2025-2026学年山东省济南市历下区八年级数学第一学期期末考试试题(含答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年山东省济南市历下区八年级数学第一学期期末考试试题(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 481.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
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文档简介
历下区八年级上学期数学第一学期学情调研（2026.1）
考试时间 120 分钟 满分 150 分
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.在平面直角坐标系中，点 P(3,4)到 x 轴的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定
2.“榫卯” 是采用凹凸部分相结合的一种连接方式。如图是某种 “榫” 构件的截面图，其中 AB∥CD，∠ABC=65 ，则 ∠BCD为（ ）
A. 105 B. 110 C. 115 D. 120
3.已知 aA. a 34.如图是 A，B 两位同学 9 次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ）
A. sA25.如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴。下列纹样是中心对称图形的是（ ）
6.我国古代的《孙子算经》中有一个 “二人持钱” 问题，其译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为 50 文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是 50 文，求甲、乙两人最初各自带的钱数。若设甲原有 x文钱，乙原有 y 文钱，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点 A(1,a)，点 B(3,b) 均在直线 y=kx（k≠0）上。若 aA. ( 1, 3) B. (1,0) C. ( 1,2) D. (1, 3)
8.如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90 ，AB=6cm，BC=10cm。现将 △ABC沿 AC方向平移 3cm 得到 △A′B′C′，边 A′B′与边 BC相交于点 D，若此时点 A′恰好在 ∠ABC的角平分线上，则 △A′DC的周长为（ ）
A. 10cm B. 13cm C. 15cm D. 16cm
9.如图，点 O是 △ABC三条边的垂直平分线的交点，连接 BO，CO，若 ∠A=α，则 ∠O的度数为（ ）
A. 90 +α B. 2α C. 90 α D. 90 +α
10.如图 1，长方形 ABCD各顶点坐标分别为 A(2,5)，B(5,8)，C(7,6)，D(4,3)。点 G(4,3)，H(2,1)，以 GH为一边作长方形 EFGH。现将长方形 EFGH沿 DC方向平移，至 EH与 BC重合时运动停止。在平移过程中，设平移的距离为 d，长方形 ABCD 与长方形 EFGH重叠的面积为 S，S关于 d的函数图象如图 2。当 EH与 BC重合时，点 F的坐标为（ ）
A. (8.25,8.75) B. (8.5,8.5) C. (6,8) D. (8,9)
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.如图，将 △ABC绕着点 A顺时针旋转 40 得到 △AB′C′，则 ∠BAB′= 。
12.某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占40%，统一测试占 60%。小宇的上述两项成绩依次是 80 分、90 分，则小宇期末体育成绩为
分。
13.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90 ，∠BAC的角平分线 AD交 BC于点 D，若 CD=2，AB=5，则 △ABD的面积为 。
14.关于 x的不等式组有且只有 3 个整数解，则 m的取值范围为 。
15.如图，在矩形 ABCD中，AB=4，BC=7，点 E是边 AB的中点，MN=1。若线段 MN在边 BC上左右滑动，则 EM+DN的最小值为 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 6 分）解方程组：
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
18.（本小题满分 7 分）已知：如图，在 Rt△ABC和 Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90 ，AD=BC。求证：∠ABC=∠BAD。
19.（本小题满分 8 分）如图，l1反映了某产品的销售收入 y1与销售量 x之间的关系，l2反映了该产品的销售成本 y2与销售量 x之间的关系，当销售收入 y1大于销售成本 y2时，该产品才开始盈利。
