2025-2026学年山东省济南市历下区九年级数学第一学期期末考试试题(含答案)

历下区九年级上学期数学期末学情调研（2026.1）
考试时间 120 分钟 满分 150 分
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.“月壤砖” 是我国科学家为月球基地研制而成的，可用于未来的月球基地建设。下面是一种 “月壤砖” 的示意图，它的主视图是（ ）
2.抛物线 y= 2(x 1)2+3的顶点坐标是（ ）
A. ( 1, 3) B. ( 1,3) C. (1, 3) D. (1,3)
3.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则 tanA=（ ）
A. B. C. D.
4.如图，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，且点 C 在弦 AB所对的优弧上，如果 ∠AOB=64 ，那么 ∠ACB的度数为（ ）
A. 26 B. 30 C. 32 D. 64
5.已知反比例函数 y= 的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随 x 值的增大而增大。那么 k 的取值范围是（ ）
A. k<0 B. k>0 C. k<6 D. k>6
6.如图，五边形 ABCDE 是 ⊙O 的内接正五边形，连接 OC，则 ∠OCD 的度数是（ ）
A. 54 B. 60 C. 66 D. 72
7.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. ac<0 B. b<0 C. b2 4ac<0 D. a+b+c<0
8.如图，在扇形 AOB中，∠AOB=90 ，OA=2，若以点 B 为圆心，OB 为半径画弧，交 AB 于点 C，连接 BC，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC中，动点 D从点 A 开始沿边 AB向点 B运动（点 D不与点 B重合），点 E在边 BC上，连接 CD，DE，且 ∠CDE=60 ，设 AD=x，CE=y，则 y的最小值为（ ）
A. 1.5 B. C. 2 D. 3
10.已知当 3A. 4≤c<5 B. 3第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.已知 ⊙O的半径为 5，点 P是 ⊙O外一点，连结 OP，则 OP的长度可以是________（写出一个即可）。
12在 △ABC中，已知 ∠A为锐角，sinA=，则 ∠A的度数是________°。
13.如图，四边形 ABCD为 ⊙O的内接四边形，∠A=100 ，则 ∠C的度数为________°。
14.如图，二次函数 y=ax2+2ax+c（a≠0）的部分图象与 x轴的一个交点的坐标为 ( 3,0)，则该二次函数的图象与 x轴的另一个交点的坐标为________。
15.如图，在等腰三角形纸片 ABC中，∠A=120 ，AB=AC=5，D是 AC上一点，将纸片沿过点 D的直线折叠，使点 C落在边 AB上的点 F处，折痕 DE交 BC于点 E。若已知 sin∠BEF=，则 AF=________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：sin45 2cos60 3tan30 +tan60 。
17.（本小题满分 7 分）如图，点 D，E分别是 △ABC的边 AB，AC上的点，连接 DE，DE∥BC，△ABC的角平分线 AF交 DE于点 G。
(1) 求证：△ADE∽△ABC；
(2) 若 =，AG=2，求 FG的长。
18.（本小题满分 7 分）如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC=5，sinA=，BD⊥AC，垂足为点 D。
(1) 求 AD的长；
(2) 求 cosC的值。
19.（本小题满分 8 分）2025 年 9 月 3 日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队这 4 支战略兵种首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅。为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，确定了 A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队 4 个主题。
(1) 若小华随机选择其中一个主题，则选到 A：军事航天部队的概率是________；
(2) 若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到 C：信息支援部队的概率。
