广西南宁沛鸿民族中学2025-2026学年下学期高二年级3月教学质量监测数学试卷（含答案）

2026 年春季学期高二年级 3 月教学质量监测 数学
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知某质点的运动方程为 ,其中 的单位是 的单位是 ,则该质点在 末的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2. 若直线 与直线 平行,则实数 的值为 ( )
A. 0 B. 1 C. -1 D.
3. 设 为等差数列 的前 项和,若 ,则
A. -12 B. -10 C. 10 D. 12
4. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
5. 已知圆 ,圆 ,若圆 与圆 恰有三条公切线,则 ( )
A. -72 B. -12 C. 3 D. 5
6. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 已知数列 是各项均为正数的等比数列,若 是方程 的两个根, 则 的值为( )
A. B. C. 2023 D. 1022
8. 已知函数 的图象如图所示,则不等式 的解集为 ( )
B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 已知空间中三个向量 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 与 是共线向量
B. 与 同向的单位向量是
C. 在 方向上的投影向量是
D. 与 的夹角为
10. 记等差数列 的前 项和为 ,若 ,则()
A. 的前 10 项和为 50 B. 是递增数列
C. 当 时, 取得最小值 D. 若 ,则 的最小值为 11
11. 已知函数 ，下列命题正确的是( )
A. 函数 的图像在点 处的切线为 ;
B. 函数 有 3 个零点;
C. 函数 在 处取得极大值;
D. 函数 的图像关于点 对称.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 等于_____.
13. 已知抛物线 上一点 与焦点的距离为 6,则 的横坐标是_____.
14. 已知函数 有三个不同的零点,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知圆心为 的圆经过 两点,且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 被圆 截得的弦长为 8，求直线 的方程.
16. 已知等差数列 的前 项和为 ,公差 不为 成等比数列, . (1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，证明: .
17. 如图,四边形 为矩形,平面 平面 ,
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
18. 已知 是函数 的一个极值点.
(1)求 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最大值.
19. 已知椭圆 的离心率是 ，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 ,直线 分别与 轴相交于点 ,证明: 线段 的中点为定点.
1. C
所以该质点在 末的瞬时速度为 .
故选: C.
2. B
由题意得, ,解得 ,当 时,两直线均为 (重合),经检验 满足题意.
故选: B.
3. B
首先设出等差数列 的公差为 ,利用等差数列的求和公式,得到公差 所满足的等量关系式,从而求得结果 ,之后应用等差数列的通项公式求得 ,从而求得正确结果.
详解: 设该等差数列的公差为 ,
根据题中的条件可得 ,
整理解得 ,所以 ,故选 B.
点睛:该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件,结合等差数列的求和公式,得到公差 的值,之后利用等差数列的通项公式得到 与 和 的关系,从而求得结果.
4. A
根据离心率得 关系,进而得 关系,再根据双曲线方程求渐近线方程, 得结果.
详解: ,
因为渐近线方程为 ,所以渐近线方程为 ,选 A. 点睛: 已知双曲线方程 求渐近线方程: .
5. B
圆 的圆心为 ,半径为 ,
圆 的标准方程为 ,则 ,可得 ,
圆 的圆心为 ,半径为 ,
因为圆 与圆 恰有三条公切线,则两圆外切,且 ,
由题意可得 ,即 ,解得 .
故选: B.
6. A
因为 ,所以 ,
因为 在区间 上单调递减,
所以 ,即 ,则 在 上恒成立,
因为 在 上单调递减,所以 ,故 .
故选: A.
7. B
由韦达定理,可得 ,由等比数列性质
可得 .
设 ,
则 ,
得 .
故选: B
8. A
由图像可得: 在 上单增,在 上单减,在 上单增,所以在 上 ,在 上 ,在 上 .
不等式 可化为:
故原不等式的解集为 .