(1) 销售收入 y1与销售量 x之间的关系式为 ；销售成本 y2与销售量 x之间的关系式为 ；
(2) 该产品的销售量超过多少吨时，生产该产品才能盈利？
20.（本小题满分 8 分）问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30 角的三角尺拼成一个等边三角形，发现 “30 角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明。
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明。以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明。
已知：如图 2，△ABC是直角三角形，∠C=90 ，∠A=30 。求证：BC=AB。
证明：以点 B为圆心，以 BC为半径作弧交 AB于点 E，连接 CE。
21.（本小题满分 10 分）俄罗斯方块是一款经典游戏，如图是小颖玩俄罗斯方块时某一时刻的截图。图中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，小颖以此建立平面直角坐标系 xOy，已知点 A(2,3)在图形①上，现将图形①先向左平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位移动到新的位置，此时点 A恰好落在点 B处，请回答以下问题：
(1) 请在图中作出小颖建立的平面直角坐标系 xOy，点 B的坐标为 ；
(2) 上述平移过程中，平移距离 AB为 个单位长度；
(3) 已知某一图形经历了一系列平移和旋转变换后得到了图形②，变换前后的图形恰好关于原点 O成中心对称，则点 C的对应点的坐标为 。
22.（本小题满分 10 分）小明和小亮为了解八年级 1 班，2 班学生在 “科学素养” 竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了 12 名学生的成绩（成绩用 x表示，单位：分），并对成绩进行整理。
如图，小明将成绩分为四组，分别为 A 组：60≤x<70；B 组：70≤x<80；C 组：80≤x<90；D 组：90≤x<100，并绘制了不完整的八年级 1 班和 2 班成绩频数直方图。
下面给出了部分信息：
a. 八年级 1 班抽取的学生的 C 组数据：80，81，82，83，85，87，89；
b. 八年级 2 班抽取的学生的 D 组数据：90，92，94，96。
小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较。
请根据以上信息，完成下列问题：
(1) 请补全八年级 1 班学生成绩的频数直方图；
(2) 通过观察箱线图可得，a b（填 “>”“<” 或 “=”）；
(3) 通过计算可得，c= ，d= ；
(4) 在每个班级抽取的 12 名学生中成绩较高的 6 名学生可代表本班进入复赛，八年级 1 班的学生甲和八年级 2 班的学生乙的成绩均为 82 分，则 （填序号）进入复赛。
①学生甲 ②学生乙 ③学生甲和乙 ④都不能
23.（本小题满分 10 分）济南地铁 6 号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约 1500 年。某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共 50 件，已知宣传海报每件 12 元，宣传手册每件 8 元。
(1) 若恰好用 480 元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？
(2) 若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的 1.5 倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？
24.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= x+1的图象与 x轴，y轴分别交于点 A，B。设 ∠ABO=α，将直线 AB绕点 A按某一方向旋转 β后交 y轴于点 C（0<β<180 ）。
(1) 分别求出点 A和点 B的坐标；
(2) 若 β=α，当点 C在点 B的上方时，求此时点 C的坐标；
(3)若β=180 α，则 y轴上是否存在点 C？若存在，请求出此时点 C的坐标；若不存在，请说明理由。
25.（本小题满分 12 分）如图 1，在 △ABC中，∠ACB=90 ，CA=CB，点 D是 BC边上一动点（且不与点 B，C重合）。作射线 AD，过点 B作 BH⊥AD于点 H，将 △DHB 绕点 H旋转 180 得到△EHF，连接 CE
。线段 CE 与 HF交于点 G，连接 CF。
(1) 线段 EF和 DB的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2) 如图 2，当 CE⊥CF时，试探究线段 CE和线段 AB的位置关系，并说明理由；
(3) 在（2）的条件下，若 AB=2，请直接写出 CG的长度为 。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.在平面直角坐标系中，点 P(3,4)到 x 轴的距离为（ B ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定
