《学霸笔记 同步精讲》第二章 1.1 平均变化率（课件）北师大版数学选择性必修2

(共28张PPT)
1.1　平均变化率
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率.
2.了解平均变化率的实际意义,会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.
3.体会数学抽象的过程,提升数学运算能力.
自主预习 新知导学
平均变化率
【问题思考】
1.有甲、乙两个水龙头,甲从0 min到4 min流出50 L的水,乙从2 min到5 min流出45 L的水,请问哪个水龙头流出的水多 哪个水龙头流水快些
提示:甲;乙.
2.函数的平均变化率
对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率= .
通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量,记作Δx,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即 .
用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
3.在平均变化率中,Δx,Δy, 是否可以为0 当平均变化率为0时,是否说明函数在该区间上一定为常数函数
提示:在平均变化率中,Δx可正可负,但Δx不可以为0;Δy可以为0; 可以为0.
当 =0时,并不能说明函数在该区间上一定为常数函数,如f(x)=x2在区间
[-2,2]上的平均变化率是0,但它不是常数函数.
解析:由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为 ,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].
答案:[x3,x4]
4.如图2-1-1,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上,平均变化率最大的一个区间是　　　　.
图2-1-1
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的平均变化率可为正值、负值,也可为0.( √ )
(2) 表示曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.( √ )
(3)物体在某段时间内的平均速度为0,则物体始终处于静止状态.( × )
`
合作探究 释疑解惑
探究一
求函数值的改变量
【例1】 已知函数f(x)=x2-4x,当自变量x从2变为4时,函数值的改变量为(　　).
A.4 B.-4 C.2 D.-2
解析:函数值的改变量为f(4)-f(2)=(42-4×4)-(22-4×2)=4.
答案:A
函数值的改变量是指变化后的函数值减去变化前的函数值,函数值的改变量一般用Δy来表示,即Δy=y2-y1=f(x2)-f(x1).
【变式训练1】 当一个正方体的棱长由1变化到3时,求其体积的改变量ΔV.
解:V1=13=1,V2=33=27,
所以ΔV=V2-V1=27-1=26.
探究二
求函数的平均变化率并比较大小
【例2】 一质点做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=t2+1,求该质点在t0=1,2,3附近,当Δt= 时的平均速度,并比较在哪一时刻附近的平均速度最大.
求函数平均变化率的步骤:
(1)求自变量的改变量Δx=x2-x1;
(2)求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
本例中若该质点在2 s到(2+Δt)(Δt>0)s之间的平均速度不大于5 m/s,则Δt的取值范围是什么
当t0=2 s时,
由题意,得4+Δt≤5,解得Δt≤1.
又因为Δt>0,所以Δt的取值范围为(0,1].
【变式训练2】 已知函数f(x)=x+ ,分别计算f(x) 在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并比较函数在哪个区间上变化得快.
探究三
平均变化率的应用
【例3】 泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”的美誉,在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬泰山十八盘时的感受.图2-1-2是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看,为什么 你能用数学语言来量化AB段、BC段曲线的陡峭程度吗
图2-1-2
函数的平均变化率 表示点(x0,f(x0))与点(x1,f(x1))连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”,其值可粗略地表示函数的变化趋势.
当比较函数平均变化率的大小时,可以先求出函数在每个自变量附近的平均变化率,然后比较大小.
识图时,要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,图象在点x0附近的图象越“陡峭”,函数值变化就越快.
【变式训练3】 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,容器甲中水的体积V(单位:cm3)与时间t(单位:s)的函数关系为V(t)=5×2-0.1t,计算第一个10 s内V的平均变化率.
=-0.25(cm3/s),即第一个10 s内体积V的平均变化率是-0.25 cm3/s.
【规范解答】
求函数的平均变化率
【典例】 求函数y=f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=1,Δx= 时平均变化率的值.
正确理解Δy和Δx的含义,Δx并非Δ与x的积,而是一个整体;(Δx)2不能写成Δx2,Δx代表x的改变量.
解:(1)因为函数f(x)=3x2+5,所以函数f(x)从0.1 到0.2的平均变化率为
【变式训练】 已知函数f(x)=3x2+5.
(1)求函数f(x)从0.1到0.2的平均变化率;
(2)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
随堂练习
1.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增加(　　).
A.8πR·ΔR B.8πR·ΔR+4π(ΔR)2
C.4πR·ΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2
解析:根据球的表面积公式S=4πR2,可得ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2
=8πR·ΔR+4π(ΔR)2.
答案:B
2.已知函数y=f(x)=x2+1的图象上一点P(1,2)及邻近一点Q(1+Δx,2+Δy),则
的值为　　　　　.
答案:2+Δx
3.函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是2,则t=　　　　　.
解析:因为函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是2,
即t2-t-6=2t+4,
从而t2-3t-10=0,
解得t=5或t=-2(舍去).
答案:5
4.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系式为T(t)= +15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).
(1)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少
(2)从t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率是多少 它代表什么实际意义
解:(1)在t=0和t=10时,
它表示从t=0到t=10,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.