广西钦州市第四中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷（含答案）

广西钦州市第四中学 2026 春季学期高一年级开学考试数学 试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案 写在答题卡卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共8小题，每小题 5 分；共40 分，只有一个正确选项)
1. 在平面直角坐标系中,直线 与函数 的图象的交点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 无法确定
2. 定义在 上的函数 满足以下条件: ① ; ②对任意 , 当 时都有 . 则 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
3. 某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示, 则估计该班物理测试的平均成绩是 ( )
A. 65 B. 70 C. 68 分 D. 66 分
4. 函数 的最大值为 ( )
A. 7 B. 9 C. 10 D. 13
5. 已知定义在 上的单调递增函数 ,且 为奇函数,则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
6. 已知集合 ，则( )
A. B.
C. D.
7. 使用简单随机抽样从 1000 件产品中抽出 50 件进行某项检查, 合适的抽样方法是 ( )
A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 以上都不对
8. 已知命题 ; 命题 ,则( )
A. 和 都是真命题
B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题
D. 和 都是真命题
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分；共 18 分，在每小题给出的选项中，有多 项符合要求, 全部选对的, 得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的, 得 0 分)
9. 一组样本数据 ,其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为
,由这组数据得到一组新样本数据 ,其中
,其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为 , 则 ( )
A. B.
C. D.
10. (多选题) 为征求个人所得税法修改建议, 某机构调查了 10000 名当地职工的月收入情况, 并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图.
下列说法正确的是( )
A. 月收入低于或等于 5000 元的职工有 5500 名
B. 如果个税起征点调整至 5000 元, 估计有 50% 的当地职工会被征税
C. 月收入高于或等于 7000 元的职工约为当地职工的 5%
D. 根据此次调查, 为使 60%以上的职工不用缴纳个税, 起征点应调整至 5200 元
11. (多选题) 如图,圆 的半径为 1,六边形 是圆 的内接正六边形,从 、 六点中任意取两点,并连接成线段,则下列结论正确的是 ( )
A. 线段的长为 1 的概率是 0.4 B. 线段的长为 2 的概率是 0.5
C. 线段的长为 的概率是 0.4 D. 线段的长不超过 的概率是 0.8
第 II 卷(非选择题)
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分；共 15 分.)
12. 若集合 ，集合 ，则 _____.
13. 写出一个满足下列条件的函数解析式_____. ① ; ② ， 且. ,有 ; ③ ,且 ,有 ; ④ .
14. 已知正实数 ，则 的最大值为_____.
四、解答题(共 5 小题，共 77 分，解答时写出文字说明，证明过程或算数步骤)
15. 已知函数 ，函数 . (1)求 的定义域；
( 2 )判断 在 上的单调性，并用定义证明；
(3)若 ,使得 成立,求 的取值范围.
16. 已知函数
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若 对任意 恒成立,求 的取值范围.
17. (1)计算: .
(2)已知 ，且 ，求 的值.
18. 已知
(1)判断并证明 的奇偶性;
(2) 函数 在 上只有一个零点,求 的取值范围;
(3)证明: 有唯一的正零点 ,并比较 和 的大小, 说明理由.
19. 在“ 型无人机”物流配送场景中,无人机的载重 (单位: ) 会直接影响其每千米能耗 (单位: , 为电能单位). 某技术团队对该无人机进行载重测试, 得到如下实验数据:
载重 0 1 4 9 16
每千米能耗 (Wh/km) 2 7 12 17 22
为精准预测不同载重下的每千米能耗, 现有以下三种模型供选择:
① ，② ，③ .
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式；
(2)若该无人机电池容量为 ，飞行环境、飞行参数控制不变. 根据(1)中所得的函数模型,
(i)某单程配送任务要求该无人机飞行 20km，且载重 9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务, 并说明理由;
(ii)若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行 (单位: )，去程载重 ， 返程空载,且往返总能耗不大于电池容量的 87%,求 的最大值.
1. C
由函数的定义可知,对定义域内的任意一个 ,只有唯一的 与之对应, 若 在函数定义域内,则直线 与函数 的图象的交点个数为 1, 若不在函数定义域内,则直线 与函数 的图象的交点个数为 0, 所以函数 的图象与直线 的交点个数为 0 或 1 .
2. A
因为定义在 上的函数 满足条件 ,
即 ,所以函数 是偶函数,
对任意 ,当 时都有 ,
所以不妨设 ,则有 ,
因此 时,函数 是增函数,
因为函数 是偶函数,
所以 ,
因为 时,函数 是增函数,
所以 ,即 .
故选: A
3. C
平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和,
即 (分).
故选: C
4. B
令 ,可得 , 可得函数 的最大值为 9 .
5. D
由函数 为奇函数,可得 ,
即 ,所以 ,
又由不等式 ,可得 ,
因为函数 是 上的单调递增函数,
所以 ,即 ,解得 ,
所以不等式的解集为 .
故选: D.
6. A
因为 ,
所以 .
7. B
由于总体相对较大, 样本量较小, 故采用随机数法较为合适.
故选: B.
