《学霸笔记 同步精讲》第二章 3 导数的计算（课件）北师大版数学选择性必修2

(共32张PPT)
§3　导数的计算
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握用定义法求函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0).
2.了解导函数的概念,会根据定义求一些简单函数的导函数.
3.掌握并应用常见函数的导数公式,并能进行简单的应用.
4.提升数学运算能力.
自主预习 新知导学
一、求几个常用函数的导数
【问题思考】
1.(1)回顾根据导数定义求导数的步骤.
提示:第一步,求Δy=f(x+Δx)-f(x);
(2)如何用定义法求函数f(x)=c在x=x0处的导数 类似地,你能求出函数
提示:∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=c-c=0,
2.计算函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:
(1)通过自变量在x=x0处的改变量Δx,确定函数值在x0处的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
3.如何理解“常数函数的导数为0”这一几何意义
提示:设f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0的几何意义为函数f(x)=c的图象上每一点处的切线的斜率都为0.
解:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[-(1+Δx)2+2]-(-12+2)=-(Δx)2-2Δx.
4.已知f(x)=-x2+2,求f'(1).
二、函数f(x)的导数
【问题思考】
1.已知函数f(x)=x2,试回答下列问题:
(1)求f'(x0);
(2)第(1)问中x0取f(x)定义域内任一值m,f'(m)是否等于2m
(3)对任意x0的取值,是否有唯一的f'(x0)值与之对应
(2)是.
(3)是.
2.函数y=f(x)的导数f'(x)
一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有
f'(x)= ,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称导数,有时也将导数记作y'.
3.导数公式表(如表2-3-1)
表2-3-1
4.(1)函数y=lg x的导数为(　　).
(2)设y=e3,则y'等于(　　).
A.3e2 B.e2
C.0 D.以上都不是
解析:(1)∵y=lg x,∴y'= .故选C.
(2)∵y=e3是一个常数,∴y'=0.故选C.
答案:(1)C　(2)C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(2)若函数f(x)的导数f'(x)=3x+2,且f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=3x0+2.( √ )
(3)对于可导函数f(x)来说,f'(x)也是一个函数.( √ )
(4)(ln 3)'= ( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
利用导数的定义求导数
【例1】 已知函数y=f(x)=x- ,求f'(1).
在例1中,求曲线y=f(x)=x- 在点(1,0)处的切线方程.
解:由例1知,曲线在点(1,0)处的切线的斜率k=f'(1)=2,
∴切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.
利用定义求函数y=f(x)的导函数的一般步骤
(1)确定函数y=f(x)在其对应区间上的每一点是否都有导数;
(2)计算Δy=f(x+Δx)-f(x);
【变式训练1】 已知函数y=f(x)= ,求f'(2).
探究二
利用导数公式求导
在例2中,求f'(1),[f'(1)]'.
用公式求函数导数的方法
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)对于不能直接利用公式的类型,合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本初等函数形式.
探究三
导数几何意义的应用
【例3】 求证:曲线xy=1上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数.
分析　要证明三角形的面积为定值,应求出直线在两坐标轴上的截距,因此要先求出直线的方程.
故曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数.
利用导数的几何意义研究曲线的切线问题,解题的关键是分析切点的特点:
(1)切点在曲线上;(2)切点在切线上;(3)在切点处的导数等于切线的斜率.求出切点的坐标,进一步利用点斜式求出切线方程.
【变式训练3】已知P是曲线y=ex上的任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
图2-3-1
解:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点P(x0,y0),该切点即为曲线y=ex上与y=x距离最近的点,如图2-3-1.
则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即f'(x0)=1.
【易错辨析】
错用导数公式致误
【典例】 已知y=e2x,求y'.
错解:根据公式,知y'=(e2x)'=e2x.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:以上解题的错误是将e2x与ex混淆,错用了求导公式.
正解:∵y=e2x=(e2)x,
∴y'=(e2)x·ln e2=2e2x.
牢记公式.对于不具备基本初等函数特征的函数,在求导前应先化简变形,将其转化为基本初等函数的形式,再利用公式求导.
【变式训练】 若函数f(x)=3lg ,则f'(x)=　　　　　.
随堂练习
1.函数y=3x2在x=1处的导数为(　　).
A.6 B.3x C.3+Δx D.6x
答案:A
2.已知函数f(x)=x2-x+5,则f'(x)等于(　　).
A.x2-x B.2x+5
C.2x-1 D.x2-x+5
答案:C
3.若函数f(x)=tan ,则f'(x)=　　　　　.
答案:0
4.若函数f(x)=x2,g(x)=x3,则满足f'(x)+1=g'(x)的x的值为　　　　　.
解析:由导数的公式知,f'(x)=2x,g'(x)=3x2.因为f'(x)+1=g'(x),所以2x+1=3x2,即3x2-2x-1=0,解得x=1或x=- .
答案:1或-
5.求函数y=f(x)=3x2-2x的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(1),f'(-2)的值.
解:Δy=f(x+Δx)-f(x)
=3(x+Δx)2-2(x+Δx)-(3x2-2x)
=3(Δx)2+6xΔx-2Δx.
分别将x=1,x=-2代入f'(x),可得f'(1)=4,f'(-2)=-14.