2.“榫卯” 是采用凹凸部分相结合的一种连接方式。如图是某种 “榫” 构件的截面图，其中 AB∥CD，∠ABC=65 ，则 ∠BCD为（ C ）
A. 105 B. 110 C. 115 D. 120
3.已知 aA. a 34.如图是 A，B 两位同学 9 次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ A ）
A. sA25.如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴。下列纹样是中心对称图形的是（ D ）
6.我国古代的《孙子算经》中有一个 “二人持钱” 问题，其译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为 50 文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是 50 文，求甲、乙两人最初各自带的钱数。若设甲原有 x文钱，乙原有 y 文钱，则可列方程组为（ D ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点 A(1,a)，点 B(3,b) 均在直线 y=kx（k≠0）上。若 aA. ( 1, 3) B. (1,0) C. ( 1,2) D. (1, 3)
8.如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90 ，AB=6cm，BC=10cm。现将 △ABC沿 AC方向平移 3cm 得到 △A′B′C′，边 A′B′与边 BC相交于点 D，若此时点 A′恰好在 ∠ABC的角平分线上，则 △A′DC的周长为（ C ）
A. 10cm B. 13cm C. 15cm D. 16cm
9.如图，点 O是 △ABC三条边的垂直平分线的交点，连接 BO，CO，若 ∠A=α，则 ∠O的度数为（ B ）
A. 90 +α B. 2α C. 90 α D. 90 +α
10.如图 1，长方形 ABCD各顶点坐标分别为 A(2,5)，B(5,8)，C(7,6)，D(4,3)。点 G(4,3)，H(2,1)，以 GH为一边作长方形 EFGH。现将长方形 EFGH沿 DC方向平移，至 EH与 BC重合时运动停止。在平移过程中，设平移的距离为 d，长方形 ABCD 与长方形 EFGH重叠的面积为 S，S关于 d的函数图象如图 2。当 EH与 BC重合时，点 F的坐标为（ A ）
A. (8.25,8.75) B. (8.5,8.5) C. (6,8) D. (8,9)
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.如图，将 △ABC绕着点 A顺时针旋转 40 得到 △AB′C′，则 ∠BAB′= 40 。
12.某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占40%，统一测试占 60%。小宇的上述两项成绩依次是 80 分、90 分，则小宇期末体育成绩为
86 分。
13.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90 ，∠BAC的角平分线 AD交 BC于点 D，若 CD=2，AB=5，则 △ABD的面积为 5 。
14.关于 x的不等式组有且只有 3 个整数解，则 m的取值范围为 0≤m＜1 。
15.如图，在矩形 ABCD中，AB=4，BC=7，点 E是边 AB的中点，MN=1。若线段 MN在边 BC上左右滑动，则 EM+DN的最小值为 6 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 6 分）解方程组：
由②得x=3－2y③
将③代入①得2（3－2y）+3y=9
解得y=－3
将y=－3代入③得x=9
原方程组得解为
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
解不等式①得x≤2
解不等式②得x≥－2
不等式组得解集－2≤x≤2
整数解为－2，－1，0，1，2
18.（本小题满分 7 分）已知：如图，在 Rt△ABC和 Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90 ，AD=BC。求证：∠ABC=∠BAD。
∵∠ACB=∠BDA=90° AD=BC AB=AB
∴△ACB≌△BDA（HL）
∴∠ABC=∠BAD
19.（本小题满分 8 分）如图，l1反映了某产品的销售收入 y1与销售量 x之间的关系，l2反映了该产品的销售成本 y2与销售量 x之间的关系，当销售收入 y1大于销售成本 y2时，该产品才开始盈利。
(1) 销售收入 y1与销售量 x之间的关系式为 ；销售成本 y2与销售量 x之间的关系式为 ；
(2) 该产品的销售量超过多少吨时，生产该产品才能盈利？
(1)y1=2x y2=x+2
(2)当y1＞y2时，开始盈利
∴2x＞x+2
解得x＞2
∴当销售量超过2吨时，开始盈利
20.（本小题满分 8 分）问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30 角的三角尺拼成一个等边三角形，发现 “30 角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明。