20.（本小题满分 8 分）为方便乘客进出，地铁公司计划将某出入口的楼梯通道改造成无障碍通道。如图，在地铁出入口 P处，原楼梯通道的长度 PA为 2m，倾斜角为 20 ，调整后的无障碍通道的倾斜角为 4.5 。
(1) 求地铁出入口 P 处距离水平地面的高度；
(2) 求调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离 AB。（结果精确到 0.001m。参考数据：sin20 ≈0.342，cos20 ≈0.940，tan20 ≈0.364，sin4.5 ≈0.078，cos4.5 ≈0.997，tan4.5 ≈0.079）
21.（本小题满分 9 分）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90 ，D是斜边 AB上的一点，以 BD为直径的 ⊙O与边 AC相切于点 E。
(1) 求证：BE平分 ∠ABC；
(2) 若 BE=5，BC=4，求 ⊙O半径的长。
22.（本小题满分 10 分）在某次消防实战演练中，从水枪喷水口 O 处喷出的水流呈抛物线形状，落到高楼外墙上的点 A处，已知喷出水花的高度 y（m）与水流到喷水口的水平距离 x（m）之间的关系如图所示，当水流到喷水口的水平距离为 3m 时，达到最高点，此时喷出水花的高度为 18m。
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 已知水枪喷水口 O处到高楼外墙的水平距离为 4m，高楼外墙上的点 B处距离地面的高度是 17.5m，假设将水枪喷水口平移，喷出的水流所在抛物线的形状保持不变。
①若将水枪喷水口沿竖直方向向上平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点 B处，求平移的距离；
②若将水枪喷水口沿水平方向平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点
B处，直接写出平移的方向和距离。
23.（本小题满分 10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的边长为 3，其顶点 A，D均在 x轴上，顶点 B在反比例函数 y=(x>0)的图象上，D( ,0)。
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 将正方形ABCD向右平移m个单位长度得到正方形A′B′C′D′（0①如图 2，当点 D′与点 O重合时，连接 OE，OF，EF，求 △OEF的面积；
②如图 3，当 tan∠B′EF=时，求 m的值。
24.（本小题满分 12 分）二次函数 y= x2+bx+c的图象经过 A( 1,0)，B(3,0)两点，与 y轴交于点 C，连结 BC。
(1) 求二次函数的表达式和直线 BC的表达式；
(2) 如图，点 D是该二次函数在第一象限内图象上的一点，过点 D作 x轴的垂线 l，交 BC于点 E，DE=BE。
①求点 D的坐标；
②点 M是该二次函数图象上的一点，点 N为点 M关于直线 BC的对称点，当点 N落在直线 l上时，求点 N 的纵坐标。
25.（本小题满分 12 分）如图 1，在矩形 ABCD中，CD=2AD，点 E在边 BC的延长线上（点 E不与点 C重合），连接 DE，点 F在线段 DE上，且 ∠DAF=∠EDC，AF与边 CD交于点 G。
(1) 求证：CE=2DG；
(2) 如图 2，连接 GE，点 H为 GE的中点，连接 CH，若 CD=4，求 CH的最小值；
(3) 如图 3，点 M为边 AB的中点，连接 DM 交 AF 于点 N，若 NG=m，GF=n，求 AN的长（用含 m和 n的式子表示）。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.“月壤砖” 是我国科学家为月球基地研制而成的，可用于未来的月球基地建设。下面是一种 “月壤砖” 的示意图，它的主视图是（ A ）
2.抛物线 y= 2(x 1)2+3的顶点坐标是（ D ）
A. ( 1, 3) B. ( 1,3) C. (1, 3) D. (1,3)
3.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则 tanA=（ B ）
A. B. C. D.
4.如图，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，且点 C 在弦 AB所对的优弧上，如果 ∠AOB=64 ，那么 ∠ACB的度数为（ C ）
A. 26 B. 30 C. 32 D. 64
5.已知反比例函数 y= 的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随 x 值的增大而增大。那么 k 的取值范围是（ C ）
