《学霸笔记 同步精讲》第一章 5 数学归纳法（课件）北师大版数学选择性必修2

(共35张PPT)
*§5　数学归纳法
第一章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解数学归纳法的原理.
2.掌握利用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤.
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
4.提升逻辑推理能力.
自主预习 新知导学
数学归纳法
【问题思考】
1.对于数列{an},假设当n=k(k∈N+)时,ak=f(k)成立,且当n=k+1时,ak+1=f(k+1)也成立,此时我们能否断定数列{an}的通项公式为an=f(n)
提示:不能.
2.数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:
(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
3.一个关于自然数n的命题,如果证得当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1,且k∈N+)时命题成立的基础上,证得当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于(　　).
A.一切正整数命题成立
B.一切正奇数命题成立
C.一切正偶数命题成立
D.以上都不对
答案:B
4.数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么
提示:数学归纳法中两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两者缺一不可.另外,在第二步中证明n=k+1时命题成立,必须利用归纳假设,否则就不是数学归纳法.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)用数学归纳法证明问题时,第1步是验证当n=1时结论成立.( × )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( × )
(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( × )
(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了1项.( × )
(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证当n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( √ )
(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
用数学归纳法证明恒等式
分析　利用数学归纳法证明,注意an=Sn-Sn-1的应用.
用数学归纳法证明等式的规则
(1)要充分利用定义,其中两个步骤缺一不可,缺第一步,则失去了递推基础,缺第二步,则失去了递推依据.
(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律,两边各有多少项,并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设,不利用n=k时的假设去证明,就不是数学归纳法.
【变式训练1】 用数学归纳法证明:+…+(n∈N+).
探究二
用数学归纳法证明不等式
【例2】 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式
×…×(1+)>成立.
证明:(1)当n=2时,左边=1+,右边=,左边>右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时不等式成立,即×…×.
那么,当n=k+1时,×…×(1+
=
=
>
=
=,
即当n=k+1时不等式也成立.
由(1)和(2)知,对一切大于1的自然数n,不等式成立.
应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式的证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是“由n=k成立,推证n=k+1时也成立”,证明时用到归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法及放缩法等证明方法.
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,且k∈N+)时,不等式成立,
故当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.
探究三
“归纳—猜想—证明”问题
(1)猜想正整数a的最大值;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
分析　先由特殊值归纳猜想得到a的值,再用数学归纳法证明不等式.
即当n=k+1时不等式也成立.
整数a的最大值为25.
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
【变式训练3】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N+).
(1)写出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想,并求出an的表达式.
解:(1)因为a1=1,Sn=n2an,所以S1=a1=1.
(2)下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当n=1时,结论显然成立.
【易错辨析】
因未用归纳假设致误
【典例】 用数学归纳法证明1+4+7+…+(3n-2)= n(3n-1).
错解:证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,
因为等式左边是一个以1为首项,3为公差的等差数列的前(k+1)项的和,其
所以(*)式成立,
即当n=k+1时等式成立.
根据(1)和(2),可知等式对一切n∈N+都成立.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解在证明当n=k+1等式成立时,没有用到假设“当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立”,故不符合数学归纳法证题的要求.
正解:证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,
根据(1)和(2),可知等式对一切n∈N+都成立.
判断用数学归纳法证明数学问题的过程是否正确,关键要看两个步骤是否齐全,特别是第二步的假设是否被应用,如果没有用到假设,那就不正确.
【变式训练】 证明对任意的n∈N+,×…×均成立.
证明:(1)当n=1时,左边=,右边=,左边>右边,所以结论成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时结论成立,即×…×,
则当n=k+1时,×…×,
所以当n=k+1时,结论成立.
由(1)(2)可知,n∈N+时,不等式×…×成立.
随堂练习
A.7 B.8 C.9 D.10
解析:验证可知当n=1,2,3,4,5,6时,此不等式左边<右边,当n=7时,左边=右边,且左边式子的值随着n的递增而递增,所以可推知当n≥8时,左边>右边,因此n的初始值n0应取8.故选B.
答案:B
答案:C
3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步假设当n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而需证n=　　　　　时,命题为真.
解析:因为n为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.
答案:2k+1
4.有n个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2部分.
证明:(1)当n=1时,圆把平面分为两部分,而12-1+2=2,所以命题成立;
(2)假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,
则当n=k+1时,依题意知第(k+1)个圆与前k个圆产生2k个交点,第(k+1)个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分,
所以平面上增加了2k个区域.
所以f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)知命题成立.