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明。以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明。
已知：如图 2，△ABC是直角三角形，∠C=90 ，∠A=30 。求证：BC=AB。
证明：以点 B为圆心，以 BC为半径作弧交 AB于点 E，连接 CE。
∵BE，BC为B得半径
∴BC=BE
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠B=60°
∵BC=BE
∴△BCE为等边三角形
∴BC=BE=CE
∴∠BCE=60°
∴∠ACE=∠BCA－∠BCE=30°
∴∠ACE=∠A=30°
∴CE=AE
∴AE=BE=BC
∴BC=AB
21.（本小题满分 10 分）俄罗斯方块是一款经典游戏，如图是小颖玩俄罗斯方块时某一时刻的截图。图中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，小颖以此建立平面直角坐标系 xOy，已知点 A(2,3)在图形①上，现将图形①先向左平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位移动到新的位置，此时点 A恰好落在点 B处，请回答以下问题：
(1) 请在图中作出小颖建立的平面直角坐标系 xOy，点 B的坐标为 ；
(2) 上述平移过程中，平移距离 AB为 个单位长度；
(3) 已知某一图形经历了一系列平移和旋转变换后得到了图形②，变换前后的图形恰好关于原点 O成中心对称，则点 C的对应点的坐标为 。
（1）（－2，－5）
（2）4
（3）（－4，2）
22.（本小题满分 10 分）小明和小亮为了解八年级 1 班，2 班学生在 “科学素养” 竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了 12 名学生的成绩（成绩用 x表示，单位：分），并对成绩进行整理。
如图，小明将成绩分为四组，分别为 A 组：60≤x<70；B 组：70≤x<80；C 组：80≤x<90；D 组：90≤x<100，并绘制了不完整的八年级 1 班和 2 班成绩频数直方图。
下面给出了部分信息：
a. 八年级 1 班抽取的学生的 C 组数据：80，81，82，83，85，87，89；
b. 八年级 2 班抽取的学生的 D 组数据：90，92，94，96。
小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较。
请根据以上信息，完成下列问题：
(1) 请补全八年级 1 班学生成绩的频数直方图；
(2) 通过观察箱线图可得，a b（填 “>”“<” 或 “=”）；
(3) 通过计算可得，c= ，d= ；
(4) 在每个班级抽取的 12 名学生中成绩较高的 6 名学生可代表本班进入复赛，八年级 1 班的学生甲和八年级 2 班的学生乙的成绩均为 82 分，则 （填序号）进入复赛。
①学生甲 ②学生乙 ③学生甲和乙 ④都不能
（1）略
（2）＞
（3）81.5 91
（4）①
23.（本小题满分 10 分）济南地铁 6 号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约 1500 年。某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共 50 件，已知宣传海报每件 12 元，宣传手册每件 8 元。
(1) 若恰好用 480 元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？
(2) 若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的 1.5 倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？
（1）解设海报定制x件，宣传手册y件。
根据题意得
解得
答:海报定制20件，宣传手册30件
(2)解设宣传手册a件，总费用为w元。
50－a≥1.5a
解得：a≤20
W=12（50－a）+8a=－4m+600
∵－4＜0
∴w随a得增大而减小
∴当m=20时，w最小。
W=－4×20+600=520
答：宣传手册20件时，总花费最小，最小为520元。
24.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= x+1的图象与 x轴，y轴分别交于点 A，B。设 ∠ABO=α，将直线 AB绕点 A按某一方向旋转 β后交 y轴于点 C（0<β<180 ）。
(1) 分别求出点 A和点 B的坐标；
(2) 若 β=α，当点 C在点 B的上方时，求此时点 C的坐标；
(3)若β=180 α，则 y轴上是否存在点 C？若存在，请求出此时点 C的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）令y=0代入y= x+1
得 x+1=0
解得x=2
∴A（2，0）
令x=0代入y= x+1
得y=1
∴B（0，1）
（2）∵∠BAC= C在点B得上方
∴∠BCA=∠ABD－∠BAC=－=－α=α=
∴∠BAC=∠BCA=
∴AB=BC OB=1,OA=2
∴AB=
