广西壮族自治区来宾高级中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广西壮族自治区来宾高级中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 78.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-09 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
2028 届高一(下)数学(1)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 下列说法错误的是( )
A. 向量 与 模相等 B. 两个相等向量若起点相同, 则终点必相同
C. 只有零向量的模等于 0 D. 零向量没有方向
3. 如图，在四边形 中，若 ，则图中相等的向量是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4. 函数 的定义域为
A. B. C. D.
5. 已知非零向量 与 的夹角为 ,则“ ” 是“ 为锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 和 的夹角为 ,且 ,则 ( )
A. 1 B. C. 3 D. -1
7. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知非零向量 满足 ，向量 与 的夹角为 ，且 ，则向量 的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. (多选) 设 是平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,不能作为基的是 ( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10. 下列说法正确的有( )
A. 命题“ ”的否定是“ ”
B. 不等式 的解集是
C. 若 ,则 的最小值为 4
D. 函数 的值域是
11. 若实数 满足 ,则( ).
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. _____.
13. 已知向量 与 的夹角是 ,且 ,则向量 在向量 上的投影向量是_____
14. 如图,在 中, 是 的中点, 是 上的两个三等分点, , ，则 的值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 在平面直角坐标系中,已知角 的顶点为原点,始边为 轴的非负半轴,终边经过点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
16. 已知平面向量 ，且 .
(1)求 和 的坐标；
(2)求向量 与向量 的夹角的余弦值.
17. 已知向量 ,函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)求函数 在 上的最大值和最小值以及对应的 的值.
18. 如图所示,在 中， 是边 上的中线， 为 中点，过点 的直线交边 于 两点,设 与点 不重合)
(1)求 和 的值；
(2)证明: 为定值；
(3) 求 的最小值，并求此时的 的值.
19. 已知向量 ，函数 ，其中 .
(1)若 ， ，求 的对称中心；
(2)若 ，函数 图象向右平移 个单位，得到函数 的图象， 是 的一个零点,若函数 在 上恰好有 8 个零点,求 的最小值;
(3)已知函数 ，在第(2)问条件下，若对任意 ，存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
1. A
,解得 ,
所以 ,所以 .
2. D
向量 与 互为相反向量,所以向量 与 的模相等,故 选项正确;
如果两个相等向量的起点相同,则它们终点必相同,故 选项正确;
根据向量模的定义，只有零向量的模等于 0，故 选项正确；
零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故 D 选项不正确；
故选: D.
3. D
因为 ,所以四边形 是平行四边形,所以 互相平分.
对于 A: 与 不平行,不可能相等,故 A 错误;
对于 与 大小相同,方向相反,故 错误;
对于 与 不平行,不可能相等,故 错误;
对于 D: 大小相等,方向相同. 即 与 是相等的向量.
故选: D
4. B
要使函数 有意义,
则 ,
解得 ,
函数 的定义域为 ,故选 B.
5. B
为锐角时, ,因此是必要的,
时, ,满足 ,但 不是锐角,因此不充分,故是必要不充分条件,
故选: B.
6. D
因为 和 的夹角为 ,
所以 .
故选: D.
7. D
,
因为 ,则 ,则 ,
则 .
故选: D.
8. B
,
,
,
由模长公式可得
,
设向量 的夹角为 ,
向量 的夹角为 ,
故选:
9. AB
因为 ,所以 与 共线,不能作为基,故 A 正确; 因为 ,所以 和 共线,不能作为基,故 B 正确; 设存在实数 使得 ,则 无解,
所以 和 不共线,能作为基,故 错误;
设存在实数 使得 ,则 无解,
所以 和 不共线,能作为基,故 错误;
故选: AB
10.