故选: A
9. BC
已知空间中三个向量
对于 选项,因为 ,故 不共线, 错;
对于 选项,与 同向的单位向量是 对;
对于 选项, 在 方向上的投影向量是 ,
所以 在 方向上的投影向量是 对;
对于 选项，因为 ，
则 不垂直, 错.
故选: BC.
10. ABD
解析: 设 公差为 ,则 ,
,
对于 A: ,知 A 正确;
对于 ,由 知 正确;
对于 ,由通项公式知道 知 错误;
对于 ,由 时, ,且 ,知 正确.
故选: ABD.
11. ABD
对于选项 : 因为 ,则 ,且 , 所以函数 的图像在点 处的切线为 ,即为 ,故 正确;
对于选项 B:令 ，解得 或 ；令 ，解得 ； 可知函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
且 ,
可知函数 在 内各有一个零点,
所以函数 有 3 个零点,故 B 正确;
对于选项 C:由选项 B 知函数 在 处取得极小值，故 C 错误；
对于选项 D:令 ，则 的定义域为 ，
且 ,则函数 为奇函数,其图像关于原点对称,
将函数 的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数
所以函数 的图像关于点 对称,故 正确.
12.
,
令 得 ，解得 .
故答案为: .
13. 5
设点 的横坐标为 ,抛物线 的准线方程为 ,
由抛物线的定义可得 ,故 .
故答案为: 5 .
14.
令 ,可得 ,
构建 ,
若函数 有三个不同零点,即 与 有三个不同交点,
因为 ,
令 ,解得 ; 令 ,解得 或 ;
可知 在 内单调递减,在 内单调递增,
则 有极小值 ,极大值 ,
且当 趋近于 ， 趋近于 ；当 趋近于 ， 趋近于 0 ，
可得 图象,如图所示:
由函数 图象可得 .
故答案为: .
15.
(2) 或 .
(1) 设圆 的标准方程为 ,
故圆心 的坐标为 ,因为圆心 在直线 上,
所以
因为 是圆上两点,所以 ,根据两点间的距离公式,有 ,即 ,
由①②可得
故圆 的方程为 ,
(2)由(1)知，圆心为 ，半径为 ，
设圆心 到直线 的距离为 ,则 ,
若直线 的斜率不存在,则直线 的方程为 ,此时,圆心 到直线 的距离为 3,符合题意;
若直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,即 ,
由题意可得 ,解得 ,
此时,直线 的方程为 ,即 .
综上所述,直线 的方程为 或 .
16.
(2)证明见解析
(1)依题意得 ，且 ，化简得 ， 解得 ;
(2) ,
则
17. (1)证明见解析;
(2) .
(1)法 1: ， ，
,又 .
.
四边形 为矩形, .
平面 平面 ,且平面 平面 平面 ,
平面 平面 .
平面 平面 .
法 2: 平面 平面 ,且平面 平面 ,
且 平面 ,
平面 . 平面 .
由 两两垂直,则以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.
,
由 . 可得 ,
平面 平面 .
(2)结合上问可知: ，
设平面 的法向量为 ,
则 .
即 ,令 ,则 . 即 .
因为 ,
设所求角的大小为 . 则 .
故直线 与平面 所成角的大小 .
18. (1)减区间为(-∞,-1)，(3,+∞)，增区间为(-1,3)
(2)76
(1) 是函数 的一个极值点
,
,
令 ,解得 或 ; 令 ,解得 .
所以函数 的减区间为 ,增区间为 .
(2)由(1) ，又 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减
函数 在的极大值为 ,又 ,
函数 在区间 上的最大值为 .
19. (1) 依题意 ,解得 , 所以椭圆 的方程为 .
(2)依题意，过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 ，
画出图象如下图所示,由图可知直线 的斜率 存在,且 ,
设直线 的方程为 ,
由 消去 并化简得 ,
设 ,则 ,
而 ,所以直线 的方程为 ,令 ,解得 , 同理可求得 ,
则
,
所以线段 的中点为定点 .