《学霸笔记 同步精讲》第二章 8 数学探究活动(二) 探究函数性质（课件）北师大版数学选择性必修2

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§8　数学探究活动(二):探究函数性质
第二章
2026
课标定位素养阐释
1.能通过对一次、二次函数图象与性质的探究,类比探究三次函数的图象与性质.
2.能利用导数分析三次函数的图象与性质.
3.提升逻辑推理、数据分析、数学运算等数学素养.
一、探究函数性质的步骤
1.求函数的定义域.
2.研究函数的奇偶性、周期性、对称性等.
3.利用导数研究函数的单调性、极值、最值.
4.作出函数的图象.
二、探究函数性质实例分析
【典例】 探究三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d∈R)的性质和图象.
解:函数f(x)的定义域为R.
当b=d=0时,函数f(x)是奇函数;当b,d有一个不为0时,函数f(x)是非奇函数;函数f(x)不可能是偶函数.
f'(x)=3ax2+2bx+c是二次函数,可能有下列三种情形.
(1)函数f'(x)没有零点,f'(x)在(-∞,+∞)上不变号.
若a>0,f'(x)恒为正,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值;
若a<0,f'(x)恒为负,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,函数f(x)无极值.
(2)函数f'(x)有一个零点x0=w.
若a>0,f'(x)在区间(-∞,w),(w,+∞)上恒为正,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值;
若a<0,f'(x)在区间(-∞,w),(w,+∞)上恒为负,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,函数f(x)无极值.
(3)函数f'(x)有两个零点x1=u和x2=v,且u若a>0,f'(x)在区间(-∞,u),(v,+∞)上为正,在区间(u,v)上为负,对应地,函数f(x)在区间(-∞,u)上单调递增,在区间(u,v)上单调递减,在区间(v,+∞)上单调递增.
因此,函数f(x)在x=u处取极大值,在x=v处取极小值.
若a<0,f'(x)在区间(-∞,u),(v,+∞)上为负,在区间(u,v)上为正,对应地,函数f(x)在区间(-∞,u)上单调递减,在区间(u,v)上单调递增,在区间(v,+∞)上单调递减.
因此,函数f(x)在x=u处取极小值,在x=v处取极大值.
由上述结论可得y=f(x)的大致图象如表2-8-1所示.
表2-8-1
作一个函数的图象前需先研究它的性质,函数的定义域对函数性质的影响很大,故需先求其定义域;知道函数的奇偶性和对称性,便于作函数的图象;利用导数可研究函数的单调性、极值、最值,从而掌握图象的变化趋势.
【变式训练】 试探究函数f(x)=ax2+ (a≠0,b≠0)的性质并作出其图象.
函数的图象和性质如表2-8-2:
表2-8-2