《学霸笔记 同步精讲》第二章 5 简单复合函数的求导法则（课件）北师大版数学选择性必修2

(共30张PPT)
§5　简单复合函数的求导法则
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解复合函数的定义.
2.掌握复合函数的求导法则.
3.能够求一些简单复合函数的导数.
4.提升数学运算素养.
自主预习 新知导学
复合函数的求导法则
【问题思考】
1.若函数y=f(u),u=g(x),则y与x的关系是怎样的
提示:y=f(g(x)).
2.求函数f(u)=sin u,u=φ(x)=2x,f(φ(x))的导数,并分析所求导数之间的关系.
提示:∵f(φ(x))=sin 2x=2sin xcos x,
∴[f(φ(x))]'=(2sin xcos x)'=2cos 2x.
f'(u)=(sin u)'=cos u=cos 2x,u'=φ'(x)=(2x)'=2.
综上,[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).
3.一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y= f(φ(x)) ,其中u为中间变量.
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为yx'=[f(φ(x))]'= f'(u)φ'(x) ,其中u=φ(x).
4.若f(x)=(5x-2)4,则f'(x)=　 .
解析:f'(x)=4(5x-2)3·(5x-2)'=20(5x-2)3.
答案:20(5x-2)3
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=ex+1是由y=eu与u=x+1复合而成的.( √ )
(2)若函数y=cos2x,则y'=sin2x.( × )
(3)函数y=x2sin x是由y=x2与y=sin x复合而成的.( × )
(4)(cos 2x)'=-2sin 2x.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数:
(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.
分析　先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,再分层求导.
解:(1)函数y=e2x+1可看作是由函数f(u)=eu和u=φ(x)=2x+1复合而成的.
yx'=f'(u)φ'(x)=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(4)函数y=sin3x可看作是由函数f(u)=u3和u=φ(x)=sin x复合而成的函数
y=sin 3x可看作是由函数g(v)=sin v和v=η(x)=3x复合而成的.
yx'=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'=3u2·cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x.
1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数.
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点.
【变式训练1】 求下列函数的导数.
(1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4);
解:(1)∵函数y=(3x-2)2可看作是由函数f(u)=u2和u=φ(x)=3x-2复合而成的,
∴yx'=f'(u)φ'(x)=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
探究二
与切线有关的综合问题
【例2】 已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆 O:x2+y2= 相切,求a的值.
分析　先求f'(1),再利用点斜式写出直线方程并化为一般式,最后根据直线与圆的位置关系列方程求a.
解:因为f'(x)=2ax+ (x<2),
所以f'(1)=2a-2.
又f(1)=a,
所以切线l的方程为y-a=(2a-2)(x-1),
即2(a-1)x-y+2-a=0.
因为直线l与圆相切,所以圆心到直线l的距离d等于半径,即
与切线有关的问题的解题策略:
先求函数的导数,若已知切点则求切线的斜率、切线方程;若切点未知,则先设切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.
探究三
求导法则的综合应用
【例3】 某港口在一天24 h内潮水的高度s(单位:m)与时间t(单位:h)近似满足关系s(t)=3sin(t+)(0≤t≤24),求函数在t=18 h时的导数,并解释它的实际意义.
将复合函数的求导与导数的实际意义结合,旨在巩固“函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率”,体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
【变式训练3】 一听汽水放入冰箱后,其摄氏温度x(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化满足关系式:x=4+16e-2t.
(1)求汽水温度x在t=1处的导数;
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间满足函数关系式x= y-32,写出y关于t的函数解析式,并求y关于t的函数的导数.
【易错辨析】
对复合函数求导不完全致错
【典例】 求函数y=xe1-2x的导数.
错解1　y'=x'·(e1-2x)'=e1-2x.
错解2　y'=x'·e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解1,求导的乘法法则及复合函数的求导法则用错;错解2,y=e1-2x是复合函数,应按照复合函数的求导法则进行.
正解:y'=x'·e1-2x+x·(e1-2x)'
=e1-2x+x·e1-2x·(1-2x)'
=(1-2x)e1-2x.
复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数,分步计算时,每一步都要明确是对哪个变量求导.
【变式训练】 函数y=cos(2x2+x)的导数是　　　　　　　　　　　　　　　.
解析:∵y=cos(2x2+x),∴y'=-sin(2x2+x)·(4x+1)=-(4x+1)sin(2x2+x).
答案:-(4x+1)sin(2x2+x)
随堂练习
1.函数y=e-x的导数为(　　).
解析:y=eu,u=-x,yx'=yu'·ux'=eu·(-1)=-e-x.
答案:D
A.y'=e-x B.y'=-ex
C.y'=ex D.y'=-e-x
答案:D
4.若f(x)=ecos x,则f'(x)=　 .
答案:-sin x·ecos x
答案:D