∴BC=
∴C（0，1+）
（3）存在 C（0，－）
25.（本小题满分 12 分）如图 1，在 △ABC中，∠ACB=90 ，CA=CB，点 D是 BC边上一动点（且不与点 B，C重合）。作射线 AD，过点 B作 BH⊥AD于点 H，将 △DHB 绕点 H旋转 180 得到△EHF，连接 CE
。线段 CE 与 HF交于点 G，连接 CF。
(1) 线段 EF和 DB的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2) 如图 2，当 CE⊥CF时，试探究线段 CE和线段 AB的位置关系，并说明理由；
(3) 在（2）的条件下，若 AB=2，请直接写出 CG的长度为 。
（1）EF=DB EF∥DB
（2）CE∥AB
(3)－1
考试时间 120 分钟 满分 150 分
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.在平面直角坐标系中，点 P(3,4)到 x 轴的距离为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定
2.“榫卯” 是采用凹凸部分相结合的一种连接方式。如图是某种 “榫” 构件的截面图，其中 AB∥CD，∠ABC=65 ，则 ∠BCD为（ ）
A. 105 B. 110 C. 115 D. 120
3.已知 a
A. sA2
6.我国古代的《孙子算经》中有一个 “二人持钱” 问题，其译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为 50 文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是 50 文，求甲、乙两人最初各自带的钱数。若设甲原有 x文钱，乙原有 y 文钱，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点 A(1,a)，点 B(3,b) 均在直线 y=kx（k≠0）上。若 a
8.如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90 ，AB=6cm，BC=10cm。现将 △ABC沿 AC方向平移 3cm 得到 △A′B′C′，边 A′B′与边 BC相交于点 D，若此时点 A′恰好在 ∠ABC的角平分线上，则 △A′DC的周长为（ ）
A. 10cm B. 13cm C. 15cm D. 16cm
9.如图，点 O是 △ABC三条边的垂直平分线的交点，连接 BO，CO，若 ∠A=α，则 ∠O的度数为（ ）
A. 90 +α B. 2α C. 90 α D. 90 +α
10.如图 1，长方形 ABCD各顶点坐标分别为 A(2,5)，B(5,8)，C(7,6)，D(4,3)。点 G(4,3)，H(2,1)，以 GH为一边作长方形 EFGH。现将长方形 EFGH沿 DC方向平移，至 EH与 BC重合时运动停止。在平移过程中，设平移的距离为 d，长方形 ABCD 与长方形 EFGH重叠的面积为 S，S关于 d的函数图象如图 2。当 EH与 BC重合时，点 F的坐标为（ ）
A. (8.25,8.75) B. (8.5,8.5) C. (6,8) D. (8,9)
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.如图，将 △ABC绕着点 A顺时针旋转 40 得到 △AB′C′，则 ∠BAB′= 。
12.某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占40%，统一测试占 60%。小宇的上述两项成绩依次是 80 分、90 分，则小宇期末体育成绩为
分。
13.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90 ，∠BAC的角平分线 AD交 BC于点 D，若 CD=2，AB=5，则 △ABD的面积为 。
14.关于 x的不等式组有且只有 3 个整数解，则 m的取值范围为 。
15.如图，在矩形 ABCD中，AB=4，BC=7，点 E是边 AB的中点，MN=1。若线段 MN在边 BC上左右滑动，则 EM+DN的最小值为 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 6 分）解方程组：
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
18.（本小题满分 7 分）已知：如图，在 Rt△ABC和 Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90 ，AD=BC。求证：∠ABC=∠BAD。
19.（本小题满分 8 分）如图，l1反映了某产品的销售收入 y1与销售量 x之间的关系，l2反映了该产品的销售成本 y2与销售量 x之间的关系，当销售收入 y1大于销售成本 y2时，该产品才开始盈利。
(1) 销售收入 y1与销售量 x之间的关系式为 ；销售成本 y2与销售量 x之间的关系式为 ；
(2) 该产品的销售量超过多少吨时，生产该产品才能盈利？
20.（本小题满分 8 分）问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30 角的三角尺拼成一个等边三角形，发现 “30 角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明。
