微专题二 勾股定理与方程思想在矩形中的应用 同步练习（含答案）2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

微专题二 勾股定理与方程思想在矩形中的应用
应用一 矩形+折叠
1.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=5,点E 是AB 上一点,沿 DE 折叠矩形,BC 边恰好经过点A，则BE 的长是 ( )
A. B.
C. D.2
2.(2024·淄博模拟)如图，在平面直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 CO,OA 分别在x 轴,y 轴上,点 E 在边 BC 上,将该矩形沿AE 折叠,点 B 恰好落在边OC 上的F 处.若OA=8,CF=4,则点 E 的坐标是 ( )
A.(-10,3) B.(-9,3)
C.(-10,2.5) D.(-9,2.5)
3.[教材 P29 复习题 T14 变式]如图,矩形ABCD 中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC 折叠,点 D 落在点 D'处,则重叠部分△AFC的面积为 ( )
A.6 B.8
C.10 D.12
4.如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙 无重叠 的 四 边 形EFGH,EH =3 cm,EF = 4 cm,则矩形ABCD 的周长为 ( )
A.18 cm B.18.4 cm
C.19.6 cm D.20cm
5.四边形ABCD 为矩形,AD=12,AB>AD,线段 AB 上有一动点 E,连接 DE,将△DEA沿 DE 折叠得到△DEA'.
(1)如图1,若AB=16,当点 A'落在 BD 上时,求 AE 的长;
(2)如图2,G,H,K 分别是线段AD,A'D,A'E 的中点,当点 E 在 AB 边上运动时,∠GHK 的度数是否会发生变化 若不变，求出这个度数；若变化，请说明理由.
应用二 矩形+垂直平分线
6.(2024·济南长清区期中)如图,AC 是矩形ABCD 的对角线、分别以点 A，C 为圆心，以大于 AC 的长为半径画弧，两弧交于点 E，F,直线 EF 交AD 于点 M,交 BC 于点 N,若AM=8,DM=2,则边 AB 的长为( )
A.6 B.10 C. D.
7.[教材 P20 习题 6.6T1 变式]如图,在矩形ABCD 中,AE⊥BD,垂足为点 E,若 BE =OE=1 cm,则∠AOB= °,S矩形ABCD = cm .
8.(2024·东莞校级模拟)如图,矩形 ABCD中，过对角线 BD 的中点O 作 BD 的垂线EF,分别交 AD, BC 于 点 E, F,连 接BE,DF.
(1)求证:△BOF≌△DOE;
(2)若AB=4,AD=8,求四边形 EBFD 的周长.
应用三 矩形+角平分线
9.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,且EC 平分∠BED,AB =1,∠ABE =45°,则BC 的长为 ( )
A. B.1.5 C. D.2
10.如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,连接AC，以点 C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 AC,CD 于点 E,F;分别以点 E,F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧相交于点 P;作射线 CP,交 AD 于点 H.则△ACH 的面积为 .
11.如图,矩形 ABCD 中,∠ABD,∠CDB 的平分线 BE,DF 分别交边 AD,BC于点E,F.
(1)求证：四边形 BEDF是平行四边形；
(2)当四边形 BEDF 是菱形时,∠ABD=60°,ED=2,求 BD的长.
1. B
2. A 解析:由题意,得BC=OA=8.
设CE=a,则BE=8-a,
由折叠,可得EF=BE=8-a.
解得a=3.
设AB=b,∴AF=OC=b,∴OF=b-4.
解得b=10,
∴点E 的坐标为(-10,3).
故选 A.
3. C 解析:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.
由折叠的性质,可知∠DCA=∠D'CA,
∴∠CAF=∠D'CA,∴FA=FC.
在 Rt△BFC 中, 即 AF ,解得AF=5,
则△AFC的面积
故选C.
4. C
5.解:(1)设AE=x.
∵四边形ABCD 为矩形,AD=12,AB=16,
∵将△DEA 沿DE 折叠到△DEA′,
∴A′E=AE=x,A′D=AD=12,
在Rt△A'EB 中,. 即 解得x=6,∴AE=6.
(2)当点E 在AB 边上运动时，∠GHK 的度数不会发生变化,∠GHK=90°.
理由如下：
如图,连接AA′,与 DE 交于点O,设 DO与GH 交于点P,
由题意，知
∵G,H,K 分别是线段DA,DA',EA'的中点，
∴GH∥A'O,HK∥DE,∴DO⊥HG,∠DPH=90°.
∵HK∥DE,∴∠GHK=90°.
6. D 解析:如图,连接CM.
由作图可知，MN 垂直平分线段AC，
∴MA=MC=8.
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D=90°。
在 Rt△CDM 中,(
即 得
由四边形ABCD 是矩形，得.
故选 D.
7.604 解析:∵BE=OE=1 cm、AE⊥BD,
∴OB=2cm, AE是BO的垂直平分线。∴AB=AO.
∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,
∴AO=BO=AB=2cm,
∴△ABO 是等边三角形,∠AOB=60°.
由勾股定理、得 即 则
根据三角形等底等高面积相等，则矩形ABCD 的面积=
8.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,∴∠OED=∠OFB.
∵O是BD 的中点,∴OD=OB,在△DOE 和△BOF 中,∠OED=∠OFB,∠DOE=∠BOF,OD=OB,∴△DOE≌△BOF(AAS).
(2)解:∵AD∥BC,点E,点 F 分别在AD,BC上,∴DE∥BF.
∵△DOE≌△BOF,∴DE=BF,
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
∵EF⊥BD,∴四边形BFDE 是菱形,
∴BE=DE=BF=DF.
∵∠A=90°,AB=4,AD=8,
解得BE=5,
∴BE+DE+BF+DF=4BE=4×5=20,
∴四边形EBFD 的周长为20.
9. A 解析:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.
∵EC 平分∠DEB,∴∠DEC=∠BEC,
∴∠BEC=∠ECB,∴BE=BC.
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=90°.
∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴AB=AE=1.
在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 即 则
故选 A.
10.15 解析:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=8,CD=AB=6,∠ADC=90°.
由勾股定理，可得. 即 则AC=10,
如图,作 HQ⊥AC 交AC 于点Q.
由作图可知CP 是∠ACD 的平分线，
又∵∠ADC=∠HQC=90°,
∴HQ=HD,CQ=CD=6.
设 HQ=HD=x,
则AH=8-x,AQ=10-6=4,
在 Rt△AHQ 中,由勾股定理,可得
即 解得x=3,
11.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC,∴∠ABD=∠CDB.
∵BE 平分∠ABD,DF 平分∠BDC,
∴∠EBD=∠FDB,∴BE∥DF.
又∵AD∥BC,∴四边形 BEDF 是平行四边形.
(2)解:∵∠ABD=60°,BE 平分∠ABD,
∴∠ABE=∠DBE=30°.
∵四边形 BEDF 是菱形,∴DE=BE=2,
∴∠EDB=∠EBD=30°,∴BD=2AB.
∵∠ABE=30°,∠A=90°,∴AE= BE=1,
则根据勾股定理得. 即 得