A. k<0 B. k>0 C. k<6 D. k>6
6.如图，五边形 ABCDE 是 ⊙O 的内接正五边形，连接 OC，则 ∠OCD 的度数是（ A ）
A. 54 B. 60 C. 66 D. 72
7.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（ B ）
A. ac<0 B. b<0 C. b2 4ac<0 D. a+b+c<0
8.如图，在扇形 AOB中，∠AOB=90 ，OA=2，若以点 B 为圆心，OB 为半径画弧，交 AB 于点 C，连接 BC，则图中阴影部分的面积是（ A ）
A. B. C. D.
9.如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC中，动点 D从点 A 开始沿边 AB向点 B运动（点 D不与点 B重合），点 E在边 BC上，连接 CD，DE，且 ∠CDE=60 ，设 AD=x，CE=y，则 y的最小值为（ D ）
A. 1.5 B. C. 2 D. 3
10.已知当 3A. 4≤c<5 B. 3第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.已知 ⊙O的半径为 5，点 P是 ⊙O外一点，连结 OP，则 OP的长度可以是____6____（写出一个即可）。
12在 △ABC中，已知 ∠A为锐角，sinA=，则 ∠A的度数是____60____°。
13.如图，四边形 ABCD为 ⊙O的内接四边形，∠A=100 ，则 ∠C的度数为____80____°。
14.如图，二次函数 y=ax2+2ax+c（a≠0）的部分图象与 x轴的一个交点的坐标为 ( 3,0)，则该二次函数的图象与 x轴的另一个交点的坐标为____(1,0)____。
15.如图，在等腰三角形纸片 ABC中，∠A=120 ，AB=AC=5，D是 AC上一点，将纸片沿过点 D的直线折叠，使点 C落在边 AB上的点 F处，折痕 DE交 BC于点 E。若已知 sin∠BEF=，则 AF=____－1____。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：sin45 2cos60 3tan30 +tan60 。
=－1－+
=－1
17.（本小题满分 7 分）如图，点 D，E分别是 △ABC的边 AB，AC上的点，连接 DE，DE∥BC，△ABC的角平分线 AF交 DE于点 G。
(1) 求证：△ADE∽△ABC；
(2) 若 =，AG=2，求 FG的长。
（1）∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B
又∠A=∠A
∴△ADE△ABC
（2）∵△ADE△ABC
∴==
∵DE∥BC
∴==
∴=
∴AF=3.5
∴FG=AF－AG=1.5
18.（本小题满分 7 分）如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC=5，sinA=，BD⊥AC，垂足为点 D。
(1) 求 AD的长；
(2) 求 cosC的值。
(1)在Rt△ABD中
sinA===
∴BD=3
∴AD=4
（2）CD=AC－AD=5－4=1
在Rt△BDC中
BC=
∴cosC==
19.（本小题满分 8 分）2025 年 9 月 3 日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队这 4 支战略兵种首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅。为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，确定了 A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队 4 个主题。
(1) 若小华随机选择其中一个主题，则选到 A：军事航天部队的概率是________；
(2) 若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到 C：信息支援部队的概率。
(1)
(2)
20.（本小题满分 8 分）为方便乘客进出，地铁公司计划将某出入口的楼梯通道改造成无障碍通道。如图，在地铁出入口 P处，原楼梯通道的长度 PA为 2m，倾斜角为 20 ，调整后的无障碍通道的倾斜角为 4.5 。
(1) 求地铁出入口 P 处距离水平地面的高度；
(2) 求调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离 AB。（结果精确到 0.001m。参考数据：sin20 ≈0.342，cos20 ≈0.940，tan20 ≈0.364，sin4.5 ≈0.078，cos4.5 ≈0.997，tan4.5 ≈0.079）
(1)过点P作PH⊥AB
在Rt△APH中，sin∠PAH===sin20°=0.342
∴PH=0.684m
