《学霸笔记 同步精讲》第一章 习题课——等比数列（课件）北师大版数学选择性必修2

(共45张PPT)
习题课——等比数列
第一章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.体会等比数列与指数型函数的关系.
4.提升数学运算能力.
自主预习 新知导学
一、等比数列的定义与等比中项
【问题思考】
1.(1)等比数列:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数;
(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项 a,G,b成等比数列 G2=ab.
(2)-4和-9的等比中项为　　　　　.
答案:(1)-1　(2)±6
二、等比数列的前n项和公式及通项公式
【问题思考】
1.(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:
(其中a1为首项,q为公比).
2.(1)已知等比数列{an},公比为-2,它的第n项为48,第(2n-3)项为192,则数列的通项公式为　　　　　　　.
(2)在等比数列{an}中,a1=5,an=160,q=2,则n=　　　　　,Sn=　　　　　.
答案:(1)an=3×(-2)n-1　(2)6　315
解析: (1)由题意得
解得a1=3,所以an=a1qn-1=3×(-2)n-1.
三、等比数列的性质
【问题思考】
1.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N+).
(2)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则 am·an = ap·aq .特别地,若m+n=2p,则aman= .
(3)若等比数列的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列,即
(S2m-Sm)2= Sm(S3m-S2m) (m∈N+,公比q≠-1).
2.(1)在等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于(　　).
A.6 B.5 C.4 D.3
(2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于　　　　　.
解析:(1)数列{lg an}的前8项和S8=lg a1+lg a2+…+lg a8
=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4=lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4.
答案:(1)C　(2)2n-1
(2)由等比数列的性质知a2a3=a1a4,
又a2a3=8,a1+a4=9,
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)满足an+1=qan(n∈N+,公比q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )
(2)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × )
(3)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × )
(4)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn= .( × )
(5)若数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
等比数列基本量的计算
【例1】 (1)在等比数列{an}中,若公比q=4,S3=21,则该数列的通项公式an=(　　).
A.4n-1 B.4n
C.3n D.3n-1
(2)在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=　　　　　.
答案:(1)A　(2)4或-4
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有5个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)解决.
【变式训练1】 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则数列的公比q=　　　　　.
解析:(1)当q=1时,Sn=na1,S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9;
探究二
等比数列的判定
【例2】 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),
故数列{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知bn=an+1-2an=3×2n-1,
将例2中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”,其他条件不变,求数列{an}的通项公式.
解:由已知得n≥2时,Sn=2Sn-1+n.
∴Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,
∴an+1=2an+1.
∴an+1+1=2(an+1).
又a1=1,当n=1时上式也成立,
故数列{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
∴an+1=2×2n-1=2n,∴an=2n-1.
判定一个数列{an}是等比数列的方法:
(1)定义法:若数列{an}满足 =q(q为常数且不为0)或 =q(n≥2,q为常数且不为0),则数列{an}是等比数列.
(2)等比中项法:对于数列{an},若=an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
【变式训练2】 在等差数列{an}中,a10=30,a20=50.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn= ,求证:数列{bn}为等比数列;
(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.
(1)解:设数列{an}的首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,
探究三
与等比数列有关的综合问题
【例3】 已知等比数列{an}满足|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)不存在符合题意的m.理由如下:
与等比数列有关的综合问题一般涉及通项、求和及等比数列的性质等知识,准确掌握基本运算和方法是求解此类问题的基础.
【变式训练3】 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,其中a1=1,且a2,a4,a6+2成等比数列.数列{bn}的前n项和为Sn,满足2Sn+bn=1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)如果cn=anbn,设数列{cn}的前n项和为Tn,是否存在正整数n,使得Tn>Sn成立 若存在,求出n的最小值,若不存在,请说明理由.
【思想方法】
分类讨论思想在等比数列中的应用
【典例】 已知首项为 的等比数列{an}的前n项和为Sn,且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:Sn+ .
(1)解:设等比数列{an}的公比为q,
因为-2S2,S3,4S4成等差数列,
所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,
分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有:
(1)已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况;
(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论;
(3)项数的奇、偶性讨论;
(4)判断等比数列的增减性要注意对a1,q的取值的讨论.
【变式训练】 求数列1,3a,5a2,…,(2n-1)an-1,…(a≠0)的前n项之和Sn.
解:数列1,3a,5a2,…,(2n-1)an-1,…的通项公式为an=(2n-1)·an-1,其中数列{2n-1}是等差数列,数列{an-1}是等比数列.
(1)当a=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2.
(2)当a≠1时,
∵Sn=1+3a+5a2+…+(2n-1)an-1,①
∴aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-1)an.②
随堂练习
答案:A
2.(多选题)已知正项等比数列{an}满足a1=2,a4=2a2+a3,若设其公比为q,前n项和为Sn,则(　　).
A.an=2n
B.数列{an}单调递减
C.Sn+1=2Sn+2
D.数列{lg an}是公差为2的等差数列
解析:由题意可知q>0,根据a4=2a2+a3,得2q3=4q+2q2,整理得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去负值),所以an=2×2n-1=2n,故选项A正确;
由an=2n,得{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列,所以{an}单调递增,故选项B错误;
答案:AC
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-2an+1=0,则a202=　　　　　.
解析:当n=1时,S1-2a1+1=a1-2a1+1=0,解得a1=1.
当n≥2且n∈N+时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1,
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1.
即an=2an-1,故数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故a202=2201.
答案:2201
5.已知数列{an}满足a1=1且an+1=2an+1.
(1)证明数列{an+1}是等比数列,并求an的通项公式;
(2)设bn=n(an+1),求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),即=2.
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.
∴an+1=2×2n-1=2n.∴an=2n-1.
(2)由(1)知,bn=n×2n,
Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)2n-1+n×2n,
2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)2n+n×2n+1,
两式作差,得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=(1-n)2n+1-2.
故Sn=(n-1)2n+1+2.