对于 选项,命题“ ”的否定是“ ”, 对; 对于 选项，不等式 等价于 ,解得 ,
所以，不等式 的解集为 ， 对；
对于 选项,若 ,则 ,
所以, ,
当且仅当 时,即当 时,等号成立,
故当 时, 的最小值为 4, 对;
对于 选项,当 时, ,
当 时,函数 取最大值 4,
当 时, ; 当 时, .
所以,函数 的值域为 , D 错.
故选: ABC.
11. ACD
AB 选项,由题意得 ,
令 ，显然 在 上单调递增，
且 ,
则 ,故 ,且 ,
所以 ， ，故 ，A 正确，B 错误；
C 选项, 正确;
D 选项, ,故 , D 正确;
故选: ACD
12. 0
.
13.
由题意, ,
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为: .
14.
因为 ,
,
因此 ,
.
15.
(2)
(1)由三角函数定义可得: ,
所以 .
(2) .
16.
(2)
(1)因为 ，所以 ，则 ，
因为 ,所以 ,则 .
(2)因为 ，
所以 ,
即向量 与向量 的夹角的余弦值为 .
17.
(2) 时, 时, .
(1)
令
函数 的单增区间为 .
(2)由(1)可知， ，
令
当 即 时，
当 即 时, .
18. (1)因为 是边 上的中线，所以 ， 所以 ;
(2)因为 为 中点，所以 ，
因为 ,
所以 ,即 ,
因为 三点共线,所以 ,即 ,
即 为定值;
(3)由(2)知 ，
所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 1,此时 .
19. (1) .
(2)
(3)
(1) 因为 .
由 恒成立, 可知: 函数 的周期满足: ,
所以 ,由 .
所以 .
由 ,所以函数 的对称中心为 , .
(2)因为 .
由
所以 或 .
所以 或 .
又 ,所以 .
所以 . 所以 .
函数 的草图如下:
由函数 在 ,上恰好有 8 个零点,
所以 .
即 的最小值: .
(3)问题转化为，当 时，函数 的值域是 的值域的子集.
对 : 因为 ,所以 ,所以 ,又 ,所以
对 : 因为 ,所以 ,所以 ,所以
由
即 的取值范围是:
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 下列说法错误的是( )
A. 向量 与 模相等 B. 两个相等向量若起点相同, 则终点必相同
C. 只有零向量的模等于 0 D. 零向量没有方向
3. 如图，在四边形 中，若 ，则图中相等的向量是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4. 函数 的定义域为
A. B. C. D.
5. 已知非零向量 与 的夹角为 ,则“ ” 是“ 为锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 和 的夹角为 ,且 ,则 ( )
A. 1 B. C. 3 D. -1
7. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知非零向量 满足 ，向量 与 的夹角为 ，且 ，则向量 的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. (多选) 设 是平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,不能作为基的是 ( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10. 下列说法正确的有( )
A. 命题“ ”的否定是“ ”
B. 不等式 的解集是
C. 若 ,则 的最小值为 4
D. 函数 的值域是
11. 若实数 满足 ,则( ).
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. _____.
13. 已知向量 与 的夹角是 ,且 ,则向量 在向量 上的投影向量是_____
14. 如图,在 中, 是 的中点, 是 上的两个三等分点, , ，则 的值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 在平面直角坐标系中,已知角 的顶点为原点,始边为 轴的非负半轴,终边经过点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
16. 已知平面向量 ，且 .
(1)求 和 的坐标；
(2)求向量 与向量 的夹角的余弦值.
17. 已知向量 ,函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)求函数 在 上的最大值和最小值以及对应的 的值.
18. 如图所示,在 中， 是边 上的中线， 为 中点，过点 的直线交边 于 两点,设 与点 不重合)
(1)求 和 的值；
(2)证明: 为定值；
(3) 求 的最小值，并求此时的 的值.
19. 已知向量 ，函数 ，其中 .
(1)若 ， ，求 的对称中心；
(2)若 ，函数 图象向右平移 个单位，得到函数 的图象， 是 的一个零点,若函数 在 上恰好有 8 个零点,求 的最小值;
(3)已知函数 ，在第(2)问条件下，若对任意 ，存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
1. A
,解得 ,
所以 ,所以 .
