P(1+nr).
3.小王将100元存入银行三年,年利率为1%,则三年后的利息为　　　　　.
答案:3元
二、等比数列模型
【问题思考】
1.将M元本金存三年,年利率为r,若按复利计算,则到期后的利息是多少
提示:M(1+r)3-M.
2.复利:复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(以下简称本利和),则复利的计算公式是S=P(1+r)n.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)日常生活中的问题都可以转化为等差数列或等比数列问题求解.( × )
(2)银行中的零存整取问题是等差数列问题.( √ )
(3)本金为P,年利率为r,若采用复利计算,则n年后得到的利息为P(1+r)n.( × )
(4)分期付款问题一定可转化为数列问题求解.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
与等差数列有关的应用题
【例1】 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以后每一天售出的服装都比前一天多15件,直到4月12日销售量达到最大,其后每一天售出的服装都比前一天少9件.
(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an(单位:件),销售天数为n,1≤n≤30,求an关于n的函数解析式;
(2)求4月份该款服装的总销售量.
解:(1)由题意知,数列a1,a2,…,a12是首项为10,公差为15的等差数列.
所以an=15n-5(1≤n≤12,且n∈N+),
又a13,a14,…,a30是首项为a13=a12-9=166,公差为-9的等差数列,
所以an=166+(n-13)×(-9)=-9n+283(13≤n≤30,且n∈N+).
按例1中的规律,当商场销售该款服装超过1 200件时,该款服装在社会上就开始流行;当该款服装的日销售量连续下降,且日销售量低于100件时,该款服装在社会上不再流行.问:该款服装在社会上流行是否超过10天 请说明理由.
解:4月1日至4月12日的销售总量为 =1 110(件)
<1 200(件),1 110+a13=1 276>1 200,即从13日起该款服装开始流行.
令-9n+283<100,得n> ,
故从21日起,该款服装不再流行.
又21-13+1=9<10,故该款服装在社会上流行没有超过10天.
等差数列求和在实际生活中应用广泛,如行程、相遇问题等,解题关键在于分清已知量、未知量,利用转化思想将实际问题转化为等差数列问题,从而建立数学模型解决问题,联系实际作出正确解答.
3 779.82-3 691.908≈87.91(元).
答:(1)“教育储蓄”一次支取本息3 779.82元.(2)比“零存整取”多87.91元.
【变式训练1】 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1日开始,每个月的1日都存入100元,存期三年.
(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.到期时,李先生一次可支取本息多少元
(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰.李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元 (注:零存整取要收20%的利息税)(精确到0.01元)
探究二
与等比数列有关的应用题
【例2】 某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5 000元;两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多.
(参考数据:1.0510≈1.6,1.310≈13.8,1.510≈57.7)
银行贷款本息和:10×(1+5%)10≈16(万元),
故甲种方案获利:42.7-16=26.7(万元).
乙种方案获利:1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)
故乙种方案获利:32.5-12.6=19.9(万元).
综上,由26.7>19.9可得,甲方案获利更多.
解决这类问题,要掌握分期付款问题的两种常用处理办法:(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前n项,并由此归纳出数列的通项公式;(2)以贷款和存款及增值两条线索分别计算,并由它们的相对平衡(或大小)建立方程(或不等式).
【变式训练2】 某工厂食堂每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某工人每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择,已知他第一天选择米饭套餐的概率为,而前一天选择米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为,前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为,如此往复.记该工人第n天选择米饭套餐的概率为pn.
(1)求p2的值,以及pn与pn-1(n≥2,n∈N)之间的关系式;
(2)求r,s的值,使pn-s=r(pn-1-s);
(3)当n≥2时,pn≤m恒成立,求m的最小值.
解:(1)由题意,得p1=,p2=p1+(1-p1)=,pn=pn-1+(1-pn-1)=-pn-1+ (n≥2,n∈N).①
(2)由pn-s=r(pn-1-s)可得pn=rpn-1-rs+s.②
比较①②的系数,可得解得
(3)由(2)知,数列{pn-}是公比为-,首项为的等比数列,则pn=×(-)n-1,当n为偶数时,pn=×()n-1<,当n为大于1的奇数时,pn=×()n-1≤×()2=,所以当n≥2时,pn≤,所以m的最小值为.
【规范解答】
数列应用问题的解法
【典例】 某地投入资金进行专项建设,并以此发展旅游业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式.
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入
故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.
答题模板:第一步,审题,构建数列模型.
第二步,由题设确定数列为等比数列或等差数列,求得有关量;或建立递推关系,化归为等差数列或等比数列.
第三步,解决相应数列问题.
第四步,回扣原题,作答.
【变式训练】 现在某企业进行技术改造,有两种方案.
甲方案:一次性贷款10万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;
乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年都比前一年增加利润5千元.
两种方案使用期都是10年,到期一次性还本付息.若银行贷款利息均按年息10%的复利计算,试比较两种方案的优劣.(计算时,精确到0.01万元,取1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解:甲方案10年共获利1+(1+30%)+…+(1+30%)9=≈42.63(万元).
到期时,银行贷款本息为10×(1+10%)10≈25.94(万元).
所以按甲方案扣除贷款本息后,净收益为42.63-25.94=16.69(万元).
乙方案10年共获利1+1.5+…+(1+9×0.5)==32.5(万元),
到期时,银行贷款本息为(1+10%)+(1+10%)2+…+(1+10%)10=1.1×≈17.53(万元).
所以按乙方案扣除贷款本息后,净收益为32.5-17.53=14.97(万元).
所以甲方案略优于乙方案.
随堂练习
1.某银行计划从2022年起,力争做到每年的吸储量比前一年增长8%,则2025年底该银行的吸储量将比2022年的吸储量增加(　　).
A.24% B.32%
C.(1.083-1)×100% D.(1.084-1)×1.083
解析:设2022年吸储量为a,则2023年吸储量为a(1+8%),
2024年吸储量为a(1+8%)2,2025年吸储量为a(1+8%)3,
故2025年底比2022年增加(1.083-1)×100%.
答案:C
2.据科学计算,某运载火箭点火1 min内通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在到达离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是　　　　　min.
解析:设经过x min到达离地面240 km的高度.由已知得每分钟行驶的路程组成首项为2,公差为2的等差数列,故有2x+ ×2=240,即x2+x-240=0,解得x=15或x=-16(舍去负值).
答案:15
3.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点了381盏灯,则底层所点灯的盏数是　 .
答案:192