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明。以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明。
已知：如图 2，△ABC是直角三角形，∠C=90 ，∠A=30 。求证：BC=AB。
证明：以点 B为圆心，以 BC为半径作弧交 AB于点 E，连接 CE。
21.（本小题满分 10 分）俄罗斯方块是一款经典游戏，如图是小颖玩俄罗斯方块时某一时刻的截图。图中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，小颖以此建立平面直角坐标系 xOy，已知点 A(2,3)在图形①上，现将图形①先向左平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位移动到新的位置，此时点 A恰好落在点 B处，请回答以下问题：
(1) 请在图中作出小颖建立的平面直角坐标系 xOy，点 B的坐标为 ；
(2) 上述平移过程中，平移距离 AB为 个单位长度；
(3) 已知某一图形经历了一系列平移和旋转变换后得到了图形②，变换前后的图形恰好关于原点 O成中心对称，则点 C的对应点的坐标为 。
22.（本小题满分 10 分）小明和小亮为了解八年级 1 班，2 班学生在 “科学素养” 竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了 12 名学生的成绩（成绩用 x表示，单位：分），并对成绩进行整理。
如图，小明将成绩分为四组，分别为 A 组：60≤x<70；B 组：70≤x<80；C 组：80≤x<90；D 组：90≤x<100，并绘制了不完整的八年级 1 班和 2 班成绩频数直方图。
下面给出了部分信息：
a. 八年级 1 班抽取的学生的 C 组数据：80，81，82，83，85，87，89；
b. 八年级 2 班抽取的学生的 D 组数据：90，92，94，96。
小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较。
请根据以上信息，完成下列问题：
(1) 请补全八年级 1 班学生成绩的频数直方图；
(2) 通过观察箱线图可得，a b（填 “>”“<” 或 “=”）；
(3) 通过计算可得，c= ，d= ；
(4) 在每个班级抽取的 12 名学生中成绩较高的 6 名学生可代表本班进入复赛，八年级 1 班的学生甲和八年级 2 班的学生乙的成绩均为 82 分，则 （填序号）进入复赛。
①学生甲 ②学生乙 ③学生甲和乙 ④都不能
23.（本小题满分 10 分）济南地铁 6 号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约 1500 年。某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共 50 件，已知宣传海报每件 12 元，宣传手册每件 8 元。
(1) 若恰好用 480 元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？
(2) 若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的 1.5 倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？
24.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= x+1的图象与 x轴，y轴分别交于点 A，B。设 ∠ABO=α，将直线 AB绕点 A按某一方向旋转 β后交 y轴于点 C（0<β<180 ）。
(1) 分别求出点 A和点 B的坐标；
(2) 若 β=α，当点 C在点 B的上方时，求此时点 C的坐标；
(3)若β=180 α，则 y轴上是否存在点 C？若存在，请求出此时点 C的坐标；若不存在，请说明理由。
25.（本小题满分 12 分）如图 1，在 △ABC中，∠ACB=90 ，CA=CB，点 D是 BC边上一动点（且不与点 B，C重合）。作射线 AD，过点 B作 BH⊥AD于点 H，将 △DHB 绕点 H旋转 180 得到△EHF，连接 CE
。线段 CE 与 HF交于点 G，连接 CF。
(1) 线段 EF和 DB的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2) 如图 2，当 CE⊥CF时，试探究线段 CE和线段 AB的位置关系，并说明理由；
(3) 在（2）的条件下，若 AB=2，请直接写出 CG的长度为 。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.在平面直角坐标系中，点 P(3,4)到 x 轴的距离为（ B ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定
2.“榫卯” 是采用凹凸部分相结合的一种连接方式。如图是某种 “榫” 构件的截面图，其中 AB∥CD，∠ABC=65 ，则 ∠BCD为（ C ）
A. 105 B. 110 C. 115 D. 120
3.已知 a
A. sA2