8. B
当 时, 不成立,所以命题 是假命题, 是真命题; 根据指数函数和对数函数的图象可知,函数 与 在 上有一个交点, 则 ,即命题 是真命题, 是假命题.
9. AC
不妨设 ,则 ;
对 A: ,故 A 正确;
对 B: 由方差性质可得 ,故 B 错误;
对 : 若 为整数,则 ,
若 不为整数,则 ,其中 表示不大于 的最大整数,
,故 正确;
对 D: ,故 D 错误.
10. ACD
月收入低于或等于 5000 元的职工有 名, A 正确;
如果个税起征点调整至 5000 元, 由 (0.00025 + 0.00015 + 0.00005) ×1000 × 100% = 45%,
可估计有 45% 的当地职工会被征税, B 不正确;
月收入高于或等于 7000 元的职工约占 ，C 正确，
根据此次调查，为使 60% 以上的职工不用缴纳个税，
则由 B 可得前 3 组频率和为 0.55,则起征点应调整至 元, D 正确.
11. ACD
在 中任取两点的样本空间 ，共 15 个样本点，
线段的长为 1 的样本点有 ,共有 6 个样本点,
所以线段的长为 1 的概率 ,故 正确.
线段的长为 2 的样本点有 ,共有 3 个样本点,
所以线段的长为 2 的概率 ,故 B 不正确.
线段的长为 的样本点有 ,共有 6 个样本点,
所以线段的长为 的概率 ,故 正确.
线段的长不超过 的概率是 ,故 D 正确.
故选: ACD.
12. {2}
因为集合 ,集合 ,所以 . 故答案为: .
13. (答案不唯一)
条件①对应的是偶函数; 条件②对应的为函数在 上单调递减;
条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性:函数在 上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征,
在所学过的函数模型中,一次函数 与幂函数 符合,结合①②③, 不符合;
在 中,取 为负偶数即可.
14.
因为 为正实数， ,
已知 ，则 ，所以 .
当且仅当 时取等号,此时 ,满足正实数条件.
所以 的最大值为 .
故答案为: .
15.(1) 由题意知 ,整理得 , 所以 ,解得 ,即 的定义域为 ;
(2) 在 上单调递增，证明如下:
任取 ,且 ,
则
又 ,所以 ,所以 ,
即 ,所以 在 上单调递增;
(3)若 ，使得 成立，则 .
由 (2) 知 在 上单调递增,所以 ,
记 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
当 时, ,
则 ,所以 ,所以 或 ,又 ,所以 ;
当 时， ，
则 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 ;
综上, 的取值范围为 .
16. ;
(2) .
(1)由题意
,
令 ,则 为开口向上,对称轴为 的抛物线,
又因为 在 上单调递增,则 在 上单调递减,在 上单调递增,
又 ,解得 ,
所以根据复合函数单调性得函数 的单调递增区间为 .
(2)因为 对任意 恒成立，且 ， 所以 ,化简得 恒成立,
令 ,则 在 上单调递增,
所以 ,即得 ,
又因为 恒成立,所以 ,所以 .
所以 的取值范围为 .
17. (1) .
解: (1) 原式 .
(2)因为 ，所以 .
又 ,所以 ,
则 ,则 .
18. (1) 为奇函数,理由如下:
由题意得, 的定义域为 ,
为奇函数.
(2) ，设 ，由 得 ，
设 ,则 在 有且只有一个零点,
① 时， 不满足题意.
② 解得 ，
③ ，无解，
④ 时，即 ，此时 ，满足题意，
⑤ 时， ，
检验,当 时, ,满足题意.
当 时, ,不满足题意.
综上所述: 的取值范围为 或 .
方法二: ,设 ,
设 ,令 .
由对勾函数性质知, 在 单调递减, 上单调递增
函数 在 单调递增, 上单调递减.
当 时, ,
故 的图象如图所示,
由图象可知 的取值范围为 或 .
(3)方法一:依题意可得 ， 因为 在 上均单调递增,所以 在 上单调递增,
且 ,即 ,
由零点存在定理可得 在 上存在唯一实数 ,使得 ,
可得 有唯一的正零点 ,且 ,
可得 ,两边同时取对数可得 ,
所以 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,
因此 ,可得 .
方法二: 依题意 ,
因为 在 上均单调递增,所以 在 上单调递增,
且 ,
即 ,由零点存在定理可得 在 上存在唯一实数 ,使得 ,
可得 有唯一的正零点 ,且 ,即 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,即 ,所以 .
19.(1) 选择函数模型③ .
理由如下:
依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件:
一是函数的定义域为 ；
二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大.
因为模型①的定义域不可能为 ，所以不符合:
因为模型②是单调递减函数，所以不符合；
因为模型③在 有意义，且当 时， 单调递增，符合题意，
故应选择模型为 .
将点 代入 得 ，解得 ，
所以 .
经检验,点 都在函数 的图象上, 所以所求的函数解析式为 ,
且当 时， 表示空载能耗.
(2)由(1)得 .
(i) 依题意,得 ,
所以该无人机不能完成本次配送任务.
(ii) 依题意,得 ,
所以 ,解得 ,
所以 的最大值为 .