∴地铁出入口 P 处距离水平地面的高度为0.684m
（2）在Rt△APH中
cos∠PAH===cos20°=0.94
∴AH=1.88m
在Rt△PHB中
tan∠PBH===tan4.5°=0.079
∴BH=8.6582m
∴AB=BH－AH=6.778m
21.（本小题满分 9 分）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90 ，D是斜边 AB上的一点，以 BD为直径的 ⊙O与边 AC相切于点 E。
(1) 求证：BE平分 ∠ABC；
(2) 若 BE=5，BC=4，求 ⊙O半径的长。
（1）连接OE
∵AC是⊙O切线
∴OE⊥AC
∴∠OEA=90°
∴∠OEA=∠C
∴OE∥BC
∴∠OEB=∠CBE
∵OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
∴∠CBE=∠OBE
∴BE平分 ∠ABC
（2）连接ED
∵DE是⊙O切线
∴∠DEB=90°
在Rt△CBE中，cos∠CBE==
∵∠OBE=∠CBE
∴cos∠OBE=
在Rt△DEB中
cos∠OBE===
∴BD=
∴⊙O半径的长为
22.（本小题满分 10 分）在某次消防实战演练中，从水枪喷水口 O 处喷出的水流呈抛物线形状，落到高楼外墙上的点 A处，已知喷出水花的高度 y（m）与水流到喷水口的水平距离 x（m）之间的关系如图所示，当水流到喷水口的水平距离为 3m 时，达到最高点，此时喷出水花的高度为 18m。
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 已知水枪喷水口 O处到高楼外墙的水平距离为 4m，高楼外墙上的点 B处距离地面的高度是 17.5m，假设将水枪喷水口平移，喷出的水流所在抛物线的形状保持不变。
①若将水枪喷水口沿竖直方向向上平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点 B处，求平移的距离；
②若将水枪喷水口沿水平方向平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点
B处，直接写出平移的方向和距离。
（1）抛物线的顶点（3，18）
设抛物线表达式为y=a（x－3）2+18
将（0，0）代入y=a（x－3）2+18得
a=－2
∴y=－2（x－3）2+18
（2）①1.5 ②或
23.（本小题满分 10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的边长为 3，其顶点 A，D均在 x轴上，顶点 B在反比例函数 y=(x>0)的图象上，D( ,0)。
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 将正方形ABCD向右平移m个单位长度得到正方形A′B′C′D′（0①如图 2，当点 D′与点 O重合时，连接 OE，OF，EF，求 △OEF的面积；
②如图 3，当 tan∠B′EF=时，求 m的值。
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB=3
∴OA+OD=OA+=3
∴OA=
∴B（，3）
将B（，3）代入反比例函数y=
得k=×3=4
∴反比例函数表达式为y=
（2）① ②m=
24.（本小题满分 12 分）二次函数 y= x2+bx+c的图象经过 A( 1,0)，B(3,0)两点，与 y轴交于点 C，连结 BC。
(1) 求二次函数的表达式和直线 BC的表达式；
(2) 如图，点 D是该二次函数在第一象限内图象上的一点，过点 D作 x轴的垂线 l，交 BC于点 E，DE=BE。
①求点 D的坐标；
②点 M是该二次函数图象上的一点，点 N为点 M关于直线 BC的对称点，当点 N落在直线 l上时，求点 N 的纵坐标。
（1）将A( 1,0)，B(3,0)代入二次函数 y= x2+bx+c
得
解得
∴y= x2+2x+3
令x=0代入 x2+2x+3得x=3
∴C（0，3）
将B(3,0)和C（0，3）代入y=kx+b
得
解得
∴y=－x+3
（2）①（2，3） ②2－
25.（本小题满分 12 分）如图 1，在矩形 ABCD中，CD=2AD，点 E在边 BC的延长线上（点 E不与点 C重合），连接 DE，点 F在线段 DE上，且 ∠DAF=∠EDC，AF与边 CD交于点 G。
(1) 求证：CE=2DG；
(2) 如图 2，连接 GE，点 H为 GE的中点，连接 CH，若 CD=4，求 CH的最小值；
(3) 如图 3，点 M为边 AB的中点，连接 DM 交 AF 于点 N，若 NG=m，GF=n，求 AN的长（用含 m和 n的式子表示）。
（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC AB=CD ∠ADG=∠DCB=90°
∵E在BC得延长线上
∴∠DCE=90°
∴∠DCE=∠ADG=90°
∵∠EDC=∠DAF
∴△DCE△ADG
∴==2
∴CE=2DG
（2）
（3）