6.我国古代的《孙子算经》中有一个 “二人持钱” 问题，其译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为 50 文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是 50 文，求甲、乙两人最初各自带的钱数。若设甲原有 x文钱，乙原有 y 文钱，则可列方程组为（ D ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点 A(1,a)，点 B(3,b) 均在直线 y=kx（k≠0）上。若 a
8.如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90 ，AB=6cm，BC=10cm。现将 △ABC沿 AC方向平移 3cm 得到 △A′B′C′，边 A′B′与边 BC相交于点 D，若此时点 A′恰好在 ∠ABC的角平分线上，则 △A′DC的周长为（ C ）
A. 10cm B. 13cm C. 15cm D. 16cm
9.如图，点 O是 △ABC三条边的垂直平分线的交点，连接 BO，CO，若 ∠A=α，则 ∠O的度数为（ B ）
A. 90 +α B. 2α C. 90 α D. 90 +α
10.如图 1，长方形 ABCD各顶点坐标分别为 A(2,5)，B(5,8)，C(7,6)，D(4,3)。点 G(4,3)，H(2,1)，以 GH为一边作长方形 EFGH。现将长方形 EFGH沿 DC方向平移，至 EH与 BC重合时运动停止。在平移过程中，设平移的距离为 d，长方形 ABCD 与长方形 EFGH重叠的面积为 S，S关于 d的函数图象如图 2。当 EH与 BC重合时，点 F的坐标为（ A ）
A. (8.25,8.75) B. (8.5,8.5) C. (6,8) D. (8,9)
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.如图，将 △ABC绕着点 A顺时针旋转 40 得到 △AB′C′，则 ∠BAB′= 40 。
12.某校规定学生的期末体育成绩由过程性评价和统一测试两部分组成，其中过程性评价占40%，统一测试占 60%。小宇的上述两项成绩依次是 80 分、90 分，则小宇期末体育成绩为
86 分。
13.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90 ，∠BAC的角平分线 AD交 BC于点 D，若 CD=2，AB=5，则 △ABD的面积为 5 。
14.关于 x的不等式组有且只有 3 个整数解，则 m的取值范围为 0≤m＜1 。
15.如图，在矩形 ABCD中，AB=4，BC=7，点 E是边 AB的中点，MN=1。若线段 MN在边 BC上左右滑动，则 EM+DN的最小值为 6 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 6 分）解方程组：
由②得x=3－2y③
将③代入①得2（3－2y）+3y=9
解得y=－3
将y=－3代入③得x=9
原方程组得解为
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
解不等式①得x≤2
解不等式②得x≥－2
不等式组得解集－2≤x≤2
整数解为－2，－1，0，1，2
18.（本小题满分 7 分）已知：如图，在 Rt△ABC和 Rt△BAD中，∠ACB=∠BDA=90 ，AD=BC。求证：∠ABC=∠BAD。
∵∠ACB=∠BDA=90° AD=BC AB=AB
∴△ACB≌△BDA（HL）
∴∠ABC=∠BAD
19.（本小题满分 8 分）如图，l1反映了某产品的销售收入 y1与销售量 x之间的关系，l2反映了该产品的销售成本 y2与销售量 x之间的关系，当销售收入 y1大于销售成本 y2时，该产品才开始盈利。
(1) 销售收入 y1与销售量 x之间的关系式为 ；销售成本 y2与销售量 x之间的关系式为 ；
(2) 该产品的销售量超过多少吨时，生产该产品才能盈利？
(1)y1=2x y2=x+2
(2)当y1＞y2时，开始盈利
∴2x＞x+2
解得x＞2
∴当销售量超过2吨时，开始盈利
20.（本小题满分 8 分）问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30 角的三角尺拼成一个等边三角形，发现 “30 角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明。
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明。以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明。
已知：如图 2，△ABC是直角三角形，∠C=90 ，∠A=30 。求证：BC=AB。
证明：以点 B为圆心，以 BC为半径作弧交 AB于点 E，连接 CE。
∵BE，BC为B得半径
∴BC=BE
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠B=60°
∵BC=BE
∴△BCE为等边三角形
∴BC=BE=CE
∴∠BCE=60°
∴∠ACE=∠BCA－∠BCE=30°
∴∠ACE=∠A=30°
∴CE=AE
∴AE=BE=BC
∴BC=AB
