江苏省扬州市高邮市2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含答案）

2025-2026 学年度第二学期高三期初学情调研测试 数学试题
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项符合要求)
1. 已知集合 ，则 中元素的个数是( ).
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
2. 若 ，则 ( ).
A. 1 B. C. 2 D.
3. 若直线 是圆 的一条对称轴,则实数 的值为( ).
A. -1 B. 1
C. D.
4. 函数 的图象的相邻两支截直线 所得线段长为 ,则 ( ).
A. B. C. 1 D.
5. 若偶函数 满足 ，且当 时， ，则 ( ).
A. 2 B. C. D.
6. 已知圆 的半径为 内接于此圆,且 ,则 的取值范围是( ).
A. B. C. D.
7. 已知 ,若曲线 上存在点 满足 , 则 的取值范围是 ( ).
A. B. C. D.
8. 若直线 与曲线 相切于点 ,与曲线 相切于点 ,则 等于( ).
A. 0 B. C. e 或 0 D. 0 或
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 某研究所研究耕种深度 (单位:cm) 与水稻每公顷产量 (单位:t) 的关系,所得数据资料如下表:
耕种深度 10 12 14 16 18
每公顷产量 6.0 7.0 7.5 9.0 9.5
经计算可知每公顷产量 与耕种深度 的线性回归方程为 ,则下列说法中正确的是 ( ).
A. 每公顷产量与耕种深度呈正相关 B. 耕种深度的平均数为 12
C. 每公顷产量的平均数为 7.8 D.
10. 在棱长为 1 的正方体 中,点 分别满足 , 则( ).
A. 当 时,三棱锥 的体积不变
B. 当 时,存在 使得点 到平面 的距离不等
C. 当 时,总有
D. 存在 使得 面
11. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 作互相垂直的两条直线 分别与抛物线 交于点 和点 ,其中 在第一象限， 为坐标原点，若 ，则( ).
A. 抛物线的准线方程为
B. 若 ,则直线 的斜率为
C. 四边形 的面积的最小值为 64
D. 若线段 的中点分别为点 ，则 与 的面积之比为 3:2
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 在 的展开式中， 的系数是_____▲_____.
13. 在等差数列 中， ， ，记 ，则数列 的最大值为_____▲_____.
14. 一个不透明袋子里装有除了颜色其他无区别的 2 个白球和 3 个黑球, 从中不放回地每次取出 1 个球,直到所有白球被取出. 记取球次数为 ,则 的数学期望 _____▲_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 上存在一点 ，满足 ，求 的长.
16. (本小题满分 15 分)
设 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ，并证明: .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在梯形 中， ，过点 作 于点 . 现将 沿 翻折到 的位置,使得平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)已知 ， ，且 ， ， ， 在同一个球面上，设该球面的球心为 .
①证明:点 在平面 上；
②求 与平面 所成角的正弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 是椭圆 上一点，过点 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 ， 两点，若直线 ， 的斜率都存在，且分别记为 ， .
① 求 的值；
②试问: 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知 ,函数 .
(1)证明:曲线 是中心对称图形；
(2)当 时，函数 为减函数，求实数 的最小值；
(3)当 时,证明:方程 有三个不等实根.
2025-2026 学年度第二学期高三期初学情调研测试 数学参考答案及评分细则
1. B 2. D 3. A
9. ACD 10. AD 11. ABD
12.240 13.6160 14.4
15.(1)因为 ，
所以, 由正弦定理得
3 分
因为 ,所以
又 ,所以 5 分
因为 ,所以 ,所以
所以 ,所以 . 7 分
(2)【法一】
因为 在边 上，且 ，
所以 . 9 分
所以
所以 . 13 分
【法二】由余弦定理得
所以 ,所以 9 分
因为 ,所以
所以,在直角三角形 中, 13 分
【法三】
在 和 中,分别由正弦定理得:
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 . -9 分
由 得
所以 ,所以 . 13 分
16.(1)因为 ，所以 ①
当 时,由①得:
则①-②得:
即 ,则 4 分
则 是等差数列,且公差为 2,又
则 ,即 . 6 分
(2)【法一】
因为 ,所以 ,所以 8 分
所以 ③
所以 ④
③-④得:
所以 14 分
因为 ,所以 ,所以
综上: . 15 分
【法二】
因为 ,所以 ,所以 · 8 分
因为
所以 · 14 分因为 ,所以 ,所以
综上: . 15 分
17. (1)因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ,所以 ; 4 分
(2)①【法一】在平面 内作 的垂直平分线，交 于 ，连接 ， . 因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ,所以 ,
所以 在以 为球心,3 为半径的球面上,
即 与 重合,故点 在平面 上; 9 分
【法二】以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
若 在同一个球面上,设球 的半径为 ,则 ,
设 ,则
解得 ,即点 在平面 上; 9 分
②【法一】记点 到平面 的距离为 ，由 可得 ，
即 ,解得 , 12 分
记 与平面 所成角为 ,则 ,
即 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
【法二】 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,取 ,则 , 12 分
记 与平面 所成角为 ,因为 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18. 解: (1)【法一】由题意椭圆的焦点在 轴上,且 ,则 由椭圆定义 得:
2 分得 ,则 ,则椭圆 方程为: ; 4 分
【法二】因为 ,所以 ,即椭圆方程为:
又 在椭圆上,所以 ,解得:
则椭圆 方程为: ; · 4 分
(2)① 令 ，则直线 方程为: ，即 ，
因为直线 与圆 相切,所以 ,即 ,
化简得: ,
同理得: ,
则 是方程 的两根,
显然 且 7 分
因为点 在椭圆 上,所以 ,则
则 ,即 10 分
②【法一】设直线 方程为: ，即: ，设 ， ，
则
12 分
因为 ,所以
则:
由 ,得: ,同理 14 分
则: ,则:
所以 17 分
②【法二】设 ,则
因为 ,所以直线方程为:
12 分
因为 两点在椭圆上,所以
则
则
即
因为 ,所以 14 分
又因为
则 17 分
②【法三】设
(i) 若直线 与 轴平行,由对称性 ,
因为 ,所以不妨设 ,则
则 ,解得 ,即 ,则
12 分
(ii) 若直线 不与 轴平行,设直线 方程为: ,
直线 与 轴交点为
则
由 ,得:
由 ,得:
14 分
因为 ,
所以
即 ,得 ,
显然 即 ,
则
17 分
综上:
19. 解: (1) 证明: 由题知函数定义域为 2 分
因为
所以 关于点 中心对称,即曲线 是中心对称图形; 5 分
(2)当 时，记 ，其中 ，
则 ,
因为函数 为减函数,所以 恒成立 7 分
因为 ,当且仅当 时等号成立,
故 ,而 成立,故 即 ,
所以 的最小值为 -2 ; 10 分
(3)当 时， ，
当 时, 12 分
因为 ,所以函数 在区间 上单调递减,
(若直接分析出 的单调性,扣 2 分)
又因为
所以存在 使得 ,当 时 单调递增,
当 时 单调递减, 15 分
又知 ,则
所以方程 在区间 上有一解,
由曲线 的对称性知,方程 在区间 上也有一解,
又因为 ,所以方程 在区间 上有三解. 17 分