2. D
向量 与 互为相反向量,所以向量 与 的模相等,故 选项正确;
如果两个相等向量的起点相同,则它们终点必相同,故 选项正确;
根据向量模的定义，只有零向量的模等于 0，故 选项正确；
零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故 D 选项不正确；
故选: D.
3. D
因为 ,所以四边形 是平行四边形,所以 互相平分.
对于 A: 与 不平行,不可能相等,故 A 错误;
对于 与 大小相同,方向相反,故 错误;
对于 与 不平行,不可能相等,故 错误;
对于 D: 大小相等,方向相同. 即 与 是相等的向量.
故选: D
4. B
要使函数 有意义,
则 ,
解得 ,
函数 的定义域为 ,故选 B.
5. B
为锐角时, ,因此是必要的,
时, ,满足 ,但 不是锐角,因此不充分,故是必要不充分条件,
故选: B.
6. D
因为 和 的夹角为 ,
所以 .
故选: D.
7. D
,
因为 ,则 ,则 ,
则 .
故选: D.
8. B
,
,
,
由模长公式可得
,
设向量 的夹角为 ,
向量 的夹角为 ,
故选:
9. AB
因为 ,所以 与 共线,不能作为基,故 A 正确; 因为 ,所以 和 共线,不能作为基,故 B 正确; 设存在实数 使得 ,则 无解,
所以 和 不共线,能作为基,故 错误;
设存在实数 使得 ,则 无解,
所以 和 不共线,能作为基,故 错误;
故选: AB
10.
对于 选项,命题“ ”的否定是“ ”, 对; 对于 选项，不等式 等价于 ,解得 ,
所以，不等式 的解集为 ， 对；
对于 选项,若 ,则 ,
所以, ,
当且仅当 时,即当 时,等号成立,
故当 时, 的最小值为 4, 对;
对于 选项,当 时, ,
当 时,函数 取最大值 4,
当 时, ; 当 时, .
所以,函数 的值域为 , D 错.
故选: ABC.
11. ACD
AB 选项,由题意得 ,
令 ，显然 在 上单调递增，
且 ,
则 ,故 ,且 ,
所以 ， ，故 ，A 正确，B 错误；
C 选项, 正确;
D 选项, ,故 , D 正确;
故选: ACD
12. 0
.
13.
由题意, ,
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为: .
14.
因为 ,
,
因此 ,
.
15.
(2)
(1)由三角函数定义可得: ,
所以 .
(2) .
16.
(2)
(1)因为 ，所以 ，则 ，
因为 ,所以 ,则 .
(2)因为 ，
所以 ,
即向量 与向量 的夹角的余弦值为 .
17.
(2) 时, 时, .
(1)
令
函数 的单增区间为 .
(2)由(1)可知， ，
令
当 即 时，
当 即 时, .
18. (1)因为 是边 上的中线，所以 ， 所以 ;
(2)因为 为 中点，所以 ，
因为 ,
所以 ,即 ,
因为 三点共线,所以 ,即 ,
即 为定值;
(3)由(2)知 ，
所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 1,此时 .
19. (1) .
(2)
(3)
(1) 因为 .
由 恒成立, 可知: 函数 的周期满足: ,
所以 ,由 .
所以 .
由 ,所以函数 的对称中心为 , .
(2)因为 .
由
所以 或 .
所以 或 .
又 ,所以 .
所以 . 所以 .
函数 的草图如下:
由函数 在 ,上恰好有 8 个零点,
所以 .
即 的最小值: .
(3)问题转化为，当 时，函数 的值域是 的值域的子集.
对 : 因为 ,所以 ,所以 ,又 ,所以
对 : 因为 ,所以 ,所以 ,所以
由
即 的取值范围是:
同课章节目录