21.（本小题满分 10 分）俄罗斯方块是一款经典游戏，如图是小颖玩俄罗斯方块时某一时刻的截图。图中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，小颖以此建立平面直角坐标系 xOy，已知点 A(2,3)在图形①上，现将图形①先向左平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位移动到新的位置，此时点 A恰好落在点 B处，请回答以下问题：
(1) 请在图中作出小颖建立的平面直角坐标系 xOy，点 B的坐标为 ；
(2) 上述平移过程中，平移距离 AB为 个单位长度；
(3) 已知某一图形经历了一系列平移和旋转变换后得到了图形②，变换前后的图形恰好关于原点 O成中心对称，则点 C的对应点的坐标为 。
（1）（－2，－5）
（2）4
（3）（－4，2）
22.（本小题满分 10 分）小明和小亮为了解八年级 1 班，2 班学生在 “科学素养” 竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了 12 名学生的成绩（成绩用 x表示，单位：分），并对成绩进行整理。
如图，小明将成绩分为四组，分别为 A 组：60≤x<70；B 组：70≤x<80；C 组：80≤x<90；D 组：90≤x<100，并绘制了不完整的八年级 1 班和 2 班成绩频数直方图。
下面给出了部分信息：
a. 八年级 1 班抽取的学生的 C 组数据：80，81，82，83，85，87，89；
b. 八年级 2 班抽取的学生的 D 组数据：90，92，94，96。
小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较。
请根据以上信息，完成下列问题：
(1) 请补全八年级 1 班学生成绩的频数直方图；
(2) 通过观察箱线图可得，a b（填 “>”“<” 或 “=”）；
(3) 通过计算可得，c= ，d= ；
(4) 在每个班级抽取的 12 名学生中成绩较高的 6 名学生可代表本班进入复赛，八年级 1 班的学生甲和八年级 2 班的学生乙的成绩均为 82 分，则 （填序号）进入复赛。
①学生甲 ②学生乙 ③学生甲和乙 ④都不能
（1）略
（2）＞
（3）81.5 91
（4）①
23.（本小题满分 10 分）济南地铁 6 号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约 1500 年。某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共 50 件，已知宣传海报每件 12 元，宣传手册每件 8 元。
(1) 若恰好用 480 元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？
(2) 若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的 1.5 倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？
（1）解设海报定制x件，宣传手册y件。
根据题意得
解得
答:海报定制20件，宣传手册30件
(2)解设宣传手册a件，总费用为w元。
50－a≥1.5a
解得：a≤20
W=12（50－a）+8a=－4m+600
∵－4＜0
∴w随a得增大而减小
∴当m=20时，w最小。
W=－4×20+600=520
答：宣传手册20件时，总花费最小，最小为520元。
24.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= x+1的图象与 x轴，y轴分别交于点 A，B。设 ∠ABO=α，将直线 AB绕点 A按某一方向旋转 β后交 y轴于点 C（0<β<180 ）。
(1) 分别求出点 A和点 B的坐标；
(2) 若 β=α，当点 C在点 B的上方时，求此时点 C的坐标；
(3)若β=180 α，则 y轴上是否存在点 C？若存在，请求出此时点 C的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）令y=0代入y= x+1
得 x+1=0
解得x=2
∴A（2，0）
令x=0代入y= x+1
得y=1
∴B（0，1）
（2）∵∠BAC= C在点B得上方
∴∠BCA=∠ABD－∠BAC=－=－α=α=
∴∠BAC=∠BCA=
∴AB=BC OB=1,OA=2
∴AB=
∴BC=
∴C（0，1+）
（3）存在 C（0，－）
25.（本小题满分 12 分）如图 1，在 △ABC中，∠ACB=90 ，CA=CB，点 D是 BC边上一动点（且不与点 B，C重合）。作射线 AD，过点 B作 BH⊥AD于点 H，将 △DHB 绕点 H旋转 180 得到△EHF，连接 CE
。线段 CE 与 HF交于点 G，连接 CF。
(1) 线段 EF和 DB的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2) 如图 2，当 CE⊥CF时，试探究线段 CE和线段 AB的位置关系，并说明理由；
(3) 在（2）的条件下，若 AB=2，请直接写出 CG的长度为 。
（1）EF=DB EF∥DB
（2）CE∥AB
(3)－1
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